【课标解读】
教育部《关于初中毕业、升学考试指导意见》明确指出，中考数学要出一定的开放性问题，以更好地
保障解答者创造性地发挥水平。《数学课程标准》在编学上也十分关注这个问题，在学习选择上改革力度很
大，书中有不少既符合学生特点又联系实际的开放性问题 。
开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两
个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.
【解题策略】
在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问
题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.
【考点深剖】
★考点一 条件开放型
所谓条件开放型试题是指在结论不变的前提下，条件不唯一的题目．
【典例 1】（2018•安顺）如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 AB=AC，现添加
以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知 AB=AC，可根据全等三角形判定定理 AAS、SAS、ASA 添加条件，逐一证明
即可．
★考点二 结论开放型
数学命题，根据思维形式可分成三部分：假设——推理——判断．所谓结论开放题是指判断部分是未
知要素的开放题．
【典例 2】（2018•安顺）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线
交 BE 的延长线于点 F，连接 CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若 AC⊥AB，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）连接 DF，由 AAS 证明△AFE≌△DBE，得出 AF=BD，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形 ADCF，求出 AD=CD，根据菱形的判定得出即可；
∵AE=DE，
∴四边形 AFDB 是平行四边形，
∴BD=AF，
∵AD 为中线，
∴DC=BD，
∴AF=DC；
（2）四边形 ADCF 的形状是菱形，理由如下：
★考点三 作图开放型
这类题与传统的作图题比较，符合题意的答案多种多样，具有很强的开放性。
【典例 3】（2018•河北）已知：如图，点 P 在线段 AB 外，且 PA=PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线
上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A．作∠APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C
B．过点 P 作 PC⊥AB 于点 C 且 AC=BC
C．取 AB 中点 C，连接 PC
D．过点 P 作 PC⊥AB，垂足为 C
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【解答】解：A、利用 SAS 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点 P 在线段 AB 的垂直平
分线上，符合题意；
C、利用 SSS 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合
题意；
D、利用 HL 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合题意，
B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；
故选：B．学科&网
★考点四 探究开放型
此类题常以找规律的阅读题形式出现,解题要求能善于观察分析,归纳所提供的材料,猜想其结论。
【典例 4】（2017 浙江衢州）在直角坐标系中，过原点 O 及点 A（8，0），C（0，6）作矩形 OABC、连结 OB，
点 D 为 OB 的中点，点 E 是线段 AB 上的动点，连结 DE，作 DF⊥DE，交 OA 于点 F，连结 EF．已知点 E 从 A
点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设移动时间为 t 秒．
（1）如图 1，当 t=3 时，求 DF 的长．
（2）如图 2，当点 E 在线段 AB 上移动的过程中，∠DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如
果不变，请求出 tan∠DEF 的值．
（3）连结 AD，当 AD 将△DEF 分成的两部分的面积之比为 1：2 时，求相应的 t 的值．
【分析】（1）当 t=3 时，点 E 为 AB 的中点，由三角形中位线定理得出 DE∥OA，DE= OA=4，再由矩形的性
质证出 DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，证出四边形 DFAE 是矩形，得出 DF=AE=3 即可；
（3）作作 DM⊥OA 于 M，DN⊥AB 于 N，若 AD 将△DEF 的面积分成 1：2 的两部分，设 AD 交 EF 于点 G，则点
G 为 EF 的三等分点；
①当点 E 到达中点之前时，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE 得：MF= （3﹣t），求出 AF=4+MF=﹣ t+ ，得出
G（ ， t），求出直线 AD 的解析式为 y=﹣ x+6，把 G（ ， t）代入即可求出 t 的值；
②当点 E 越过中点之后，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE 得：MF= （t﹣3），求出 AF=4﹣MF=﹣ t+ ，得出 G
（ ， t），代入直线 AD 的解析式 y=﹣ x+6 求出 t 的值即可．
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形 DFAE 是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）∠DEF 的大小不变；理由如下：
作 DM⊥OA 于 M，DN⊥AB 于 N，如图 2 所示：
∵四边形 OABC 是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形 DMAN 是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴ ， = ，
∵点 D 为 OB 的中点，
∴M、N 分别是 OA、AB 的中点，
∴DM= AB=3，DN= OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴ = ，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF= = ；
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，
把 A（8，0），D（4，3）代入得： ，
解得： ，
∴直线 AD 的解析式为 y=﹣ x+6，
把 G（ ， t）代入得：t= ；
②当点 E 越过中点之后，如图 4 所示，NE=t﹣3，
由△DMF∽△DNE 得：MF= （t﹣3），
∴AF=4﹣MF=﹣ t+ ，
∵点 G 为 EF 的三等分点，
∴G（ ， t），
代入直线 AD 的解析式 y=﹣ x+6 得：t= ；
综上所述，当 AD 将△DEF 分成的两部分的面积之比为 1：2 时，t 的值为 或 .
