第 26 章 反比例函数单元测试题
考试时间：90 分钟；总分：120 分
一、单选题(每题 3 分，共 30 分)
1．若反比例函数 ky x
的图象经过点（2，-3），则 k 值是（ ）
A．6 B．-6 C． 1
6 D． 1
6
2．已知反比例函数 12y x
，下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（3，4） B．（-2，6） C．（-2，-6） D．（-3，-4）
3．在公式ρ= m
v
中，当质量 m 一定时，密度ρ与体积 v 之间的函数关系可用图象表示
为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点 A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数 6y x
的图象上，
则 y1，y2，y3 的大小关系是( )
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
5．若反比例函数 y= k
x (k≠0)的图象经过点(-1, 2)，则这个函数的图象一定还经过点
（ ）
A． (2, 1) B．(- 1
2 , 2) C．( 2, 1) D． 1( ,2)2
6．若 A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数 y= 1
x
（x＞0）图象上的两个点，且 a1
＜a2，则 b1 与 b2 的大小关系是（ ）
A．b1＞b2 B．b1=b2 C．b1＜b2 D．大小不确定
7．下列四个函数：①y=﹣ 2
x
；②y=2（x+1）2﹣3；③y=﹣2x+5；④y=3x﹣10．其中，
当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而增大的函数是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②
8．如图，点 A（3，m）在双曲线 3y x
上，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，线段 OA 的垂
直平分线交 OC 于点 B，则△ABC 的周长的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8 题图 9 题图 10 题图
9．如图，两个边长分别为 a，b（a＞b）的正方形连在一起，三点 C、B、F 在同一
直线上，反比例函数 y= k
x
在第一象限的图象经过小正方形右下顶点 E．若 OB2﹣
BE2=10，则 k 的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4 5
10．如图，在反比例函数 y = 5
x (x ＞0) 的图象上有点 P1，P2，P3，P4，P5，它们的
横坐标依次为 2，4，6，8，10，分别过这些点作 x 轴和 y 轴的垂线．图中所构成的
阴影部分的面积从左到右依次为 S1，S2，S3，S4，则 S1+S2+S3+S4 的值为（ ）
A．4.5 B．4.2 C．4 D．3.8
二、填空题(每题 4 分，共 24 分)
11．点（﹣1，2021）在反比例函数 ky x
的图象上，则 k＝ ．
12．写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式 ．
13．如图，反比例函数 1
1
ky x
与直线 2 2y k x b 的图象交于 A，B 两点，C 为直线 AB
上一点，点 C 的坐标为(-3,1)，△AOC 为等腰直角三角形，∠AOC=90°，当 1 2y y 时，
x 的取值范围是________.
14．如图，点 A 是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点 B，以
AB 为边作平行四边形 ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的面积为 ．
13 题图 14 题图
15．如图，已知等边三角形 OA1B1，顶点 A1 在双曲线 4 3y x
（x＞0）上，点 B1 的
坐标为（4，0）．过 B1 作 B1A2∥OA1 交双曲线于点 A2，过 A2 作 A2B2∥A1B1 交 x 轴于
点 B2，得到第二个等边△B1A2B2；过 B2 作 B2A3∥B1A2 交双曲线于点 A3，过点 A3 作
A3B3∥A2B2 交 x 轴于点 B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点 B5 的坐
标为 ．
15 题图 16 题图
16．如图，菱形 OABC 中，AB=4，∠AOC=30°，OB 所在直线为反比例函数 ky x
的
对称轴，当反比例函数 ( 0)ky xx
的图象经过 A、C 两点时，k 的值为________．
三、解答题(本题共有 8 小题，共 66 分)
17．(本题 6 分)当 m 为何值时，函数 2( 3) my m x 是反比例函数？
18．(本题 8 分)如图，一次函数 y＝x+m 的图象与反比例函数 y＝ k
x
的图象交于 A，B
两点，且与 x 轴交于点 C，点 A 的坐标为（2，1）．
（1）求 m 及 k 的值；
（2）求点 B 的坐标及△AOB 的面积；
（3）观察图象直接写出使反比例函数值小于一次函数值的自变量 x 取值范围．
18 题图
19．(本题 8 分)如图，一次函数 y=mx+n（m≠0）与反比例函数 y= k
x
（k≠0）的图象相
交于 A（﹣1，2），B（2，b）两点，与 y 轴相交于点 C.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求△ABD 的面积．
19 题图
20．(本题 8 分)一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 2
x
的图象相交于 A(-1, m)，
B(n, -1)两点．
（1）求出一次函数表达式；
（2）画出函数图象草图，并据此写出一次函数值大于反比例函数值的 x 的取值范
围．
21．(本题 8 分)如图，一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 0, 0my m xx
的
图象在第一象限交于点 A(n, 2)，与 x 轴交于点 C(1, 0)，与 y 轴交于点 D．过点 A 作
AB⊥x 轴于点 B，△ABC 的面积是 3，连接 BD．
（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；
（2）求△BCD 的面积．
21 题图
22．(本题 8 分)已知 y=y1+y2，y1 与(x-1)成反比例，y2 与 x 成正比例，且当 x=2 时，
y1=4，y=2．求 y 关于 x 的函数解析式．
23．(本题 10 分)如图，四边形 ABCD 为正方形，点 A 的坐标为（0，1），点 B 的坐标
为（0，﹣2），反比例函数 ky x
的图象经过点 C，一次函数 y=ax+b 的图象经过 A、C
两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数的另一个交点 M 的坐标；
（3）若点 P 是反比例函数图象上的一点，△OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面
积，求 P 点的坐标．
23 题图
24．(本题 10 分)如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 B 在
反比例函数 ( 0)ky kx
的第一象限内的图象上，OA=4, OC=3，动点 P 在 x 轴的上方，
且满足 1
3PAO BCS S 矩形OA .
