专题18 数学文化问题（精练）-中考数学高频考点突破（解析版）

一、选择题（10×3=30 分） 1. A“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相 同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其 直观图如图 Z11－1，图 Z11－2 中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在， 当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是( ) 图 Z11－1 图 Z11－2 A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d [解析] 当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为 一个正方形，且对角线为两条实线．故选 A. 2. （2018•吉林）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下 有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡 x 只，兔 y 只，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 3. 【2017·黔东南州】 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约 13 世纪)所 著的《详解九章算术》一书中，用图 Z11－14 的三角形解释二项和(a＋b)n 的展开式的各项系数，此三角形 称为“杨辉三角”． (a＋b)0…………… ① (a＋b)1……………① ① (a＋b)2…………① ② ① (a＋b)3………① ③ ③ ① (a＋b)4……① ④ ⑥ ④ ① (a＋b)5…① ⑤ ⑩ ⑩ ⑤ ① …… …… 图 Z11－14 根据“杨辉三角”请计算(a＋b)20 的展开式中第三项的系数为( ) A．2017 B．2016 C．191 D．190 【解析】观察可得(a＋b)n 的展开式中第三项的系数为n（n－1） 2 ，因此，可得(a＋b)20 的展开式中第三项的 系数为 190.学科@网 4. 【2017 云南】 正如我们小学学过的圆锥体积公式 V＝1 3πr2h(π表示圆周率，r 表示圆锥的底面半径，h 表 示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到π.祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后 7 位的中国古代 科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了 1000 年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背 后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对 9 位数字反复进行 130 次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没 有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细 心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习． 下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于 9 3π，则这个圆 锥的高等于( ) A．5 3π B．5 3 C．3 3π D．3 3 5. （2018•邵阳）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他 60 岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数 学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁． 意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚 1 人分 3 个，小和尚 3 人分 1 个，正好分完，大、小和 尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ） A．大和尚 25 人，小和尚 75 人 B．大和尚 75 人，小和尚 25 人 C．大和尚 50 人，小和尚 50 人 D．大、小和尚各 100 人 【分析】根据 100 个和尚分 100 个馒头，正好分完．大和尚一人分 3 个，小和尚 3 人分一个得到等量关系 为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即 可． 6. （2018•乐山•3 分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它 的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材， 锯口深 1 寸（ED=1 寸），锯道长 1 尺（AB=1 尺=10 寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？” 如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径 AC 是（ ） A．13 寸 B．20 寸 C．26 寸 D．28 寸 7. [2017·眉山] “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？” 这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图 Z11－10 获得，则井深为( ) A．1.25 尺 B．57.5 尺 C．6.25 尺 D．56.5 尺 [解析] 如图，由题意，得 BC∥DE，从而 △ ABF∽△ADE，因此BF DE ＝AB AD ，即0.4 5 ＝ 5 5＋BD ，解得 BD＝57.5， 所以井深为 57.5 尺． 8. （2018•十堰）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七， 不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出 8 钱，则剩余 3 钱： 如果每人出 7 钱，则差 4 钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有 x 人，物品的价格为 y 元，可列方程 （组）为（ ） A． B． C． D． = 9. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国目前已知最早的有系统的数学 典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆 锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V≈ 1 36L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似 取为 3.那么，近似公式 V≈ 2 75L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.22 7 B.25 8 C.157 50 D.355 113 [解析] 由题意知 2 75L2h≈1 3πr2h， ∴ 2 75L2≈1 3πr2，而 L≈2πr，代入得π≈25 8 . 10. （2017 湖南株洲）如图示，若 △ ABC 内一点 P 满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点 P 为 △ ABC 的布洛卡 点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855） 于 1816 年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官 布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形 DEF 中， ∠EDF=90°，若点 Q 为 △ DEF 的布洛卡点，DQ=1，则 EQ+FQ=（ ）【版权所有：21 教育】 A．5 B．4 C． D． 【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形． 【分析】由 △ DQF∽△FQE，推出 = = = ，由此求出 EQ、FQ 即可解决问题． 【解答】解：如图，在等腰直角三角形 △ DEF 中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3， 二、填空题（6×4=24 分）. 11. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三 视图如图 Z11－13 所示(单位：寸)，若π取 3，其体积为 12.6(立方寸)，则图中的 x 的值为________． 【解析】 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得： (5.4－x)×3×1＋π· 1 2 2 x＝12.6. 解得 x＝1.6. 12. 中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十 两。牛二，羊五，值金八两。问牛羊各值金几何？”译文：今有牛 5 头，羊 2 头，共值金 10 两，牛 2 头， 羊 5 头，共值金 8 两.问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金 两、 两，依题意，可列出方程为 . 