专题 4.8 不等式选讲
1．设 xR ，解不等式 2 | 1| | | 4x x ．
【试题来源】2020 年江苏省高考数学试卷
【答案】 2( 2, )3
【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果
【解析】 1
2 2 4
x
x x
或 1 0
2 2 4
x
x x
或 0
2 2 4
x
x x
，
2 1x 或 1 0x ≤ ≤ 或 20 3x ，
所以解集为 2( 2, )3
．
2．已知函数 ( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x ．
（1）画出 ( )y f x 的图象；
（2）求不等式 ( ) ( 1)f x f x 的解集．
【试题来源】2020 年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）
【答案】（1）详解解析；（2） 7, 6
．
【解析】（1）因为
3, 1
15 1, 13
13, 3
x x
f x x x
x x
，作出图象，如图所示：
（2）将函数 f x 的图象向左平移1个单位，可得函数 1f x 的图象，如图所示：
由 3 5 1 1x x ，解得 7
6x ．
所以不等式 ( ) ( 1)f x f x 的解集为 7, 6
．
3．已知函数 2( ) | 2 1|f x x a x a ．
（1）当 2a 时，求不等式 ( ) 4f x
的解集；
（2）若 ( ) 4f x
，求 a 的取值范围．
【试题来源】2020 年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）
【答案】（1） 3
2x x
或 11
2x
；（2） , 1 3, ．
【分析】（1）分别在 3x 、 3 4x 和 4x 三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果．
【解析】（1）当 2a 时， 4 3f x x x ．
当 3x 时， 4 3 7 2 4f x x x x ，解得 3
2x ≤ ；
当 3 4x 时， 4 3 1 4f x x x ，无解；
当 4x 时， 4 3 2 7 4f x x x x ，解得 11
2x ；
综上所述： 4f x 的解集为 3
2x x
或 11
2x
．
（2） 22 2 22 1 2 1 2 1 1f x x a x a x a x a a a a （当
且仅当 22 1a x a 时取等号），
21 4a ，解得 1a 或 3a ， a 的取值范围为 , 1 3, ．
4．设 xR ，解不等式| |+|2 1|>2x x ．
【试题来源】2019 年江苏省高考数学试卷
【答案】 1{ | 1}3x x x 或 ．
【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集．
【解析】当 x2，解得 x>1．
综上，原不等式的解集为 1{ | 1}3x x x 或 ．
5．设 , ,x y z R ，且 1x y z ．
（1）求 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)x y z 的最小值；
（2）若 2 2 2 1( 2) ( 1) ( ) 3x y z a 成立，证明： 3a 或 1a ．
【试题来源】2019 年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）
【答案】（1） 4
3
；（2）见详解．
【分析】（1）根据条件 1x y z ，和柯西不等式得到 2 2 2 4( 1) ( 1) ( 1) 3x y z ，
再讨论 , ,x y z 是否可以达到等号成立的条件．（2）恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造
的 , ,x y z 代入原不等式，便可得到参数 a 的取值范围．
【解析】（1）
2 2 2 2 2 2 2 2[( 1) ( 1) ( 1) ](1 1 1 ) [( 1) ( 1) ( 1)] ( 1) 4x y z x y z x y z
故 2 2 2 4( 1) ( 1) ( 1) 3x y z 等号成立当且仅当 1 1 1x y z ，
而又因 1x y z ，解得
5
3
1
3
1
3
x
y
z
时等号成立
所以 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)x y z 的最小值为 4
3
．
（2）因为 2 2 2 1( 2) ( 1) ( ) 3x y z a ，
所以 2 2 2 2 2 2[( 2) ( 1) ( ) ](1 1 1 ) 1x y z a ．
根 据 柯 西 不 等 式 等 号 成 立 条 件 ， 当 2 1x y z a ， 即
22 3
21 3
2
3
ax
ay
az a
时 有
2 2 2 2 2 2 2 2[( 2) ( 1) ( ) ](1 1 1 ) ( 2 1 ) ( 2)x y z a x y z a a 成立．
所以 2( 2) 1a 成立，所以有 3a 或 1a ．
6．已知 ( ) | | | 2 | ( ).f x x a x x x a
（1）当 1a 时，求不等式 ( ) 0f x 的解集；
（2）若 ( ,1)x 时， ( ) 0f x ，求 a 的取值范围．
【试题来源】2019 年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）