(1)若点 P 在这个反比例函数的图象上，求点 P 的坐标;
(2)连接 PO、PA，求 PO+PA 的最小值;
(3)若点 Q 是平面内一点，使得以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形，则请你直
接写出满足条件的所有点 Q 的坐标.
24 题图
第 26 章 反比例函数单元测试题参考答案
1．B. 解析：∵反比例函数 ky x
的图象经过点（2，-3），
∴ 3 2
k ，解得：k=-6．故选：B．
2．B. 解析：A．把 x=3 代入 12y x
得： 12 43y ，即 A 项错误，
B．把 x=-2 代入 12y x
得： 12 62y ，即 B 项正确，
C．把 x=-2 代入 12y x
得： 12 62y ，即 C 项错误，
D．把 x=-3 代入 12y x
得： 12 43y ，即 D 项错误，
故选：B．
3．B. 解析：∵在公式ρ= m
v
中， 0 0 0v m ， ， 且质量 m 一定，
∴ 是 v 的反比例函数，且图象在第一象限. 故选 B.
4．A. 解析：∵点 A（1， 1y ），B（2， 2y ），C（﹣3， 3y ）都在反比例函数 6y x
的
图象上，∴ 1
6 61y ； 2
6 32y ； 3
6 23y ；
∵ 2 3 6 ，∴ 3 2 1y y y ，故选：A．
5．A. 解析：∵反比例函数 ( 0)ky kx
的图象经过点(-1, 2)，
∴ 1 2 2k xy ；
∵ 2 ( 1) 2 ，故 A 符合题意；
∵ 1( ) 2 12
， 2 ( 1) 2 ， 1 2 12
，故 B、C、D 不符合题意；
故选：A.
6．A. 解析：：∵k=1＞0, 反比例函数的图象在第一、三象限.
∵x＞0, 图象在第一象限，y 随 x 的增大而减小，
1 2,a a 1 2. .b b 故选 A.
7．C. 解析：①y＝ 2
x
，k＝－2＜0，图象位于二四象限，在每一个象限内 y 随 x 的
增大而增大，但当 x＞－1 时,x≠0,不一定 y 随 x 的增大而增大；
②y＝2(x＋1)2﹣3，a＝2＞0，图象开口向上，对称轴为 x＝－1，
所以当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而增大；
③y＝﹣2x＋5，k＝－2＜0，y 随 x 的增大而减小；
④y＝3x﹣10，k＝3＞0，所以 y 随 x 的增大而增大．
所以当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而增大的函数是②④．
故选：C ．
8．C. 解析：∵点 A（3，m）在双曲线 3y x
上，
∴3m=3，解得 m=1，即 A（3，1），∴OC=3，AC=1，
∵线段 OA 的垂直平分线交 OC 于点 B，∴AB=OB，
∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=3+1=4．
故选 C．
9．C. 解析：设 E 点坐标为（a，b），则 AO+DE=a，AB-BD=b，
∵△ABO 和△BED 都是等腰直角三角形，
∴EB= 2 BD，OB= 2 AB，BD=DE，OA=AB，
∵OB2-EB2=8，∴2AB2-2BD2=8，即 AB2-BD2=4，
∴（AB+BD）（AB-BD）=4，
∴（AO+DE）（AB-BD）=4，
∴ a • b=4，∴k=4．故选 B.
