26.2 实际问题与反比例函数-人教版九年级数学下册课堂训练

26.2 实际问题与反比例函数 自主预习 1.写出下列问题中的函数关系式： （1）京沈高速公路全长 658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车 行完全程所需时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间的函数关系式为 ___________. （2）完成某项任务可获得 500 元报酬，考虑由 x 人完成这项任务，试写出人均 报酬 y（元）与人数 x（人）之间的函数关系式_____________ . （3）某住宅小区要种植一个面积为 1000 的矩形草坪，草坪的长 y 随宽 x 的变 化而变化_____________ . 2. 某工厂现有原材料 100 t，每天平均用去 x t，这批原材料能用 y 天，则 y 与 x 之间的函数表达式为（ ） A. y=100x B. y=100 x C. y= 2 x +100 D. y=100－x 3. 小明用一块橡皮泥做一个圆柱形模型，圆柱的高为 h（cm），底面积为 S（cm2）. 当圆柱的高为 12 cm 时，圆柱的底面积为 2 cm2. （1）以 h 为自变量，求 S 与 h 之间的函数关系式； （2）当圆柱的底面积为 5 cm2 时，求圆柱的高. 互动训练 知识点一：根据实际问题列反比例函数关系式 1. 汽车油箱中有油 20 升，汽车行驶过程中每小时耗油 x 升，则其行驶时间 y （小时）与 x（升）之间的函数关系式为（ ） A.y=20x B. y= 20 x C. y= 20 x D. y=20-x 2. 已知甲、乙两地相距 S（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车 行驶的时间 t（单位：h）关于行驶速度 v（单位：km/h）的函数图象是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形的面积一定，则它底边 a 上的高 h 与底边 a 之间的函数关系的图 象大致是（ ） A. B. C. D. 4．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均 80 千米/小时的速度用了 4 个小时 到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度 v 千米/小时与时间 t 小时的函数 关系是（ ） A．v=320t B．v= 320 t C．v=20t D．v= 20 t 5.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m 的某种气体，当改变容积 V 时，气体的密度 p 也随之改变，ρ与 V 在一定范围内满足ρ＝ ，它的图象如图 所示，则该气体的质量 m 为（ ） A．1.4kg B．5kg C．7kg D．6.4kg 6. 某同学要到离家 2000 米外的学校上学，那么他每分钟走 m（米）和所用时间 t（分钟）之间的函数关系式为 . 知识点二：求某些量的取值范围 7. 面积为 4 的矩形一边为 x，另一边为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象大致表示 为（ ） A. B. C. D. 8. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P(kPa) 是气球体积 V(m3) 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于 160kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应( ). A. 不大于 0.6m3 B. 不大于 96m3 C. 不小于 0.6m3 D. 不小于 96m3 8 题图 9 题图 9．为了保护生态环境，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造．如 图描述的是月利润 y(万元)和月份 x 之间的变化关系，治污改造完成前是反比例 函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法不正 确的是( ) A．5 月份该厂的月利润最低 B．治污改造完成后，每月利润比前一个月增加 30 万元 C．治污改造前后，共有 6 个月的月利润不超过 120 万元 D．治污改造完成后的第 8 个月，该厂月利润达到 300 万元 10. 将油箱注满 k 升油后，轿车行驶的总路程 S（单位：千米）与平均耗油量 a （单位：升/千米）之间满足反比例函数关系 S= k a （k 是常数，k≠0）.已知某轿 车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油 0.1 升的速度行驶，可行驶 700 千 米. （1）求该轿车可行驶的总路程 S 与平均耗油量 a 之间的函数解析式（关系式）； （2）当平均耗油量为 0.08 升/千米时，该轿车可以行驶多少千米? 