专题03 图表信息问题（精讲）-中考数学高频考点突破（解析版）

【课标解读】 图表信息问题是近年中考涌现的新问题,即运用图象、表格及一定的文字说明提供问题情境的一类试题， 图表信息题关键是“识图”和“用图”，主要是通过图形及表格信息，考查学生收集信息和处理信息的能力．解 题时，要充分审视图形、表格，全面掌握其提供的信息，理解其实质，把握其方法规律，从而解决问题。 【解题策略】 图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来,解题时要通过对图象的解读、分析和判断,确 定图象对应的函数解析式中字母系数符号特征和隐含的数量关系,然后运用数形结合、待定系数法等方法解 决问题. 解题策略：抓住图形或表格中的关键数据，筛选出有价值的信息，利用数据反映出的信息、规律、性 质等建立数学模型解决。 【考点深剖】 ★考点一 方程列表类问题： 对于表格问题，我们首先要审阅标题、题目，其次审核数据和审核要求，在认真审题的基础上，结合 标题、图表内容和要求，运用比较、分析、综合、判断、推理等思维方法进行思考，分析出表中有关材料、 数据的相互联系，从中找出规律性的东西。根据生活实际努力寻找信息点，从表格中提取有效信息，找准 分析“问题”和解决“问题”的切入点，揭示表格的本质和要旨。 【典例 1】（2018•武汉）将正整数 1 至 2018 按一定规律排列如下表： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ） A．2019 B．2018 C．2016 D．2013 【分析】设中间数为 x，则另外两个数分别为 x﹣1、x+1，进而可得出三个数之和为 3x，令其分别等于四个 选项中数，解之即可得出 x 的值，由 x 为整数、x 不能为第一列及第八列数，即可确定 x 值，此题得解． 【解答】解：设中间数为 x，则另外两个数分别为 x﹣1、x+1， ∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）=3x． 根据题意得：3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013， ★考点二 图像信息类问题： 图像信息问题主要考查学生收集信息和处理信息的能力，此类试题的题设条件或结论中包含有图象 (表)，如:在数轴上、直角坐标系中，点的坐标，一次函数、二次函数、反比例函数的图象等提供的形状特 征、位置特征、变化趋势等， 这种题型应用知识多，是近几年各地中考的一种新题型，这类题目的图象信 息量大，大多数条件不是直接告诉，而是以图象(表)形式映射出来，解答这类问题时要把图像信息和相应的 数学知识、数学模型相联系，要结合问题提供的信息，灵活运用数学知识进行联想、探索、发现和综合处 理，准确地使用数学模型来解决问题. 考在形式有选择题、填空题、解答题. 【典例 2】（2018•安徽）如图，直线 l1，l2 都与直线 l 垂直，垂足分别为 M，N，MN=1．正方形 ABCD 的 边长为 ，对角线 AC 在直线 l 上，且点 C 位于点 M 处．将正方形 ABCD 沿 l 向右平移，直到点 A 与点 N 重合为止．记点 C 平移的距离为 x，正方形 ABCD 的边位于 l1，l2 之间部分的长度和为 y，则 y 关于 x 的函 数图象大致为（ ） A． B． C． D． 【分析】当 0＜x≤1 时，y=2 x，当 1＜x≤2 时，y=2 ，当 2＜x≤3 时，y=﹣2 x+6 ，由此即可判断； ★考点三 统计概率类问题 关于统计概率类中的图像问题主要体现在几种统计图的运用上，往往结合统计图或者直方图表现数据 特点、变化趋势，这要结合相对应的知识点进行解答即可，考题往往在选择题、填空题及其解答题中出现. 【典例 3】（2018 广西南宁）（8.00 分）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识凳赛活动，红树林学校 对本校 100 名参加选拔赛的同学的成绩按 A，B，C，D 四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和 扇形统计图： 成绩等级 频数（人数） 频率 A 4 0.04 B m 0.51 C n D 合计 100 1 （1）求 m= ，n= ； （2）在扇形统计图中，求“C 等级”所对应心角的度数； （3）成绩等级为 A 的 4 名同学中有 1 名男生和 3 名女生，现从中随机挑选 2 名同学代表学校参加全市比赛， 请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率． 【分析】（1）由 A 的人数和其所占的百分比即可求出总人数，由此即可解决问题； （2）由总人数求出 C 等级人数，根据其占被调查人数的百分比可求出其所对应扇形的圆心角的度数； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率； （2）B 等级的学生共有：50﹣4﹣20﹣8﹣2=16（人）． ∴所占的百分比为：16÷50=32% ∴C 等级所对应扇形的圆心角度数为：360°×30%=108°． （3）列表如下： 男 女 1 女 2 女 3 男 ﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） （女，男） 女 1 （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） （女，女） 女 2 （男，女） （女，女） ﹣﹣﹣ （女，女） 女 3 （男，女） （女，女） （女，女） ﹣﹣﹣ ∵共有 12 种等可能的结果，选中 1 名男生和 1 名女生结果的有 6 种． ∴P（选中 1 名男生和 1 名女生）= = ． ★考点四 图文信息类问题 对于图文信息往往采用情景对话、图片展示等对问题内容进行展示，这需要先结合图文进行解读，对图 片各个细节要分析透彻，不要遗漏知识点或者条件要求。学科*网 【典例 4】（2018•衢州）某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的 水柱为抛物线，在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装 饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须 在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直 径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造 后喷水池水柱的最大高度． 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出 a 值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当 y=1.8 时 x 的值，由此即可得出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与 y 轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后 水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=﹣ x2+bx+ ，代入点（16，0）可求出 b 值，再利 用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． （2）当 y=1.8 时，有﹣ （x﹣3）2+5=1.8， 解得：x1=﹣1，x2=7， ∴为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心 7 米以内． （3）当 x=0 时，y=﹣ （x﹣3）2+5= ． 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=﹣ x2+bx+ ， ∵该函数图象过点（16，0）， ∴0=﹣ ×162+16b+ ，解得：b=3， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=﹣ x2+3x+ =﹣ （x﹣ ）2+ ． ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米． 【讲透练活】 变式 1：（2018 古呼和浩特）（3.00 分）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频 率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A．