【答案】（1） ( ,1) ；（2）[1, )
【分析】（1）根据 1a ，将原不等式化为| 1| | 2 | ( 1) 0x x x x ，分别讨论 1x ，
1 2x ， 2x 三种情况，即可求出结果；
（2）分别讨论 1a 和 1a 两种情况，即可得出结果．
【解析】（1）当 1a 时，原不等式可化为| 1| | 2 | ( 1) 0x x x x ；
当 1x 时，原不等式可化为 (1 ) (2 )( 1) 0x x x x ，即 2( 1) 0x ，显然成立，
此时解集为 ( ,1) ；
当1 2x 时，原不等式可化为 ( 1) (2 )( 1) 0x x x x ，解得 1x ，此时解集为空集；
当 2x 时，原不等式可化为 ( 1) ( 2)( 1) 0x x x x ，即 2( 1 0)x ，显然不成立；此
时解集为空集；
综上，原不等式的解集为 ( ,1) ；
（2）当 1a 时，因为 ( ,1)x ，所以由 ( ) 0f x 可得 ( ) (2 )( ) 0a x x x x a ，
即 ( )( 1) 0x a x ，显然恒成立；所以 1a 满足题意；
当 1a 时， 2( ), 1( ) 2( )(1 ),
x a a xf x x a x x a
，因为 1a x 时， ( ) 0f x 显然不能成立，
所以 1a 不满足题意；
综上， a 的取值范围是[1, ) ．
7．已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明：
（1） 2 2 21 1 1 a b ca b c
；
（2） 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a ．
【试题来源】2019 年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用 1abc 将所证不等式可变为证明： 2 2 2a b c bc ac ab ，利用基
本不等式可证得 2 2 22 2 2 2a b c ab bc ac ，从而得到结论；（2）利用基本不等式
可得 3 3 3 3a b b c c a a b b c c a ，再次利用基本不等式可将式转
化为 3 3 3 224a b b c c a abc ，在取等条件一致的情况下，可得结论．
【解析】（1） 1abc 1 1 1 1 1 1 abc bc ac aba b c a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2a b c a b b c c a ab bc ac
当且仅当 a b c 时取等号
2 2 2 1 1 12 2a b c a b c
，即 2 2 2 1 1 1a b c a b c
≥
（2） 3 3 3 3a b b c c a a b b c c a ，
当且仅当 a b c 时取等号
又 2a b ab ， 2b c bc ， 2a c ac （当且仅当 a b c 时等号同时成立）
3 3 3 23 2 2 2 24a b b c c a ab bc ac abc
又 1abc 3 3 3 24a b b c c a
【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的
变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．
8．若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 2 2 2x y z 的最小值．
【试题来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）
【答案】4
【分析】根据柯西不等式 2 2 2 2 2 2 2( )( ) ( )x y z a b c ax by cz 可得结果．
【解析】证明：由柯西不等式，得 22 2 2 2 2 21 2 2 2 2x y z x y z ．
因为 2 2 =6x y z ，所以 2 2 2 4x y z ，
当且仅当
1 2 2
x y z 时，不等式取等号，此时 2 4 4
3 3 3x y z ， ， ，
所以 2 2 2x y z 的最小值为 4．
【名师点睛】本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．柯西不等式的一般形式：
设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 为实数，则(a ＋a ＋…＋a )(b ＋b ＋…＋b )≥(a1b1＋a2b2
＋…＋anbn)2，当且仅当 bi＝0 或存在一个数 k，使 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
9．设函数 2 1 1f x x x ．
（1）画出 y f x 的图象；
（2）当 0x ∈ ， ， f x ax b ，求 a b的最小值．
【试题来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标 III 卷）
【答案】（1）见解析（2）5
【分析】（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图象即可．
（2）结合（1）问可得 a，b 范围，进而得到 a+b 的最小值
【解析】（1）
13 , ,2
12, 1,2
3 , 1.
