专题06 方案设计问题（精讲）-中考数学高频考点突破（解析版）

【课标解读】 方案设计问题涉及面较广，内容比较丰富，题型变化较多，不仅有方程、不等式、函数，还有几何图 形的设计等.方案设计型题是通过设置一个实际问题情境，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生 运用学过的知识和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案,要求判 断哪个方案较优.它包括与方程、不等式有关的方案设计、与函数有关的方案设计和与几何图形有关的方案 设计. 【解题策略】 常见的几种考题类型有：1.解决与方程、不等式有关的方案设计题目，通常利用方程或不等式求出符 合题意的方案；2.与函数有关的方案设计一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经 济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，通常用函数的性质进行分析；3.与几何图形有关的方 案设计，一般是利用几何图形的性质，设计出符合某种要求和特点的图案. 解题策略可以概括为：从实际 问题入手→归纳若干信息→提出问题要求→引导设计操作→判断优化方案 【考点深剖】 ★考点一 与方程、不等式有关的方案设计 方程、不等式方案设计问题主要是利用方程、不等式的相关知识，建立相应的数学模型，利用列方程(组) 和不等式(组)，通过有关的计算，找到方程(组)的解和不等式(组)的解集，再结合题目要求，确定未知数 的具体数值.未知数有几个值，即有几种方案. 方程、不等式方案设计的主要步骤：(1)利用方程、不等式建立相应的数学模型；(2)列出方程(组)或 不等式(组)；(3)通过解方程(组)或不等式(组)，确定未知数的值；(4)确定方案. 【典例 1】（2018•济宁）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B 两村准备各自清理所属区域 养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表： 村庄 清理养鱼网箱人数/ 人 清理捕鱼网箱人数/ 人 总支出/元 A 15 9 57000 B 10 16 68000 （1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元； （2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调 40 人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要 使总支出不超过 102000 元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？ 【分析】（1）设清理养鱼网箱的人均费用为 x 元，清理捕鱼网箱的人均费用为 y 元，根据 A、B 两村庄总 支出列出关于 x、y 的方程组，解之可得； （2）设 m 人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱，根据“总支出不超过 102000 元，且清理养鱼网 箱人数小于清理捕鱼网箱人数”列不等式组求解可得． （2）设 m 人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱， 根据题意，得： ， 解得：18≤m＜20， ∵m 为整数， ∴m=18 或 m=19， 则分配清理人员方案有两种： 方案一：18 人清理养鱼网箱，22 人清理捕鱼网箱； 方案二：19 人清理养鱼网箱，21 人清理捕鱼网箱． ★考点二 与函数有关的方案设计 函数方案设计是指由题目提供的背景材料或图表信息，确定函数关系式.利用函数图象的性质获得解决 问题的具体方法.解决此类问题的难点主要是正确确定函数关系式，关键是熟悉函数的性质及如何通过不等 式确定函数自变量的取值范围. 【典例 2】（2018·浙江省台州·12 分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料 药未来两年的销售进行预测，井建立如下模型：设第 t 个月该原料药的月销售量为 P（单位：吨），P 与 t 之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数 P= （0＜t≤8）的图象与线段 AB 的组合；设第 t 个月销 售该原料药每吨的毛利润为 Q（单位：万元），Q 与 t 之间满足如下关系：Q= （1）当 8＜t≤24 时，求 P 关于 t 的函数解析式； （2）设第 t 个月销售该原料药的月毛利润为 w（单位：万元） ①求 w 关于 t 的函数解析式； ②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513 是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范 围所对应的月销售量 P 的最小值和最大值． 【分析】（1）设 8＜t≤24 时，P=kt+b，将 A（8，10）、B（24，26）代入求解可得 P=t+2； （2）①分 0＜t≤8.8＜t≤12 和 12＜t≤24 三种情况，根据月毛利润=月销量×每吨的毛利润可得函数解析 式； ②求出 8＜t≤12 和 12＜t≤24 时，月毛利润 w 在满足 336≤w≤513 条件下 t 的取值范围，再根据一次函数 的性质可得 P 的最大值与最小值，二者综合可得答案． （2）①当 0＜t≤8 时，w=（2t+8）× =240； 当 8＜t≤12 时，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16； 当 12＜t≤24 时，w=（﹣t+44）（t+2）=﹣t2+42t+88； ②当 8＜t≤12 时，w=2t2+12t+16=2（t+3）2﹣2， ∴8＜t≤12 时，w 随 t 的增大而增大， 当 2（t+3）2﹣2=336 时，解题 t=10 或 t=﹣16（舍）， 当 t=12 时，w 取得最大值，最大值为 448， 此时月销量 P=t+2 在 t=10 时取得最小值 12，在 t=12 时取得最大值 14； 当 12＜t≤24 时，w=﹣t2+42t+88=﹣（t﹣21）2+529， 当 t=12 时，w 取得最小值 448， 由﹣（t﹣21）2+529=513 得 t=17 或 t=25， ∴当 12＜t≤17 时，448＜w≤513， 此时 P=t+2 的最小值为 14，最大值为 19； 综上，此范围所对应的月销售量 P 的最小值为 12 吨，最大值为 19 吨． ★考点三 与几何图形有关的方案设计 图形方案设计题，它摆脱了传统的简单作图，把对作图的技能的考查放在一一个实际生活的大背景下， 从而考查了学生的综合创新能力，给同学们的创造性思维提供了广阔的空间与平台.