11.某地建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为 360 万米 3． （1）写出运输公司完成任务所需的时间 y（单位：天）与平均每天的工作量 x （单位：万米 3）之间的函数关系式； （2）当运输公司平均每天的工作量 15 万米 3，完成任务所需的时间是多少？ （3）为了能在 150 天内完成任务，平均每天的工作量至少是多少万米 3？ 12.一位司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80 km／h 的平均速度用 6 h 到达目的 地. （1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ （2）若该司机必须在 4 h 内回到甲地，则返程的速度不能低于多少？ 知识点三：利用反比例函数解决实际问题 13.某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温 100℃，停止加热， 水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温 降至 30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若 在水温为 30℃时，接通电源后，水温 y（℃）和时间 x（min）的关系如图所示， 水温从 100℃降到 35℃所用的时间是（ ） A．27 分钟 B．20 分钟 C．13 分钟 D．7 分钟 14. 你吃过拉面吗?实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面 团做成拉面，面条的总长度 y(m)是面条粗细（横截面积）S(mm2) 的反比例函数， 其图象如图所示. （1）写出 y 与 S 之间的函数关系式； （2）当面条粗 1.6mm2 时，求面条的总长度。 14 题图 15. 某蓄水池的排水管每小时排水 8m3，6 小时可将满池水全部排空。 （1）求蓄水池的容积； （2）如果增加排水管，使每小时排水量达到 Q(m3)，此时将满池水排空所需 时间 t(h)，求 Q 与 t 之间的函数关系式； （3）如果准备在 5 小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少? 16. 某空调厂的装配车间计划组装 9000 台空调。 （1）从组装空调开始，每天组装的台数 y（台）与组装的天数 x（天）有怎样的 函数关系? （2）原计划 60 天完成，由于气温升高，厂家决定让这批空调提前 10 天上市， 那么组装车间每天至少要多组装多少台? 课时达标 1．某人驾车从甲地开往乙地，他以平均 80 千米/小时的速度用了 4 个小时到达 乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 千米/小时与时间 t 小时的函数关系 是( ) A．v＝320t B．v＝320 t C．v＝20t D．v＝20 t 2．某中学在去年的体育中考中，男生将进行 1 000 米跑步测试，王亮跑步速度 v(米/分)与测试时间 t(分)的函数图象是( ) 3.某学校要种植一块面积为 200m2 的长方形草坪，要求两边长均不小于 10m，则 草坪的一边长 y（单位：m）随另一边长 x（单位：m）的变化而变化的图象 可能是（ ） A． B. C. D. 4.在大棚中栽培新品种的蘑菇，在 18℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统 的大棚栽培，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度 y （℃）随时间 x（时）变化的函数图象，其中 BC 段是函数 y＝ （k＞0）图象的 一部分．若该蘑菇适宜生长的温度不低于 12℃，则这天该种蘑菇适宜生长的时 间为（ ） A．18 小时 B．17.5 小时 C．12 小时 D．10 小时 4 题图 5 题图 5.为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自 2019 年 1 月开始限产进行治污改造，其月利润 y（万元）与月份 x 之间的变化如图所示， 治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分， 下列选项错误的是（ ） A．4 月份的利润为 50 万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加 30 万元 C．治污改造完成前后共有 4 个月的利润低于 100 万元 D．9 月份该厂利润达到 200 万元 6．某家庭用购电卡购买了 2 000 度电，若此家庭平均每天的用电量为 x(单位： 度)，这 2 000 度电能够使用的天数为 y(单位：天)，则 y 与 x 的函数解析式 为 ． 7．如图所示是一蓄水池每小时的排水量 V(m3/h)与排完水池中的水所用时间 t(h) 之间的函数关系图象，若要 5 小时排完水池中的水，则每小时的排水量应 为 . 