海淀区九年级上学期期末数学试卷及答案

海淀区九年级数学第一学期期末练习 2011.1 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题 意的． 1． 2( 3)  （ ） A．3 B． 3 C． 3 D．9 2．已知两圆的半径分别为 2 和 3，圆心距为 5，则这两圆的位置关系是 ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次正面都向上的概率为（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 6 4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO=30º，则∠ACB 的大小为（ ） A．60º B．30º C．45º D．50º 5．下列一元二次方程中没有．．实数根的是（ ） A． 2 2 4 0x x   B． 2 4 4 0x x   C． 2 2 5 0x x   D． 2 3 4 0x x   6．如图，有一枚圆形硬币，如果要在这枚硬币的周围摆放几枚与它完全相同的硬币，使得 周围的硬币都和这枚硬币相外切，且相邻的硬币相外切，则这枚硬币周围最多可摆放 （ ） A．4 枚硬币 B．5 枚硬币 C．6 枚硬币 D．8 枚硬币 7．圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ） A．90° B．120° C．150° D．180° 8．如图，E，B，A，F 四点共线，点 D 是正三角形 ABC 的边 AC 的中点，点 P 是直线 AB 上 异于 A，B 的一个动点，且满足 30CPD   ，则（ ） A．点 P 一定在射线 BE 上 B．点 P 一定在线段 AB 上 C．点 P 可以在射线 AF 上 ，也可以在线段 AB 上 D．点 P 可以在射线 BE 上 ，也可以在线段 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．．已知．．．P．是．⊙．O．外一点，．．．．PA．．切．⊙．O．于．A．，．PB．．切．⊙．O．于．B．.．若．PA．．＝．6．，则．．PB．．＝． ．． C D A B E F A B C A O BC 10．若 1 2 1x  有意义，则 x 的取值范围是 . 11．如图，圆形转盘中，A，B，C 三个扇形区域的圆心角分别为 150°，120°和 90°. 转动圆 盘后，指针停止在任何位置的可能性都相同（若指针停在分界线上，则重新转动圆盘）， 则转动圆盘一次，指针停在 B 区域的概率是 . 12．（1） 如图一，等边三角形 MNP 的边长为 1，线段 AB 的长为 4，点 M 与 A 重合，点 N 在线段 AB 上. △MNP 沿线段 AB 按 A B 的方向滚动， 直至△MNP 中有一个点与点 B 重合为止， 则点 P 经过 的路程为 ； （2）如图二，正方形 MNPQ 的边长为 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 M 与点 A 重合， 点 N 在 线 段 AB 上 ， 点 P 在 正 方 形 内 部 ， 正 方 形 MNPQ 沿 正 方 形 ABCD 的 边 按 A B C D A      的方向滚动，始终保持 M,N,P,Q 四点在正方形内部或边界上，直至正方形 MNPQ 回到 初始位置为 止，则点 P 经过的最短路程为 . （注：以△MNP 为例，△MNP 沿线段 AB 按 A B 的方向滚动指的是先以顶点 N 为中 心顺时针旋转， 当顶点 P 落在线段 AB 上时， 再以顶点 P 为中心顺时针旋转，如此继续. 多边形沿直 线滚动与此类 似.） 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： ( 6 3 8 ) 2   ． 14．某射击运动员在相同条件下的射击 160 次，其成绩记录如下： 射击次数 20 40 60 80 100 120 140 160 射中 9 环以上的次数 15 33 63 79 97 111 130 射中 9 环以上的频率 0.75 0.83 0.80 0.79 0.79 0.79 0.81 （1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中 9 环以上的次数为整数，频率精 ( )A M N P B 图二图一 A BM N P 图三 P N( )A M B CD Q 确到 0.01）； （2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率（精确到 0.1）， 并简述理由. 15．解方程： 2 4 12 0x x   ． 16 ． 如 图 ， 在 ABC△ 中 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， ⊙O 与 AC 交 于 点 D ， 2 2, 60 , 75AB B C       ，求 BOD 的度数； 17．如图，正方形 ABCD 中,点 F 在边 BC 上，E 在边 BA 的延长线上. （1）若 DCF△ 按顺时针方向旋转后恰好与 DAE△ 重合.则旋转 中心是点 ；最少旋转了 度； （2）在（1）的条件下，若 3, 2AE BF  ,求四边形 BFDE 的面积. 18．列方程解应用题： 随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的年销售量 2009 年为 10 万只，预计 2011 年将达到 14.4 万只．求该地区 2009 年到 2011 年高效节能 A D C B O D C F BE A 灯年销售量的平均增长率. 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，在△ABC 中， 120 ,C   , 4AC BC AB  ，半圆的圆心 O 在 AB 上，且与 AC， BC 分别相切于点 D，E. （1）求半圆 O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积. 20．如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA长为半径的⊙ O 与 BC 相 切于点 M . （1）求证： CD 与⊙ O 相切； （2）若⊙ O 的半径为 1，求正方形 ABCD 的边长. 21．一个袋中有 3 张形状大小完全相同的卡片，编号为 1,2,3，先任取一张，将其编号记为 m，再从剩下的 两张中任取一张，将其编号记为 n. （1）请用树状图或者列表法，表示事件发生的所有可能情况； （2）求关于 x 的方程 2 0x mx n   有两个不相等实数根的概率. C DA O B M A B C O D E 22．如图一，AB 是 O 的直径，AC 是弦，直线 EF 和 O 相切与点 C， AD EF ，垂足为 D. （1）求证 CAD BAC   ； （2）如图二，若把直线 EF 向上移动，使得 EF 与 O 相交于 G，C 两点（点 C 在点 G 的右侧），连结 AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与 CAD 相等的角？