高考数学（理）考点一遍过考点45 变量间的相关关系-之

1 变量的相关性 （1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系. （2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 回归分析 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 1．相关关系 当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫做相关关系．即相 关关系是一种非确定性关系． 当一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，则这两个变量正相关； 当一个变量的值由小变大时，而另一个变量的值由大变小，则这两个变量负相关. 【注意】相关关系与函数关系的异同点： 共同点：二者都是指两个变量间的关系． 不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不 一定是因果关系，可能是伴随关系． 2．散点图 将样本中的 n 个数据点 ( )( 1, )2i ix y i n , , , 描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图． 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在 2 从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 具有正相关关系的两个变量的散点图如图 1，具有负相关关系的两个变量的散点图如图 2. 3．回归分析 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系，这条直 线叫做回归直线． 回归直线对应的方程叫做回归直线方程(简称回归方程)． 4．回归方程的求解 （1）求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量 x 与 y 具有线性相关关系，有 n 个样本数据 ( )( 1, )2i ix y i n , , , ，则回归方程 ˆˆ ˆy bx a  中 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx                ， ˆˆa y bx  . 其中 1 2 1 1 , n n i i x xx xn n x       2 1 11 n n i i y yn n y y y       ， ( , )x y 称为样本点的中心． （2）线性回归模型 y bx a e   ，其中 e 称为随机误差，自变量 x 称为解释变量，因变量 y 称为预报 变量． 【注意】①回归直线 ˆˆ ˆy bx a  必过样本点的中心 ( , )x y ，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准 确的依据，也是求参数的一个依据． ②利用回归直线方程不但可以预测在 x 取某一个值时，y 的估计值，同时也能知道 x 每增加 1 个单位， ˆy 的变化量． ③在回归直线方程中， ˆb 既表示直线的斜率，又表示自变量 x 的取值每增加一个单位时，函数 y 的改变 量． 5．相关系数 （1）样本相关系数 r 的计算公式 我 们 可 以 利 用 相 关 系 数 来 定 量 地 衡 量 两 个 变 量 之 间 的 线 性 相 关 关 系 ， 计 算 公 式 为 3 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            . （2）样本相关系数 r 的性质 ①| | 1r  ； ②当 r>0 时，表明两个变量正相关；当 r0 时，正相关；r