7 题图 8.把一个长、宽、高分别为 3cm，2cm，1cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块， 则该 圆 柱 体 铜 块 的 底 面 积 s （ cm2 ） 与 高 h （cm ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ． 9.某产品的进价为 50 元，该产品的日销量 y（件）是日销价 x（元）的反比例函 数，且当售价为每件 100 元时，每日可售出 40 件，为获得日利润为 1500 元，售 价应定为 ． 10.某村利用秋冬季节兴修水利，计划请运输公司用 90～150 天（含 90 与 150 天） 完成总量 300 万米 3 的土石方运送，设运输公司完成任务所需的时间为 y（单位： 天），平均每天运输土石方量为 x（单位：万米 3），请写出 y 关于 x 的函数关系 式并给出自变量 x 的取值范围 ． 11.学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为 24 平方米的 矩形饲养场．设它的一边长为 x（米），则另一边的长 y（米）与 x 的函数关 系式为 ，自变量 x 的取值范围为 ． 12.已知矩形的面积是 6cm2．它的一组邻边长分别是 x（单位：cm）和 y（单位： cm）． （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式．并求出自变量的取值范围． （2）画出这个函数的图象． 13.幼儿园需要购买一块面积为 6m2 的等腰三角形地毯． （1）地毯的底边长 l（单位：m）与底边上的高 h（单位：m）有怎样的函数关 系？ （2）如果底边长定为 5m，那么底边上的高应为多少？ （3）如果把高定为 3m，那么底边长应为多少？ 14．如图所示，墙 MN 长为 12 m，要利用这面墙围一个矩形小院，面积为 60 m2， 现有建材能建围墙总长至多 26 m，设 AB＝x m，BC＝y m. (1)写出 y 与 x 之间的函数解析式； (2)要求 x 和 y 都取整数，且小院的长宽比尽可能的小，x 应取何值？ 14 题图 15.教室时的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 10℃，加 热到 100℃停止加热，水温开始下降，此时水温 y（℃）与开机后用时 x（min） 成反比例关系，直至水温降至 30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机， 重复上述自动程序．若在水温为 30℃时接通电源，水温 y（℃）与时间 x（min） 的关系如图所示： （1）分别写出水温上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数关系式； （2）怡萱同学想接不低于 50℃的水，在一轮开机到关机过程中，请问有多长 时间能满足这位同学的水温需求？ 15 题图 拓展探究 1.为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每 立方米空气中的含药量 y（mg）与燃烧时间 x（分钟）成正比例；燃烧后，y 与 x 成反比例（如图所示）．现测得药物 10 分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含 药量为 6mg．研究表明当每立方米空气中含药量低于 1.2mg 时，对人体方能无毒 害作用，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室． 1 题图 2 题图 2.实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5 小时内其血液中酒精含量 y （毫克/百毫升）与时间 x（时）成正比例；1.5 小时后（包括 1.5 小时）y 与 x 成 反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y 与 x 之间的函数关系式及相应的自 变量取值范围； （2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫 升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 21：00 在家喝完半斤低度白酒，第二天早上 7：00 能否驾车去上班？请说明 理由． 3.小明家饮水机中原有水的温度为 20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此 过程中水温 y（℃）与开机时间 x（分）满足一次函数关系），当加热到 100℃时 自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温 y（℃）与开机时间 x（分） 成反比例关系），当水温降至 20℃时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如 图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当 0≤x≤10 时，求水温 y（℃）与开机时间 x（分）的函数关系式； （2）求图中 t 的值； （3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步 57 分钟回到家时， 饮水机内的温度约为多少℃？ 