北师大版八年级下册第五章 分式与分式方程
5.4 分式方程
第3课时 分式方程的应用
学习目标
复 习 回 忆
1.解分式方程的基本思路是什么？
2.解分式方程有哪几个步骤？
3.验根有哪几种方法？
分式方程 整式方程
转化
去分母
一化→二解→三检验
有两种方法：
第一种是代入最简公分母；
第二种代入原分式方程每一个分母.通常使用第一种方法.
答题
3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？
审题 找等量关系 设未知数 列方程
解方程 检验
1.解分式方程的一般步骤：
④、写：
写出结论
①、化：
把分式方程化为整式方程
②、解：
解整式方程
③、检验：
检验是否为增根
解：方程两边同乘 得：( 1)( 1)x x
2( 1) 4 ( 1)( 1)x x x
1x
解这个方程得：
经检验 原方程的增根1x
所以原方程的无解。
2
1 4 1
1 1
x
x x
2.解方程
讲授新课
列分式方程解决工程问题一
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完
成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半
个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
u表格法分析如下：
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲队
乙队
1
2
1
3
1
2
1
x
1
2x
3
2
u等量关系：
甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
设乙单独完成这项工程需要 x 月.
解：设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的
工作效率是 ，根据题意得
1
3
1 1 1 1(1 ) 1,
3 2 2x
即
1 1 1.
2 2x
方程两边都乘以2x,得 1 2 .x x
解得 x=1.
检验：当x=1时，2x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队
单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快。
想一想：本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲单独
两队合作 1
2
设乙单独完成这项工程需要x月.则乙队的工作效率是
甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 .
1
x
1
3
1 1( )
3x
此时方程是：
1
1 1( )
3x
1
3
1 1 1 11 ( ) 1
3 2 3 x
表格为
“3行4列”
知识要点
工程问题
1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
2.通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则
可表示出其工作效率；
4.解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量间的关
系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作总量；2指该类
问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队
合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关
系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.
3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队
工作效率的和”.
u总结列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:清题意，并设未知数；
2.找:相等关系；
3.列:出方程；
4.解:这个分式方程；
5.验根：①是否是分式方程的根
②是否符合题意
6.写:答案.
抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，
甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单
独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作
2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独
做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部
工程各需多少小时？
解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要
(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效
×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．
做一做
解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要
(x＋3)小时．由题意得： .
解得x＝6.
经检验x＝6是方程的解．
∴x＋3＝9.
答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完
成全部工程需9小时．
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等
于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
我们所学过的常见类型的应用题基本公式：
u基本上有4种：
（1）行程问题： 路程=速度×时间以及它的两个变式；
（2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
（3）工程问题： 工作量=工时×工效以及它的两个变式；
（4）利润问题： 批发成本=批发数量×批发单价；
批发数量=批发成本÷批发单价；打折销售价=定价×折数/10；
销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=售价一批发价；
每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价。
例2 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，
其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时
出发，当面包车行驶了200公里时，发现小轿车
车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小
轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别
为多少km/h？
0 180 200
列分式方程解决行程问题二
路程 速度 时间
面包车
小轿车
200
180
x+10
x
10
200
x
x
180
分析：设小轿车的速度为x千米/小时
面包车的时间=小轿车的时间 等量关系：
u列表格如下：
解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包
车速度为x+10千米/小时，由题意得：
解得x＝90
经检验，x＝90是原方程的解，
且x=90，x+10=100，符合题意.
答：面包车的速度为100千米/小时，
小轿车的速度为90千米/小时.
注意两次检验:
(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
10
200180
xx
做一做
1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，
小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，
他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰
头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少
km/h？
0 180 200 300
解：设小轿车提速x千米/小时，依题意得：
100 120
100 90 x
解得x＝30
经检验，x＝30是原方程的解，
且x=30，符合题意.
答：小轿车提速30千米/小时.
知识要点
行程问题
1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数
式表示出来；
3.行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建
立方程.
2.某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费
上涨1/3,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水
费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量
多5m3,求该市今年居民用水的价格?
分析：此题的主要等量关系是：
小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5m3.
做一做 列分式方程解决商业问题
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则
今年的水价为 元/m3,根据题意，得
30 15 5.
11
3
xx
解得
经检验， 是原方程的根.
答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.
11
3
x
3.
2
x
3
2
x
33 11 2( m ).
2 3
元/
. 列分式方程解应用题的 一般步骤：
1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系.
问题情境
2.设:选择恰当的未知数,注意单位.
提出问题
3.列:根据等量关系正确列出方程.
建立分式方程模型
4.解:认真仔细.
5.验:做两个方面的检验.
6.答:不要忘记写答.解决问题
应用题类型：
行程问题、工程问题、数字问题、
顺逆问题、利润问题等
当堂检测:
1.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的
租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果
每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加
旅游的学生有x人，则所列方程为( )A
2. 农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车
先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知
汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，
依题意得：
解得 x=15.
经检验，x=15是原方程的根.
由x＝15得3x=45.
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
15 15 2.
3 3x x
课后作业：
1.复习掌握本节课课件；
2.整理完善22号导学案；
3.完成22号作业纸.
1.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知
A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/时，求轮船在静水中
的速度.
x=－18（不合题意，舍去），
解：设船在静水中的速度为x千米/时,根据题意得:
解 得 x=±18.
检验得：x=18.
答：船在静水中的速度为18千米/时.
80 80 1.
2 2x x
方程两边同乘（x-2)(x+2)得
80x+160 －80x+160=x2 －4.
思 考 题:
2.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老
师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王
老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
思 考 题:
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为
(x＋60)元，根据题意，列方程得
解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的根，
当x＝100时，x＋60＝160.
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
附:常见题型及相等关系
1、行程问题 ：
基本量之间的关系：
路程=速度 × 时间，即s=vt ．
2.相遇问题 ：甲行程 + 乙行程 =全路程．
3.追及问题：（设甲的速度快）
1）同时不同地：
甲用的时间 = 乙用的时间；
甲的行程 -乙的行程 =甲乙原来相距的路程．
2）同地不同时：
甲用的时间 =乙用的时间 - 时间差；
甲走的路程 =乙走的路程．
4.水（空）航行问题 ：
顺流速度 = 静水中航速 + 水速；
逆流航速 = 静水中速度 – 水速．
5.工程问题 ：
基本量之间的关系：
工作量 = 工作效率 × 工作时间．
常见等量关系：
甲的工作量 + 乙的工作量 = 合作工作量．
注：工作问题常把总工程看作是单位1，
水池注水问题也属于工程问题 ．
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