【解析】本题考察列二元一次方程组，抓住题中的等量关系，较为容易列出方程组. 【答案】 13. [2017·遵义] 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如图 Z11－11)，其大意为：有一群人 分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有________ 两．(注：明代时 1 斤＝16 两，故有“半斤八两”这个成语) 【解析】设这群人人数为 x，根据题意得 7x＋4＝9x－8，解得 x＝6，银子的数量为 46 两．学科@网 14. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工 具)正放表示正数，斜放表示负数．如图 Z11－6，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的 数值为________． 15. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数 1，3，6，10，…，第 n 个三角形数 为n（n＋1） 2 ＝1 2n2＋1 2n.记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式． 三角形数 N(n，3)＝1 2n2＋1 2n， 正方形数 N(n，4)＝n2， 五边形数 N(n，5)＝3 2n2－1 2n， 六边形数 N(n，6)＝2n2－n， …… 可以推测，N(n，k)的表达式，由此计算 N(10，24)＝________． 【解析】由 N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可以推测： 当 k 为偶数时，N(n，k)＝ k 2 －1 n2－ k 2 －2 n， 于是 N(n，24)＝11n2－10n，故 N(10，24)＝11×102－10×10＝1000. 16. （2017•乐山）庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无 限 分 割 的 思 想 ， 用 图 形 语 言 表 示 为 图 1 ， 按 此 图 分 割 的 方 法 ， 可 得 到 一 个 等 式 （ 符 号 语 言）： 1= + + +…+ +…． 图 2 也是一种无限分割：在 △ ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，过点 C 作 CC1⊥AB 于点 C1，再过点 C1 作 C1C2 ⊥BC 于点 C2，又过点 C2 作 C2C3⊥AB 于点 C3，如此无限继续下去，则可将利 △ ABC 分割成 △ ACC1、 △ CC1C2、 △ C1C2C3、 △ C2C3C4、…、 △ Cn﹣2Cn﹣1Cn、…．假设 AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是 ． 【解答】解：如图 2，∵AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB， ∴Rt △ ACC1 中，∠ACC1=30°，且 BC=2 ， ∴AC1= AC=1，CC1= AC1= ， ∴S △ ACC1= •AC1•CC1= ×1× = ； ∵C1C2⊥BC， ∴∠CC1C2=∠ACC1=30°， ∴CC2= CC1= ，C1C2= CC2= ， ∴ = •CC2•C1C2= × × = × ， 同理可得， = ×（ ）2， = ×（ ）3， … ∴ = ×（ ）n﹣1， 【点评】本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什 么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考， 善用联想来解决这类问题． 三、解答题（共 46 分）. 17. 2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四 个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图 Z11－5)．如果小正方形的面积为 1，大正方 形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为θ，求 cosθ的值． 【解析】如图， ∵大正方形的面积为 25，小正方形的面积为 1， ∴大正方形边长 AD＝5，小正方形的边长 EF＝1. 设 DE＝AF＝x，在 Rt △ ADE 中，由勾股定理，得 AE2＋DE2＝AD2， ∴(x＋1)2＋x2＝52，解得 x1＝－4(舍去)，x2＝3， 即 DE＝3，AE＝3＋1＝4， ∴cosθ＝cos∠DAE＝AE AD ＝4 5. 18. （2016·江西·8 分）如图 1 是一副创意卡通圆规，图 2 是其平面示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂， 使用时，以点 A 为支撑点，铅笔芯端点 B 可绕点 A 旋转作出圆．已知 OA=OB=10cm． （1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到 0.01cm） （2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂 OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆 的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到 0.01cm） （参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器） 【考点】解直角三角形的应用． 【解答】解：（1）作 OC⊥AB 于点 C，如右图 2 所示， 由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°， ∴∠BOC=9° ∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm， 即所作圆的半径约为 3.13cm； （2）作 AD⊥OB 于点 D，作 AE=AB，如下图 3 所示， 19. 【2017·宜昌】 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a，b，c，称为勾股数．世界上第一 次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： a＝1 2 (m2－n2)， b＝mn， c＝1 2 (m2＋n2). 其中 m>n>0，m，n 是互质的奇数． 应用：当 n＝1 时，求有一边长为 5 的直角三角形的另外两条边长． 【解析】：当 n＝1 时，a＝1 2(m2－1)①，b＝m②，c＝1 2(m2＋1)③， 因为直角三角形有一边长为 5，分情况如下： 情况 1：当 a＝5 时，即1 2(m2－1)＝5，解得 m＝± 11(舍去)； 情况 2：当 b＝5 时，即 m＝5，再将它分别代入①③得 a＝1 2×(52－1)＝12，c＝1 2×(52＋1)＝13； 情况 3：当 c＝5 时，即1 2(m2＋1)＝5，m＝±3，因 m>0，所以 m＝3，把 m＝3 分别代入①②得 a＝1 2×(32－1) ＝4，b＝3. 综上所述，直角三角形的另两边长为 12，13 或 3，4. 20. （2018•江苏淮安•12 分）如果三角形的两个内角α与β满足 2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互 余三角形”． （1）若 △ ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B= 15 °； （2）如图①，在 Rt △ ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若 AD 是∠BAC 的平分线，不难证明 △ ABD 是“准互余三角形”．试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D），使得 △ ABE 也是“准互余三角形”？若存在， 请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由． （3）如图②，在四边形 ABCD 中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且 △ ABC 是“准互余三角 形”，求对角线 AC 的长． 【解答】解：（1）∵△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°， ∴2∠B+∠A=60°， 解得，∠B=15°， 故答案为：15°； （2）如图①中， （3）如图②中，将 △ BCD 沿 BC 翻折得到 △ BCF． ∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD， ∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°， ∴A.B.F 共线， ∴∠A+∠ACF=90° ∴2∠ACB+∠CAB≠90°， ∴只有 2∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F， ∴△FCB∽△FAC， ∴CF2=FB•FA，设 FB=x， 则有：x（x+7）=122， ∴x=9 或﹣16（舍弃）， ∴AF=7+9=16， 在 Rt △ ACF 中，AC= = =20． 【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是 理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决 问题，属于中考压轴题．学科@网