3 题图 26.2 实际问题与反比例函数答案 自主预习 1. (1) t= 658 v 或 vt=658, (2)y= 500 x 或 xy=500, (3)y=1000 x 或 xy=1000. 2. B. 3.解：（1）∵圆柱的体积 V=Sh，∴S=V h , ∵h=12 时，底面积 S=2，∴V=12×2=24. ∴S 与 h 的函数关系式为 S= 24 h （2）将 S=5 代入 S= 24 h ,得 h=4.8，故圆柱的高为 4.8 cm. 互动训练 1. B. 2. C. 3. A. 4. B. 5. C. 解析：∵ρ＝ m V ，∴m＝ρV，而点（5，1.4）在图象上，代入得 m＝5×1.4 ＝7（kg）． 故选：C． 6. m= 2000 t . 7. C. 8. C. 解析：设 P= k V (k＞0),由图象知，过点（1.5,64），即 64=1.5 k ，k=96， ∴P= 96 V ,P=160 时，V=0.6, 当 P＜160 时，V＞0.6, ∴选 C. 9. C. 解析：A.由题中函数图象，得 5 月份该厂的月利润最低，为 60 万元，故 A 正确； B.治污改造完成后，从 5 月到 7 月，利润从 60 万元到 120 万元，故每月利润 比前一个月增加 30 万元，故 B 正确； C.设反比例函数的解析式为 ay x  ，将（1，300）代入得 300a  ，故 300y x  ， 将 y=120 代入，得 300120 x  ，解得 5 2x  ，所以只有 3 月、4 月、5 月、6 月、7 月共 5 个月的月利润不超过 120 万元，故 C 错误； D.设一次函数的解析式为 y=kx+b，将（5，60），（7，120）代入得， 5 60 7 120 k b k b      ，解得 30 90 k b     ，所以 y=30x-90，当 y=300 时，x=13， 则治污改造完成后的第 8 个月，该厂月利润达到 300 万元，故 D 正确． 故选：C． 10. （1） 由题意得：a=0.1，S=700， 代入反比例函数关系式 S= k a 中，解得：k=Sa=70， ∴函数关系式为 S= 70 a (a＞0). （2） 将 a=0.08 代入 S= 70 a 得：S= 70 a = 70 0.08 =875（千米）， 故该轿车可以行使 875 千米. 11. 解：（1）运输公司完成任务所需的时间 y（单位：天）与平均每天的工作量 x（单位：万米 3）之间的函数关系式为：xy＝360，故 y＝ ； （2）∵当运输公司平均每天的工作量 15 万米 3， ∴完成任务所需的时间是：y＝ ＝24（天）， 答：完成任务所需的时间是 24 天； （3）为了能在 150 天内完成任务，设平均每天的工作量是 m， 根据题意可得：150≥ ，解得：x≥2.4， 答：平均每天的工作量至少是 2.4 万米 3． 12 解：（1）由题意,得两地路程为 80×6=480（km）， 故汽车的速度 v 与时间 t 的函数关系为 v= 480 t （2）由题意,得 4v≥480，解得 v≥120. ∴返程时的速度不能低于 120 km/h. 13. C. 解析：∵开机加热时每分钟上升 10℃，∴从 30℃到 100℃需要 7 分钟， 设一次函数关系式为：y＝k1x+b， 将（0，30），（7，100）代入 y＝k1x+b 得 k1＝10，b＝30 ∴y＝10x+30（0≤x≤7），令 y＝50，解得 x＝2； 设反比例函数关系式为：y＝ ， 将（7，100）代入 y＝ 得 k＝700， ∴y＝ ，将 y＝35 代入 y＝ ，解得 x＝20； ∴水温从 100℃降到 35℃所用的时间是 20﹣7＝13 分钟， 故选：C． 14. （1）y=128 S ． （2）y= 128 1.6 =80(m). 15. （1）48m3． （2）Q= 48 t ． （3）Q≥ 48 5 =9.6m3． 16. （1）y= 9000 x ． （2） 9000 9000 50 60  =180-150=30（台）． 课时达标 1. B. 2. C. 3. C. 解析：∵草坪面积为 200m2，∴x、y 存在关系 y＝ ， ∵两边长均不小于 10m，∴x≥10、y≥10，则 x≤20，故选：C． 4. B. 解析：把 B（12，18）代入 y＝ 中得：k＝12×18＝216； 设一次函数的解析式为：y＝mx+n 把（0，10）、（2，18）代入 y＝mx+n 中， 得： ，解得 ， ∴AD 的解析式为：y＝4x+10 当 y＝12 时，12＝4x+10，x＝0.5，12＝ ，解得：x＝ ＝18， ∴18﹣0.5＝17.5，故选：B． 5. C. 解析：A.设反比例函数的解析式为 y＝ k x ，把（1，200）代入得，k＝200， ∴反比例函数的解析式为：y＝ 200 x ，当 x＝4 时，y＝50， ∴4 月份的利润为 50 万元，故此选选项正确，不合题意； B. 