高考数学（理）考点一遍过考点40 抛物线-之

1 （1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点 F 与准线垂直的直线对称，这条 直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线 l 不经过点 F，若 l 经过 F 点，则轨迹为过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程 （1）顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)y px p  ； （2）顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)y px p   ； （3）顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)x py p  ； （4）顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)x py p   . 注意：抛物线标准方程中参数 p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p 的值永远大于 0，当 抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现 p＜0 的错误. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质 2 标准方程 2 2 ( 0)y px p  2 2 ( 0)y px p   2 2 ( 0)x py p  2 2 ( 0)x py p   图 形 几 何 性 质 范 围 0,x y R 0,x y R 0,y x R 0,y x R 对称性 关于 x 轴对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于 y 轴对称 焦点 ( ,0)2 pF ( ,0)2 pF  (0, )2 pF (0, )2 pF  准线方程 2 px   2 px  2 py   2 py  顶 点 坐标原点(0，0) 离心率 1e  2．抛物线的焦半径 抛物线上任意一点 0 0( ),P x y 与抛物线焦点 F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 2 2 ( 0)y px p  2 2 ( 0)y px p   2 2 ( 0)x py p  2 2 ( 0)x py p   焦半径公式 0| | 2 pPF x  0| | 2 pPF x  0| | 2 pPF y  0| | 2 pPF y  3．抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点 F 的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标， 再利用两点间的距离公式得到，设 AB 为焦点弦， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 3 抛物线方程 2 2 ( 0)y px p  2 2 ( 0)y px p   2 2 ( 0)x py p  2 2 ( 0)x py p   焦点弦公式 1 2| | ( )AB p x x   1 2| | ( )AB p x x   1 2| | ( )AB p y y   1 2| | ( )AB p y y   其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A，B 两点的线段 AB，称为抛物线的通径． 对于抛物线 2 2 ( 0)y px p  ，由 ( , )2 pA p ， ( , )2 pB p ，可得| | 2AB p ，故抛物线的通径长为 2p． 4．必记结论 直线 AB 过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图： （1）y1y2＝－p2，x1x2＝p2 4 . （2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥ 1 22 x x ＝p，即当 x1＝x2 时，弦长最短为 2p. （3） 1 |AF| ＋ 1 |BF| 为定值2 p. （4）弦长 AB＝ 2p sin2α(α为 AB 的倾斜角)． （5）以 AB 为直径的圆与准线相切． （6）焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90°. 考向一 抛物线的定义和标准方程 1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M，一个定点 F（抛物线的焦点），一条定直线 l（抛 物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）. 4 2．抛物线的离心率 e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半 径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即 2PF px  或 2PF py  ，使问题简化． 典例 1 平面内动点 P 到点  0,2F 的距离和到直线 l ： 2y   的距离相等，则动点 P 的轨迹方程为是 _____________. 【答案】 2 8x y 【解析】由题意知，该点轨迹是以  0,2F 为焦点， 2y   为准线的抛物线，其中 4p  ，所以方程为 2 8x y . 【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题. @#网 典例 2 抛物线 2 2 ( 0)y px p  上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为 1，则 p  A． 1 2 B．1 C．2 D．4 【答案】C 本题选择 C 选项. 【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合 抛物线的定义确定点的位置，然后求解 p 的值即可. 1．已知 F 是抛物线 2 4y x 的焦点， ,M N 是该抛物线上两点， 6MF NF  ，则 MN 的中点到准线的 距离为 A． 3 2 B．2 C．3 D．4 5 考向二 求抛物线的标准方程 1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经 确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤： 若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. 典例 3 若点 A,B 在抛物线 y2=2px(p>0)上,O 是坐标原点,若正三角形 OAB 的面积为 4 ,则该抛物线的方程 是 A．y2= 2 3 3 x B．y2= x C．y2=2 x D．y2= 3 3 x 【答案】A 典例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程． 6 （1）过点 ( 3 2) ， ； 学@# （2）焦点在直线 2 4 0x y   上． 2．顶点在原点，且过点  4 4 ， 的抛物线的标准方程是 A． 2 4y x  B． 2 4x y C． 2 4y x  或 2 4x y D． 2 4y x 或 2 4x y  考向三 抛物线的简单几何性质及其应用 确定及应用抛物线性质的关键与技巧： (1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解. 典例 5 已知等腰三角形 OPM 中，OP⊥MP，O 为抛物线 2y =2px(p>0)的顶点，点 M 在抛物线的对称轴上， 点 P 在抛物线上，则点 P 与抛物线的焦点 F 之间的距离是 A．2 2 p B． 5 2 p C．2p D． 