【讲透练活】
变式 1：（2018•成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB 的是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC
【分析】全等三角形的判定方法有 SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
变式 2：（2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．
故选：D．学科&网
变式 3：（2018•娄底）如图，已知四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 OA=OC，OB=OD，过 O 点
作 EF⊥BD，分别交 AD、BC 于点 E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由．
【分析】（1）首先证明四边形 ABCD 是平行四边形，再利用 ASA 证明△AOE≌△COF；
（2）结论：四边形 BEDF 是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE 和△COF 中，
，
∴△AOE≌△COF．
变式 4：（2018•金华）如图，在 6×6 的网格中，每个小正方形的边长为 1，点 A 在格点（小正方形的顶点）
上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为 6，且符合相应条件的图形．
【分析】利用数形结合的思想解决问题即可；
【解答】解：符合条件的图形如图所示：
变式 5：（2018•泰安）如图，△ABC 中，D 是 AB 上一点，DE⊥AC 于点 E，F 是 AD 的中点，FG⊥BC 于点 G，
与 DE 交于点 H，若 FG=AF，AG 平分∠CAB，连接 GE，CD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B=30°，判定四边形 AEGF 是否为菱形，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AF=FG，
∴∠FAG=∠FGA，
∵AG 平分∠CAB，
∴∠CAG=∠FGA，
∴∠CAG=∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，
∵F 是 AD 的中点，FG∥AE，
∴H 是 ED 的中点，
∴FG 是线段 ED 的垂直平分线，
∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（3）四边形 AEGF 是菱形，
证明：∵∠B=30°，
∴∠ADE=30°，
∴AE= AD，
∴AE=AF=FG，
由（1）得 AE∥FG，
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∴四边形 AEGF 是菱形．
变式 6：（2017 湖北随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形
的边长相等．
（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图 1 所示的图形，
AF 经过点 C，连接 DE 交 AF 于点 M，观察发现：点 M 是 DE 的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路 1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路 2：不证三角形全等，连接 BD 交 AF 于点 H．…
请参考上面的思路，证明点 M 是 DE 的中点（只需用一种方法证明）；
（2）如图 2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长 AD、EF 交于点 N，求 的值；
（3）在（2）的条件下，若 =k（k 为大于 的常数），直接用含 k 的代数式表示 的值．
（4）由于 = = + =k，则 = ，然后表示出 = = • +1，再把 = 代入计
算即可．学科&网
【解答】解：（1）如图 1，
证法一：∵四边形 ABCD 为菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵四边形 ABEF 为平行四边形，
∴AB=EF，AB∥EF，
∴CD=EF，CD∥EF，
∴∠CDM=∠FEM，
在△CDM 和△FEM 中
，
∴△CDM≌△FEM，
∴DM=EM，
（2）∵△CDM≌△FEM，
∴CM=FM，
设 AD=a，CM=b，
∵∠ABE=135°，
∴∠BAF=45°，
∵四边形 ABCD 为菱形，
∴∠NAF=45°，
∴四边形 ABCD 为正方形，
∴AC= AD= a，
∵AB∥EF，
∴∠AFN=∠BAF=45°，
∴△ANF 为等腰直角三角形，
∴NF= AF= （ a+b+b）=a+ b，
∴NE=NF+EF=a+ b+a=2a+ b，
∴ = = = ；
（4）∵ = = + =k，
∴ =k﹣ ，
∴ = ，
∴ = = • +1= • +1= ．
微信/支付宝扫码支付