此类题常利用某些规则 的图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，利用图形的性质，或利用轴对称和中心对称等，拼出符合某 些条件的图形.学科*网 【典例 3】某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形 ABCD 是矩形，分别以 AB、BC、CD、 DA 边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为 628 米，矩形的边长 AB=y 米,BC=x 米.(注：取π=3.14) (1)试用含 x 的代数式表示 y； (2)现计划在矩形 ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为 428 元,在四个半圆的区域上 种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为 400 元； ①设该工程的总造价为 W 元，求 W 关于 x 的函数关系式； ②若该工程政府投入 1 千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理 由. ③若该工程在政府投入 1 千万元的基础上，又增加企业募捐资金 64.82 万元，但要求矩形的边 BC 的长不超 过 AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有 可能的设计方案，若不能，请说明理由. ②仅靠政府投入的 1 千万不能完成该工程的建设任务．理由如下， 由①知 W=200（x﹣100）2+1.056×107＞107， 所以不能； ★考点四 涉及统计计算的方案设计 【典例 4】某学校举行演讲比赛，选出了 10 名同学担任评委，并事先拟定从如下 4 个方案中选择合理的方 案来确定每个演讲者的最后得分(满分为 10 分)： 方案 1：所有评委所给分的平均数； 方案 2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余所给分的平均数； 方案 3：所有评委所给分的中位数； 方案 4：所有评委所给分的众数． 为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图： (1)分别按上述 4 个方案计算这个同学演讲的最后得分； (2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分． 解：(1)方案 1 最后得分： 1 10 ×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案 2 最后得分：1 8 ×(7.0＋ 7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案 3 最后得分：8；方案 4 最后得分：8 或 8.4. (2)因为方案 1 中的平均数受 极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案 1 不适合作为最后得分的方案；又因为方 案 4 中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案 4 不适合作为最后得分的方案． 【讲透练活】 变式 1：（2018•广州）友谊商店 A 型号笔记本电脑的售价是 a 元/台．最近，该商店对 A 型号笔记本电脑举 行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过 5 台，每台按售 价销售；若超过 5 台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买 A 型号笔记本电 脑 x 台． （1）当 x=8 时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ （2）若该公司采用方案二购买更合算，求 x 的取值范围． 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买 8 台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买 x 台时，该公司采用方案二购买更合算，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出 结论． （2）∵若该公司采用方案二购买更合算， ∴x＞5， 方案一：w=90%ax=0.9ax， 方案二：当 x＞5 时，w=5a+（x﹣5）a×80%=5a+0.8ax﹣4a=a+0.8ax， 则 0.9ax＞a+0.8ax， x＞10， ∴x 的取值范围是 x＞10． 变式 2：（2018·广西梧州·10 分）我市从 2018 年 1 月 1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车 的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入 8 万元购进 A.B 两种型号的电动自行车共 30 辆，其中每辆 B 型电动自行车比每辆 A 型电动自行车多 500 元．用 5 万元购进的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电 动自行车数量一样． （1）求 A.B 两种型号电动自行车的进货单价； （2）若 A 型电动自行车每辆售价为 2800 元，B 型电动自行车每辆售价为 3500 元，设该商店计划购进 A 型 电动自行车 m 辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润 y 元．