x x
f x x x
x x
y f x 的图象 如图所示．
（2）由（1）知， y f x 的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最
大值为3，故当且仅当 3a 且 2b 时， f x ax b 在 0, 成立，因此 a b 的最小
值为5．
10．已知 1 1f x x ax ．
（1）当 1a 时，求不等式 1f x 的解集；
（2）若 0,1x 时不等式 f x x 成立，求 a 的取值范围．
【试题来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标 I 卷）
【答案】（1） 1
2x x
；（2） 0,2
【分析】（1）将 1a 代入函数解析式，求得 1 1f x x x ，利用零点分段将解析式
化为
2, 1,
2 , 1 1,
2, 1.
x
f x x x
x
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式 1f x 的解集
为 1
2x x
；（2）根据题中所给的 0,1x ，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式
f x x 可以化为 0,1x 时 1 1ax ，分情况讨论即可求得结果．
【解析】（1）当 1a 时， 1 1f x x x ，即
2, 1,
2 , 1 1,
2, 1.
x
f x x x
x
故不等式 1f x 的解集为 1
2x x
．
（2）当 0,1x 时 1 1x ax x 成立等价于当 0,1x 时 1 1ax 成立．
若 0a ，则当 0,1x 时 1 1ax ；
若 0a ， 1 1ax 的解集为 20 x a
，所以 2 1a
，故 0 2a ．
综上， a 的取值范围为 0,2 ．
【名师点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间
上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函
数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用
题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果．
11．设函数 ( ) 5 2f x x a x ．
（1）当 1a 时，求不等式 ( ) 0f x 的解集；
（2）若 ( ) 1f x 恒成立，求 a 的取值范围．
【试题来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标 II 卷）
【答案】（1）[ 2,3] ；（2） , 6 2, ．
【分析】（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，
（2）先化简不等式为| | | 2 | 4x a x ，再根据绝对值三角不等式得| | | 2 |x a x 最
小值，最后解不等式| 2 | 4a 得 a 的取值范围．
【解析】（1）当 1a 时，
2 4, 1,
2, 1 2,
2 6, 2.
x x
f x x
x x
可得 0f x 的解集为{ | 2 3}x x ．
（2） 1f x ≤ 等价于 2 4x a x ．
而 2 2x a x a ，且当 2x 时等号成立．故 1f x ≤ 等价于 2 4a ．
由 2 4a 可得 6a 或 2a ，所以 a 的取值范围是 , 6 2, ．
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用
绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不
等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法
的灵活应用，这是命题的新动向．
12．已知函数 ( )f x =│x+1│–│x–2│．
（1）求不等式 ( )f x ≥1 的解集；
（2）若不等式 ( )f x ≥x2–x +m 的解集非空，求实数 m 的取值范围．
【试题来源】2017 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标 3 卷）
【答案】（1） 1, ；（2） 5,4
．
【分析】（1）由于 f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|
3 1
2 1 1 2
3 2
x
x x
x
， ＜
，
， ＞
，解不等式 f（x）≥1 可分﹣1≤x≤2
与 x＞2 两类讨论即可解得不等式 f（x）≥1 的解集；（2）依题意可得 m≤[f（x）﹣x2+x]max，
设 g（x）＝f（x）﹣x2+x，分 x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2 三类讨论，可求得 g（x）max
5
4
，从而
可得 m 的取值范围．
【解析】（1）因为 f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|
3 1
2 1 1 2
3 2
x
x x
x
， ＜
，
， ＞
，f（x）≥1，
所以当﹣1≤x≤2 时，2x﹣1≥1，解得 1≤x≤2；
当 x＞2 时，3≥1 恒成立，故 x＞2；
综上，不等式 f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在 x∈R 使得 f（x）﹣x2+x≥m 成立，
即 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）＝f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）
2
2
2
3 1
3 1 1 2
3 2
x x x
x x x
x x x
，
， ＜ ＜
，
，
当 x≤﹣1 时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为 x 1
2
＞ 1，
所以 g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；
当﹣1＜x＜2 时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为 x 3
2
∈（﹣1，2），
所以 g（x）≤g（ 3
2
） 9 9
4 2
1 5
4
；
当 x≥2 时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x 1
2
＜2，