袋中装有大小和质地都相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中随机取一个，取到红球 B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数 C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是 7 或超过 9 【分析】根据统计图可知，试验结果在 0.33 附近波动，即其概率 P≈0.33，计算四个选项的概率，约为 0.33 者即为正确答案． 变式 2：（2018•天门）甲、乙两车从 A 地出发，匀速驶向 B 地．甲车以 80km/h 的速度行驶 1h 后，乙车才 沿相同路线行驶．乙车先到达 B 地并停留 1h 后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两 车之间的距离 y（km）与乙车行驶时间 x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是 120km/h； ②m=160；③点 H 的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为 80，从而得到乙车速度，根据图象变化 规律和两车运动状态，得到相关未知量． 变式 3：（2018•黄石）如图，在 Rt△PMN 中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形 ABCD 中 AB=2cm，BC=10cm， 点 C 和点 M 重合，点 B、C（M）、N 在同一直线上，令 Rt△PMN 不动，矩形 ABCD 沿 MN 所在直线以 每秒 1cm 的速度向右移动，至点 C 与点 N 重合为止，设移动 x 秒后，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分的面 积为 y，则 y 与 x 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【分析】在 Rt△PMN 中解题，要充分运用好垂直关系和 45 度角，因为此题也是点的移动问题，可知矩形 ABCD 以每秒 1cm 的速度由开始向右移动到停止，和 Rt△PMN 重叠部分的形状可分为下列三种情况，（1） 0≤x≤2；（2）2＜x≤4；（3）4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可． 【解答】解：∵∠P=90°，PM=PN， ∴∠PMN=∠PNM=45°， 由题意得：CM=x， 分三种情况： ①当 0≤x≤2 时，如图 1，边 CD 与 PM 交于点 E， ∵∠PMN=45°， ∴△MEC 是等腰直角三角形， 此时矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分是△EMC， ∴y=S△EMC= CM•CE= ； 故选项 B 和 D 不正确； ③当 4＜x≤6 时，如图 4，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分是五边形 EMCGF，过 E 作 EH⊥MN 于 H， ∴EH=MH=2，DE=CH=x﹣2， ∵MN=6，CM=x， ∴CG=CN=6﹣x， ∴DF=DG=2﹣（6﹣x）=x﹣4， ∴y=S 梯形 EMCD﹣S△FDG= ﹣ = ×2×（x﹣2+x）﹣ =﹣ +10x﹣18， 故选项 A 正确； 故选：A． 变式 4：（2018•永州）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参 观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数． 【分析】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为 x 人，女生人数为 y 人，根据“男生人数+女生人数=55、 男生人数=1.5×女生人数+5”列出方程组并解答． 变式 5：（2018•咸宁）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合， 我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学 生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客 车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 42 租金/（元/辆） 300 400 学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2 名老师． （1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为 8 辆； （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【分析】（1）设出老师有 x 名，学生有 y 名，得出二元一次方程组，解出即可； （2）根据汽车总数不能小于 = （取整为 8）辆，即可求出； （3）设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出 400x+300（8﹣x）≤3100，得出 x 取值范围，分析得出即可． 【解答】解：（1）设老师有 x 名，学生有 y 名． 依题意，列方程组为 ， 解之得： ， 答：老师有 16 名，学生有 284 名； （3）设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆， ∵车总费用不超过 3100 元， ∴400x+300（8﹣x）≤3100， 解得：x≤7， 为使 300 名师生都有座， ∴42x+30（8﹣x）≥300， 解得：x≥5， ∴5≤x≤7（x 为整数）， ∴共有 3 种租车方案： 方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2900 元； 方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3000 元； 方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3100 元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．学科*网 变式 6：（2018•天门）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线 段 EF、折线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价 y1（元）、生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间 的函数关系． （1）求该产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式； （2）直接写出生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式； （3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？ 【分析】（1）根据线段 EF 经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可； （2）显然，当 0≤x≤50 时，y2=70；当 130≤x≤180 时，y2=54；当 50＜x＜130 时，设 y2 与 x 之间的函数关系 式为 y2=mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可； （3）利用：总利润=每千克利润×产量，根据 x 的取值范围列出有关 x 的二次函数，求得最值比较可得． （2）由题意，可得当 0≤x≤50 时，y2=70； 当 130≤x≤180 时，y2=54； 当 50＜x＜130 时，设 y2 与 x 之间的函数关系式为 y2=mx+n， ∵直线 y2=mx+n 经过点（50，70）与（130，54）， ∴ ，解得 ， ∴当 50＜x＜130 时，y2=﹣ x+80． 综上所述，生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式为 y2= ； （3）设产量为 xkg 时，获得的利润为 W 元， ①当 0≤x≤50 时，W=x（﹣ x+168﹣70）=﹣ （x﹣ ）2+ ， ∴当 x=50 时，W 的值最大，最大值为 3400； ②当 50＜x＜130 时，W=x[（﹣ x+168）﹣（﹣ x+80）]=﹣ （x﹣110）2+4840， ∴当 x=110 时，W 的值最大，最大值为 4840；