10．C. 解析：当 10x 时, 5 1
10 2y , 5
12 12S
1 2 3 4 55 5 1 4S S S S S
11．﹣2021. 解析：∵点（﹣1，2021）在反比例函数 ky x
的图象上，
∴k＝xy＝（﹣1）×2021＝﹣2021，故答案为：﹣2021．
12． 1y= x
（答案不唯一）. 解析：位于二、四象限的反比例函数比例系数 k＜0，据
此写出一个函数解析式即可，如 1y= x
（答案不唯一）．
13. 0＜x＜1 或 x＜-6. 解析：∵△AOC 是等腰直角三角形，∠AOC=90°，
点 C 的坐标为(-3,1)，∴点 A 的坐标为(1,3)，
将 A(1,3)代入 1
1
ky x
中得 k1=3，∴ 1
3y x
，
将 C(-3,1)，A(1,3)代入 2 2y k x b 得
2
2
3 1
3
k b
k b
，解得
2
1
2
5
2
k
b
， 2
1 5
2 2y x ，
将 1
3y x
与 2
1 5
2 2y x 联立，解得 1
2
1
6
x
x
，
当 1 2y y 时，反比例函数位于直线上方，
∴x 的取值范围是：0＜x＜1 或 x＜-6.
故答案为：0＜x＜1 或 x＜-6.
14．5. 解析：设 A 的纵坐标是 b, 则 B 的纵坐标也是 b.
把 y=b 代入 y= 2
x
得 b= 2
x .则 x= 2
b . 即 A 的横坐标是 2
b .
同理可得：点 B 的横坐标是： 3
b
.
则 AB= 2
b -( 3
b
)= 5
b . ABCDS = 5
b
b=5. 故答案：5.
15．(4 5 ,0). 解析：如图，作 A2C⊥x 轴于点 C，设 B1C＝a，则 A2C＝ 3 a，
OC＝OB1+B1C＝4+a，A2（4+a， 3 a）．
∵点 A2 在双曲线 4 3y x
（x＞0）上，∴（4+a）• 3 a＝4 3 ，
解得 a＝2 2 ﹣1，或 a＝﹣2 2 ﹣2（舍去），
∴OB2＝OB1+2B1C＝4+4 2 ﹣4＝4 2 ，
∴点 B2 的坐标为（4 2 ，0）；
作 A3D⊥x 轴于点 D，设 B2D＝b，则 A3D＝ 3 b，
OD＝OB2+B2D＝4 2 +b，A3（4 2 +b， 2 b）．
∵点 A3 在双曲线 4 3y x
（x＞0）上，∴（4 2 +b）• 3 b＝ 4 3 ，
解得 b＝﹣2 2 +2 3 ，或 b＝﹣2 2 ﹣2 3 （舍去），
∴OB3＝OB2+2B2D＝4 2 ﹣4 2 +4 3 ＝4 3 ，
∴点 B3 的坐标为（4 3 ，0）；
同理可得点 B4 的坐标为（4 4 ，0）即（8，0）；
以此类推…，
∴点 Bn 的坐标为（4 n ，0），
∴点 B5 的坐标为（4 5 ，0）．
故答案为（4 5 ，0）．
16． 4 3 . 解析：过点 C 作 x 轴的垂线于点 D，
∵OB 所在直线为反比例函数 ky x
的对称轴，
∴可得直线 OB 的表达式为：y=-x，∴∠BOD=45°，
∵四边形 OABC 为菱形，∠AOC=30°，
∴∠BOC=15°，∴∠COD=45°-15°=30°，
∵AB=4，∴OC=4，∴CD= 1
2 OC=2，
∴OD= 2 2 2 2= 4 2 =2 3OC CD ,
∴点 C 的坐标为（ 2 3 ，2），∴k= 2 3 ×2= 4 3 ，
故答案为： 4 3 .
17．解：因为函数 2 | |( 3) my m x 是反比例函数，
所以 2 | | 1m 且 3 0m ，
解得：m=±3 且 m≠3，故 m=3.