所以 g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；
综上，g（x）max
5
4
，所以 m 的取值范围为（﹣∞， 5
4 ]．
【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查
分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．
13．已知函数 2( ) 4f x x ax ， ( ) | 1| | 1|g x x x ．
（1）当 1a 时，求不等式 ( ) ( )f x g x 的解集；
（2）若不等式 ( ) ( )f x g x 的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围．
【试题来源】2017 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标 1 卷）
【答案】（1） 1 17{ | 1 }2x x ；（2）[ 1,1] ．
【解析】（1）当 1a 时，不等式 f x g x 等价于 2 1 1 4 0x x x x ．①
当 1x 时，①式化为 2 3 4 0x x ，无解；
当 1 1x 时，①式化为 2 2 0x x ，从而 1 1x ；
当 1x 时，①式化为 2 4 0x x ，从而 1 171 2x ．
所以 f x g x 的解集为 1 17{ | 1 }2x x ．
（2）当 1,1x 时， 2g x ．
所以 f x g x 的解集包含 1,1 ，等价于当 1,1x 时 2f x ．
又 f x 在 1,1 的最小值必为 1f 与 1f 之一，
所以 1 2f 且 1 2f ，得 1 1a ．
所以 a 的取值范围为 1,1 ．
【名师点睛】形如| | | |x a x b c (或 c )型的不等式主要有两种解法：
（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 ( , ]a ，( , ]a b ，( , )b
(此处设 a b )三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各
个不等式解集的并集．
（2）图象法：作出函数 1 | | | |y x a x b 和 2y c 的图象，结合图象求解．
14．已知函数 2( ) 4f x x ax ， ( ) | 1| | 1|g x x x ．
（1）当 1a 时，求不等式 ( ) ( )f x g x 的解集；
（2）若不等式 ( ) ( )f x g x 的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围．
【试题来源】2017 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标 1 卷）
【答案】（1） 1 17{ | 1 }2x x ；（2）[ 1,1] ．
【解析】（1）当 1a 时，不等式 f x g x 等价于 2 1 1 4 0x x x x ．①
当 1x 时，①式化为 2 3 4 0x x ，无解；
当 1 1x 时，①式化为 2 2 0x x ，从而 1 1x ；
当 1x 时，①式化为 2 4 0x x ，从而 1 171 2x ．
所以 f x g x 的解集为 1 17{ | 1 }2x x ．
（2）当 1,1x 时， 2g x ．
所以 f x g x 的解集包含 1,1 ，等价于当 1,1x 时 2f x ．
又 f x 在 1,1 的最小值必为 1f 与 1f 之一，
所以 1 2f 且 1 2f ，得 1 1a ．
所以 a 的取值范围为 1,1 ．
【名师点睛】形如| | | |x a x b c (或 c )型的不等式主要有两种解法：
（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 ( , ]a ，( , ]a b ，( , )b
(此处设 a b )三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各
个不等式解集的并集．
（2）图象法：作出函数 1 | | | |y x a x b 和 2y c 的图象，结合图象求解．
15．已知 0a ， 0b ， 3 3 2a b ，证明：
（1） 5 5 4a b a b ；
（2） 2a b ．
【试题来源】2017 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标 2 卷）
【答案】（1） 见解析（2） 见解析
【分析】（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由 a3+b3＝2 转化为
3 2
3
a b
a b
ab，再由均值不等式可得
3 2
3
a b
a b
ab≤ 2( )2
a b ，
即可得到 1
4
（a+b）3≤2，问题得以证明．
【解析】（1）由柯西不等式得 5 5 3 3 2 4a b a b a b （ ）（ ）（ ）＝ ，当且仅当 ab5＝ba5，即 a
＝b＝1 时取等号；
（2）因为 a3+b3＝2，所以（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，
所以（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
所以（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，所以
3 2
3
a b
a b
ab，
由均值不等式可得
3 2
3
a b
a b
ab≤ 2( )2
a b
所以（a+b）3﹣2 33
4
a b ，所以 1
4
（a+b）3≤2，
所以 a+b≤2，当且仅当 a＝b＝1 时等号成立．
【名师点睛】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．
16．已知 a，b，c，d 为实数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，证明 ac+bd 8．
【试题来源】2017 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）
【答案】见解析
【分析】由柯西不等式可得 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d ，代入即得结论．
【解析】由柯西不等式可得 2 2 2 2 2ac bd a b c d ，
因为 2 2 2 24, 16,a b c d 所以 2 64ac bd ，
因此 8ac bd ．
微信/支付宝扫码支付