2 p 7 【答案】B 【解析】由题意得 2 2 2 ,P P P P Py x x px x p     因此点 P 与抛物线的焦点 F 之间的距离为 5 2 2P p px   ，选 B. 【名师点睛】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．（2）解答本 题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可． 3．已知抛物线  2: 2 0C x py p  的焦点为 F ，抛物线C 的准线与 y 轴交于点 A ，点  01,M y 在抛物线 C 上， 05 4 yMF  ，则 tan FAM  A． 2 5 B． 5 2 C． 4 5 D． 5 4 考向四 焦点弦问题 与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式 是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是 p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这 是正确解题的关键. 典例 6 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1)，B(x2，y2)，若|AB|=7，求 AB 的中点 M 到抛物 线准线的距离. 学@# 典例 7 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点为 F,点 A(0,1),射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,若 |FM|∶|MN|=1∶3,则实数 a 的值为_________. 14．已知抛物线 的焦点为 ,准线方程是 . (1)求此抛物线的方程; (2)设点 在此抛物线上,且 ,若 为坐标原点,求△OFM 的面积. 15．已知 M,N 是焦点为 F 的抛物线  2 2 0y px p  上两个不同的点,线段 MN 的中点 A 的横坐标为 4 2 p . (1)求|MF|+|NF|的值; (2)若 p=2,直线 MN 与 x 轴交于点 B,求点 B 的横坐标的取值范围. 16．设 A,B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,且满足 OA⊥OB(O 为坐标原点). 求证:(1)A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值; (2)直线 AB 经过一个定点. 13 17．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在 y 轴上，且抛物线上有一点  ,5P m 到焦点的距离为 6. (1)求该抛物线C 的方程； (2)已知抛物线上一点  4,M t ，过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME ，且 MD ME ，判断直线 DE 是否过定点，并说明理由. 1．（2018 新课标 I 理）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（–2，0）且斜率为 2 3 的直线与 C 交于 M，N 两点，则 FM FN  = A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2016 新课标全国 I 理科）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点. 已知|AB|= 4 2 ，|DE|= 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为 A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2017 新课标全国 I 理科）已知 F 为抛物线 C： 2 4y x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2， 直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 14 A．16 B．14 C．12 D．10 4．（2016 浙江理科）若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_______________． 5．（2017 新课标全国 II 理科）已知 F 是抛物线 :C 2 8y x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交 y 轴 于点 N ．若 M 为 FN 的中点，则 FN  _______________． 6．（2018 新课标Ⅲ理）已知点  1 1M  ， 和抛物线 2 4C y x： ，过C 的焦点且斜率为 k 的直线与C 交于 A ， B 两点．若 90AMB   ，则 k ________． 7．（2017 浙江）如图，已知抛物线 2x y ，点 A 1 1( )2 4 ， ， 3 9( )2 4 ，B ，抛物线上的点 1 3( , )( )2 2P x y x   ．过 点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q． （1）求直线 AP 斜率的取值范围； （2）求| | | |PA PQ 的最大值． 8．（2016 新课标全国 III 理科）已知抛物线C ： 2 2y x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 1l ， 2l 分别 交C 于 A ， B 两点，交C 的准线于 P ，Q 两点． （1）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ的中点，证明 AR FQ ； （2）若 PQF△ 的面积是 ABF△ 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程． 15 9．（2018 新课标Ⅱ理）设抛物线 2 4C y x： 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 ( 0)k k  的直线 l 与 C 交于 A ，B 两 点，| | 8AB  ． （1）求 l 的方程； （2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程． 10．（2018 北京理）已知抛物线 C： 2y =2px 经过点 P （1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个 不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N． （1）求直线 l 的斜率的取值范围； （2）设 O 为原点， QM QO  ， QN QO  ，求证： 1 1   为定值． 16 变式拓展 1．【答案】C 【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程的应用，其中熟记抛物线的定义、标准方程，把 抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，属于基础 题．根据抛物线的方程求出准线方程，再利用抛物线的定义，列出方程求出 ,M N 的中点的横坐标，再 求出线段 MN 的中点到抛物线的准线的距离． 学@# 2．【答案】C 【解析】∵抛物线的顶点在原点，且过点 4 4 ， ， ∴设抛物线的标准方程为 2 2x py （ 0p  ）或 2 2y px  （ 0p  ）， 17 【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法， 属于中档题．依题意，设抛物线的标准方程为 2 2x py （ 0p  ）或 2 2y px  （ 0p  ），将点 4 4 ， 的坐标代入抛物线的标准方程，求得 p 即可．