18．解：（1）∵一次函数 y＝x+m 的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于 A，B 两点，
点 A 的坐标为（2，1）．
∴把 A 的坐标代入函数解析式得：1＝2+m，k＝2×1，
解得：m＝﹣1，k＝2；
（2）两函数解析式为 y＝x﹣1，y＝ 2
x
，
解方程组
1
2
y x
y x
＝ ﹣
得： 1
1
2
1
x
y
， 2
2
1
2
x
y
，
∵点 A 的坐标为（2，1），∴B 点坐标为（﹣1，﹣2），
y＝x﹣1，当 y＝0 时，0＝x﹣1，解得：x＝1，
即点 C 的坐标为（1，0），OC＝1，
所以△AOB 的面积 S＝S△AOC+S△BOC＝ 1 11 1 1 22 2
= 3
2
；
（3）反比例函数值小于一次函数值的自变量 x 取值范围是 x＞2 或﹣1＜x＜0．
19．解：（1）∵反比例函数 y= k
x
（k≠0）的图象过 A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴
反比例函数解析式为 y=﹣ 2
x
，当 x=2 时，y=﹣1，即 B 点坐标为（2，﹣1），∵一次
函数 y=mx+n（m≠0）过 A、B 两点，
∴把 A、B 两点坐标代入可得 ，解得 ，
∴一次函数解析式为 y=﹣x+1；
（2）在 y=﹣x+1 中，当 x=0 时，y=1，∴C 点坐标为（0，1），
∵点 D 与点 C 关于 x 轴对称，
∴D 点坐标为（0，﹣1），∴CD=2，
∴S△ABD=S△ACD+S△BCD= 1
2 ×2×1+ 1
2 ×2×2=3．
20．解：（1）把 A（-1，m），B（n，-1）分别代入 2y x
，
得-m=-2，-n=-2，解得 m=2，n=2，
所以 A 点坐标为（-1，2），B 点坐标为（2，-1），
把 A（-1，2），B（2，-1）代入 y=kx+b 得 2
2 1
k b
k b
，解得 1
1
k
b
，
所以这个一次函数的表达式为 y=-x+1；
（2）如图，当 x＜-1 或 0＜x＜2 时，一次函数的值大于反比例函数的值．
21．解：（1）∵ AB x 轴，点 ,2A n ，∴点 ,0B n ， 2AB ，
∵点 1,0C ，∴ 1BC n ，
∴ 1 1 2 1 32 2ABCS AB BC n △ ，
∴ 4n ，∴点 4,2A ，
∵点 A在反比例函数 0my mx
的图象上，∴ 4 2 8m ，
∴反比例函数的函数表达式为 8 0y xx
，
将 4,2A ， 1,0C 代入 y=kx+b，
得 4 2
0
k b
k b
，解得
2
3
2
3
k
b
，
∴一次函数的函数表达式为 2 2
3 3y x ；
（2）当 x=0 时，y= 2
3 x- 2
3 = 2
3
，
∴点 20, 3D
，∴ 2
3OD ，
∴ 1 1 23 12 2 3BCDS BC OD △ ．
22．解：根据题意，设 1
1 1
ky x
， 2 2 1 2 0y k x k k 、 ．
1 2y y y ， 1
21
ky k xx
，
当 2x 时， 1 4y ， 2y ，
1
1 2
4
2 2
k
k k
， 1 4k ， 2 1k ， 4
1y xx
．
23．解：（1）∵点 A 的坐标为（0，1），点 B 的坐标为（0，﹣2），∴AB=1+2=3，∵
四边形 ABCD 为正方形，∴BC=3，∴C（3，﹣2），
把 C（3，﹣2）代入 ky x
，得 k=3×（﹣2）=﹣6，
∴反比例函数解析式为 6y x
，
把 C（3，﹣2），A（0，1）代入 y=ax+b，
得 3 2{ 1
a b
b
，解得： 1{ 1
a
b
，∴一次函数解析式为 1y x ；
（2）解方程组
1
{ 6
y x
y x
，得： 3{ 2
x
y
或 2{ 3
x
y
，
∴M 点的坐标为（﹣2，3）；
（3）设 P（t， 6
t
），∵△OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积，∴ 1
2 ×1×|t|=3×3，
解得 t=18 或 t=﹣18，
∴P 点坐标为（18， 1
3
）或（﹣18， 1
3
）．
23 题图
24．解：(1)∵四边形 OABC 是矩形，OA=4，OC=3，∴点 B 的坐标为(4,3)，
∵点 B 在反比例函数 ( 0)ky kx
的第一象限内的图象上
∴k=12，∴y=12
x
，
设点 P 的纵坐标为 m(m>0)，
∵ 1
3PAO BCS S 矩形0A ．∴ 1
2
⋅OA⋅m=OA⋅OC⋅ 1
3
，∴m=2，
当点，P 在这个反比例函数图象上时，则 2=12
x
，
∴x=6， ∴点 P 的坐标为(6,2)．
(2)过点(0,2)，作直线 l⊥y 轴．
由(1)知，点 P 的纵坐标为 2，∴点 P 在直线 l 上
作点 O 关于直线 l 的对称点 O'，则 OO'=4，
连接 AO'交直线 l 于点 P，此时 PO+PA 的值最小，
则 PO+PA 的最小值=PO'+PA=O'A= 2 24 4 =4 2 ．
(3)如图，
①如图 2 中，当四边形 ABQP 是菱形时，
易知 AB=AP=PQ=BQ=3，P 1 (4− 5 ,2)，P 2 (4 5 ,2)，
∴Q 1 (4− 5 ,5)，Q 2 (4+ 5 ,5)．
②如图 3 中，当四边形 ABPQ 是菱形时，P 3 (4−2 2 ,2)，P 4 (4+2 2 ,2)，
∴Q 3 (4−2 2 ,−1)，Q 4 (4+2 2 ,−1)．
综上所述，点 Q 的坐标为 Q 1 (4− 5 ,5)，Q 2 (4+ 5 ,5)，Q 3 (4−2 2 ,−1)，
Q 4 (4+2 2 ,−1)．
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