治污改造完成后，从 4 月到 6 月，利润从 50 万到 110 万，故每月利润比前 一个月增加 30 万元，故此选选项正确，不合题意； C. 当 x＝100 时，则 100＝ 200 x ，解得：x＝2， 则只有 3 月，4 月，5 月共 3 个月的利润低于 100 万元，故此选项不正确，符合 题意． D. 设一次函数解析式为：y＝kx+b， 则 ，解得： ， 故一次函数解析式为：y＝30x﹣70，故 y＝200 时，200＝30x﹣70，解得：x＝ 9， 则治污改造完成后的第 5 个月，即 9 月份该厂利润达到 200 万元，故此选项正 确，不合题意．故选：C． 6. y＝2 000 x ． 7. 9.6m3. 解析：由设蓄水池的蓄水量为 km3, 则：V= k t ，由图象知，过点（12,4）， 则 k=Vt=41×2=48，∴V= 48 t ，当 t=5 时，V= 48 5 =9.6(m3). 8. s＝ 6 h ．解：由题意可得：sh＝3×2×1， 则 s＝ 6 h ．故答案为：s＝ 6 h ． 9. 80 元. 解析：设 y 与 x 的函数解析式为 y＝ k x （k≠0）． 由题意得 40＝ ，解得 k＝4000，所以 y＝ ． 设为获得日利润 1500 元，售价应定为 x 元，根据题意得 y（x﹣50）＝1500，即 （x﹣50）＝1500，解得 x＝80． 经检验：x＝80 是原分式方程的解． 答：为获得日利润 1500 元，售价应定为 80 元． 故答案为 80 元． 10. y＝ （2≤x≤ ）．解析：由题意得，y＝ ， 把 y＝90 代入 y＝ ，得 x＝ ， 把 y＝150 代入 y＝ ，得 x＝2， 所以自变量的取值范围为：2≤x≤ ， 故答案为 y＝ （2≤x≤ ）． 11. y＝ ，x＞0．解析：由题意得，xy＝24，故另一边的长 y（米）与 x 的函数 关系式为：y＝ （x＞0 ），故答案为：y＝ ，x＞0． 12. 解：（1）∵矩形的面积是 6cm2．它的一组邻边长分别是 x（单位：cm）和 y （单位：cm），∴xy=6，故 y 与 x 之间的函数关系式为：y= ， 自变量的取值范围是：x＞0； （2）如图所示： ． 12 题图 13. 解：（1）由题意可得：6= lh，则 l= ； （2）由题意可得：5= ，解得：h=2.4， （3）由题意可得：l= =4（m）， 14. 解：(1)y＝60 x . (2)∵y＝60 x ，x，y 都是整数，且 2x＋y≤26，0＜y≤12. ∴120 y ＋y≤26，且 0＜y≤12. ∴y 的值只能取 6，10，12，对应的 x 的值依次是 10，6，5. 则符合条件的建设方案只有： BC＝6 cm，AB＝10 cm；BC＝10 cm，AB＝6 cm；BC＝12 cm，DC＝5 cm. ∵ 6 10 ＜10 6 ＜12 5 ，∴x＝10. 15. 解：（1）观察图象，可知：当 x＝7（min）时，水温 y＝100（℃） 当 0≤x≤7 时，设 y 关于 x 的函数关系式为：y＝kx+b， ，得 ， 即当 0≤x≤7 时，y 关于 x 的函数关系式为 y＝10x+30， 当 x＞7 时，设 y＝ a x ，100＝ ，得 a＝700， 即当 x＞7 时，y 关于 x 的函数关系式为 y＝ ， ∴y 与 x 的函数关系式为：y＝ ； （2）当 y＝30 时，x＝ ， y 与 x 的函数关系式每 分钟重复出现一次， 将 y＝50 代入 y＝10x+30，得 x＝2， 将 y＝50 代入 y＝ ，得 x＝14， ∵14﹣2＝12， ﹣12＝ （分钟）， ∴怡萱同学想喝高于 50℃的水，她最多需要等待 min． 拓展探究 1. 解：设药物燃烧后 y 与 x 之间的解析式 y＝ k x ，把点（10，6）代入得 6＝ ， 解得 k＝60，∴y 关于 x 的函数式为：y＝ ； 当 y＝1.2 时，由 y＝ ；得 x＝50，所以 50 分钟后学生才可进入教室； 故答案为：50． 2.解：（1）由题意可得：当 0≤x≤1.5 时，设函数关系式为：y＝kx， 则 150＝1.5k，解得：k＝100，故 y＝100x， 当 1.5≤x 时，设函数关系式为：y＝ a x ，则 a＝150×1.5＝225， 解得：a＝225，故 y＝ （x≥1.5）， 综上所述：y 与 x 之间的两个函数关系式为：y＝ ； （2）第二天早上 7：00 不能驾车去上班． 理由：∵晚上 21：00 到第二天早上 7：00，有 10 小时， ∴x＝10 时，y＝ ＝22.5＞20， ∴第二天早上 7：00 不能驾车去上班． 3. 解：（1）当 0≤x≤10 时，设水温 y（℃）与开机时间 x（分）的函数关系为：y ＝kx+b， 依据题意，得 ，解得： ， 故此函数解析式为：y＝8x+20； （2）在水温下降过程中，设水温 y（℃）与开机时间 x（分）的函数关系式为： y＝ ， 依据题意，得：100＝ ，即 m＝1000，故 y＝ ， 当 y＝20 时，20＝ ，解得：t＝50； （3）∵57﹣50＝7≤10， ∴当 x＝7 时，y＝8×7+20＝76， 答：小明散步 57 分钟回到家时，饮水机内的温度约为 76℃．