注意，本题也可用排除法，因为抛物线经过点 4 4 ， ，且 该点在第三象限，所以抛物线的开口朝上或朝左，观察各选项知选项 C 符合题意. 3．【答案】C 【解析】由抛物线的定义知 0 0 5 2 4 pMF y y   ，解得 0 2y p ， 又点  01,M y 在抛物线C 上，代入 2 2x py 解得 0 11, 2y p  . 过点 M 作抛物线的准线的垂线，设垂足为 E,则 tan tanFAM AME    1 4 5 5 4 AE ME   . 故选 C. 【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.先利用抛物线的定义和已知条件求出 0 11, 2y p  ，再过点 M 作抛物线的准线的垂线，设垂足为 E,最后解直角三角形 AME 得 tan FAM 的 值. 4．【答案】B 【解析】设过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点的直线 l 与抛物线交于    1 1 2 2, ,A x y B x y， 两点，则 1 2AB x x p   ， 又 因 为 以 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 为    2 23 2 16x y    ， 所 以 1 2 6 8AB x x p p      ，解得 2p  .故选 B. 【名师点睛】涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准 线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量. .网 5．【答案】D 18 【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关 的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的 转化：（1）将抛线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转 化为到准线的距离，使问题得到解决. 考点冲关 1．【答案】A 【解析】 抛物线的标准方程为 2 4x y ，焦点在 y 轴上， 2 4p  ，即 2p  ， 12 p  ，则准线方 程为 1y   .故选 A. 【名师点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属于基 础题. 2．【答案】C 【解析】若“ 0mn  ”，则 2 nx ym   中的 0n m   ，所以“抛物线 2 0mx ny  的焦点在 y 轴正半轴上” 成立，是充分条件；反之，若“抛物线 2 0mx ny  的焦点在 y 轴正半轴上”，则 2 nx ym   中的 0n m   ， 即 0mn  ，则“ 0mn  ”成立，故是充分必要条件. 故答案为 C. 【名师点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水 平和分析推理能力.(2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集 合法来判断. 3．【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为 y2=±2px(p>0),则 2p=8,所以抛物线方程为 y2=8x 或 y2=-8x.故选 C. 19 4．【答案】B 【解析】 抛物线 y2＝4x， 2p  ，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距 离是相等的， 4MF  ，即有 42M px   ， 3Mx  . 故选 B. 【名师点睛】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半 径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解. 5．【答案】C 【解析】抛物线的准线方程为 x= 1 2  ，当 MQ∥x 轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时 |MQ|-|QF|=|2+3|-|2+ 1 2 |= 5 2 . 6．【答案】D 【名师点睛】本题考查抛物线的性质.由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论.本题的关键 就是求出 M 的坐标，求出周长，所以只需设出 M 的坐标，结合各自的等量关系，求坐标，得到周长. 7．【答案】D 【解析】由题意得 1( ,0)2F ，设点 A 的横坐标为 m ，则由抛物线的定义，可得 1 32 1 4 m   ，则 1 4m  ， 所以 3 , 34FA FB   ，所以 9cos0 4FA FB FA FB      ．故本题选 D . 8．【答案】A 20 【名师点睛】这是属于圆锥曲线中的中点弦问题，可以联立，由根与系数的关系得到中点坐标，代入已 知直线.还有解决中点弦问题和对称问题，可以利用点差法，由两式作差直接得中点坐标和直线斜率的关 系. 学@！ 9．【答案】D 【解析】过 A,B 分别作抛物线准线的垂线 AQ,BP,垂足分别为 Q,P,设|AF|=a,|BF|=b，则由抛物线的定义， 得|AQ|=a,|BP|=b,所以|HN|= .在△ABF 中，由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 60°=a2+b2-ab，所以     2 2 2 2 2 2 12 32 2 3 2 1 a b HN a b a b AB aba b ab a b ab a b ab a b               ,因为 a+b≥2 ,所以  2 1 1 32 1 ab a b    ,当且仅当 a=b 时等号成立,故 HN AB 的取值范围为(0,1].故选 D. 10．【答案】4 【解析】由双曲线 ﹣y2=1 可得 a=2,则双曲线的右顶点为(2,0),则 22 p  ,所以 p=4. 11．【答案】10 【解析】由抛物线的定义可得 1 , 92 2 p pAF BF    ，依据题设可得 59 5 22 2 p p p     ， 则 2 2 1 2 24 1 4, 4 9 36 6y y y        （舍去负值），故 2 1 2 10y y  ，应填10. 12．【答案】 7 3 12 【解析】由题意可设    ,1 , 3,2A m D m  ，因此  4 2 3 3 3,2 31 2 p m p m pm         ，因此点 A 21 到抛物线的焦点的距离是 3 3 7 3 2 3 4 12 pm     . 13．【答案】 【解析】依题意得焦点 F 的坐标为( ,0),设 M 在抛物线的准线上的射影为 K,连接 MK,由抛物线的定义知 |MF|=|MK|,因为|FM|∶|MN|=1∶3,所以|KN|∶|KM|=2 ∶1,又 0 1 4 04 FNk a a     ,kFN=- =-2 ,所以 4 a =2 ,解得 a= . 14．【解析】(1)因为抛物线的准线方程为 ， 15．【解析】(1)设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ,则 1 2 8x x p   , 而 1 2 pMF x  , 2 2 pNF x  , ∴ 1 2 8MF NF x x p     . (2)当 p=2 时,抛物线方程为 2 4y x . ①若直线 MN 的斜率不存在,则 B(3,0). ②若直线 MN 的斜率存在,设 A(3,t)(t≠0),则由(1)知 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x    ，整理得  2 2 1 2 1 24y xy x  , ∴  1 2 1 2 1 2 4yx y x y y   ,即 2 MNk t  , 22 ∴直线  2: 3MN y t xt    , ∴B 点的横坐标为 2 3 2 t , 由 2 2 ( 3) 4 y t xt y x       消去 x 得 2 22 2 12 0y ty t    , 由Δ>0 得 0