写出 y 与 m 之间的函数关系式； （3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 【分析】（1）设 A.B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元（x+500）元，构建分式方程即可解决问题； （2）根据总利润=A 型两人+B 型的利润，列出函数关系式即可； （3）利用一次函数的性质即可解决问题； 【解答】解：（1）设 A.B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元（x+500）元． 由题意： = ， 解得 x=2500， 经检验：x=2500 是分式方程的解． 答：A.B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2500 元 3000 元． （2）y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000（20≤m≤30）， （3）∵y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000， ∵﹣200＜0，20≤m≤30，学科*网 变式 3：（2018•莱芜•10 分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买 甲型机器人 1 台，乙型机器人 2 台，共需 14 万元；购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 3 台，共需 24 万元． （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； （2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件和 1000 件，该公司计划购买这两种型号的 机器人共 8 台，总费用不超过 41 万元，并且使这 8 台机器人每小时分拣快递件数总和不少于 8300 件，则 该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？ 【分析】（1）利用二元一次方程组解决问题； （2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值． （2）设该公可购买甲型机器人 a 台，乙型机器人（8﹣a）台，根据题意得 解这个不等式组得 ∵a 为正整数 ∴a 的取值为 2，3，4， ∴该公司有 3 种购买方案，分别是 购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台 购买甲型机器人 3 台，乙型机器人 5 台 变式 4：阅读下列材料： 小明遇到一个问题：5 个同样大小的正方形纸片排列形式如图 1 所示，将它们分割后拼接成一个新的正 方形.他的做法是：按图 2 所示的方法分割后，将三角形纸片①绕 AB 的中点 O 旋转至三角形纸片②处，依 此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形 DEFG. 请你参考小明的做法解决下列问题：．．．．．．．．．．．．．．．． （1）现有 5 个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图 3 所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形. 要求：在图 3 中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）； （2）如图 4，在面积为 2 的平行四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点，分别 连结 AF、BG、CH、DE 得到一个新的平行四边形 MNPQ，请在图 4 中探究平行四边形 MNPQ 面积的大小（画图 表明探究方法并直接写出结果）. 解：⑴如图中平行四边形即为所求. ⑵如图：平行四边形 MNPQ 面积为 5 2 . 变式 5：（2018•福建 B 卷•10 分）空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，已知木栏总长为 100 米． （1）已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏，且围成的矩形菜园面积为 450 平方米． 如图 1，求所利用旧墙 AD 的长； （2）已知 0＜α＜50，且空地足够大，如图 2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成 的矩 形菜园 ABCD 的面积最大，并求面积的最大值． 【分析】（1）按题意设出 AD，表示 AB 构成方程； （2）根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数量关系． （2）设 AD=x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米 ①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意 得： S= ，0＜x＜a ∵0＜α＜50 ∴x＜a＜50 时，S 随 x 的增大而增大 当 x=a 时，S 最大=50a﹣ 综合①②，当 0＜a＜ 时， ﹣（ ）= ＞ ，此时，按图 2 方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为 平方米 当 时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当 0＜a＜ 时，围成长和宽均为（25+ ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为 平方 米； 当 时，围成长为 a 米，宽为（50﹣ ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（ ）平 方米．