若存在， 找出一个这样 的角，并证明；若不存在，说明理由. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．以坐标原点为圆心，1 为半径的圆分别交 x，y 轴的正半轴于点 A，B. （1）如图一，动点 P 从点 A 处出发，沿 x 轴向右匀速运动，与此同时，动点 Q 从点 B 处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动.若点 Q 的运动速度比点 P 的运动速度慢，经 过 1 秒后点 P 运动到点(2,0)，此时 PQ 恰好是 O 的切线，连接 OQ. 求 QOP 的大小； A B O Q P x y 图一 A B O E FDC 图一 A B O E FDCG 图二 （2）若点 Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，点 P 停留在点(2,0)处不动，求点 Q 再 经过 5 秒后直 线 PQ 被 O 截得的弦长. 24．已知关于 x 的方程 2 21 2 ( 1) 04 x ax a    有实根. （1）求 a 的值; （2）若关于 x 的方程 2 (1 ) 0mx m x a    的所有根均为整数，求整数 m 的值. 25．如图一，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为直径在△ABC 外作半圆 1O 和半圆 2O ，其中 1O 和 2O 分别为两个半圆的圆心. F 是边 BC 的中点，点 D 和点 E 分别为两个半圆圆弧的中 点. （1）连结 1 1 2 2, , , , ,O F O D DF O F O E EF ， 证明： 1 2DO F FO E△ ≌△ ； A B O x y 图二 (备用图) P 图 一 A B CF D E1O 2O （2）如图二，过点 A 分别作半圆 1O 和半圆 2O 的切线，交 BD 的延长线和 CE 的延长线 于点 P 和点 Q， 连结 PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段 PQ 的长; （3）如图三，过点 A 作半圆 2O 的切线，交 CE 的延长线于点 Q，过点 Q 作直线 FA 的垂线， 交 BD 的延长线于点 P，连结 PA. 证明：PA 是半圆 1O 的切线. 海淀区九年级数学第一学期期末练习 参 考 答 案 及 评 分 标 准 2011.1 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 2O 1O A E CFB D P 图 二 Q A B C E F D P Q 1O 2O 图 三 答案 A B C A D C B B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 题号 9 10 11 12 答案 6 1 2x  1 3 4 3  2 注：第 12 题答对一个给 2 分，答对两个给 4 分 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13.解：原式= 2 2 2 2  …………………………….…………………………….2 分 = 3 2 2 …………………………….…………………………….4 分 =6 …………………………….…………………………….5 分 14．（1）解： 48, …………………………….…………………………….1 分 0.81 …………………………….…………………………….2 分 （ 2 ） 解 ：  9 0.8P 射中 环以上 …………………………….…………………………….4 分 从频率的波动情况可以发现频率稳定在 0.8 附近，所以这名运动员射击一次时“射 中 9 环以上” 的概率是 0.8. …………………………….…………………………….5 分 注：简述的理由合理均可给分 15．解法一：因式分解，得   6 2 0x x   …………………………….…………………… ……….2 分 于 是 得 6 0x   或 2 0x   1 26, 2x x   ………………………….5 分 解法二： 1, 4, 12a b c    2 4 64b ac    …………………………….…………………………….2 分 2 4 4 8 2 2 b b acx a       …………………………….…………………………….4 分 1 26, 2x x   …………………………….…………………………….5 分 16．解：在 ABC△ 中， 60 , 75B C      , 45A   . …………………………….…………………………….2 分 AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 与 AC 交于点 D, ∴ 2 90DOB A     . …………………………….…………………………….5 分 17 ． 解 ： （ 1 ） D ； 90 . …………………………….…………………………….2 分 （2） DCF DEA△ 旋转后恰好与△ 重合 ， DCF DAE△ ≌△ . 3, 2AE CF BF   又 . 5BC BF CF    . AEDBFDE ABFDS S S  △四边形 四边形 DCF ABFDS S  四边形 ABCDS 正方形 2BC 25 5 分 18．解：设该地区 2009 年到 2011年高效节能灯年销售量的平均增长率为 x . ……………….1 分 依 据 题 意 ， 列 出 方 程  210 1 14.4x  ……………………….…………………………….2 分 化简整理，得：  21 1.44x  , 解这个方程，得 1 1.2x   , ∴ 1 20.2, 2.2x x   . ∵ 该地区 2009 年到 2011年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数. ∴ 2.2x   舍去. ∴ 0.2x  . …………………….…………………………….4 分 答：该地区 2009 年到 2011年高效节能灯年销售量的平均增长率为 20%. …………….5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．（1）解：连结 OD，OC， ∵半圆与 AC，BC 分别相切于点 D，E. ∴ DCO ECO   ,且OD AC . ∵ AC BC ， ∴CO AB 且 O 是 AB 的中点. ∴ 1 22AO AB  . ∵ 120C   ,∴ 60DCO   . ∴ 30A   . ∴在 R t AOD△ 中， 1 12OD AO  . 即半圆的半径为 1. …………………………….…………………………….3 分 （2）设 CO=x，则在 R t AOC△ 中，因为 30A   ，所以 AC=2x，由勾股定理得： 2 2 2AC OC AO  即 2 2 2(2 ) 2x x  解得 2 3 3x  （ 2 3 3x   舍去） ∴ 1 1 2 3 4 342 2 3 3ABCS AB OC     △ . ……….…………………………….4 分 ∵ 半圆的半径为 1， ∴ 半圆的面积为 2  , ∴ 4 3 8 3 3 3 2 6S    阴影 . …………………………….…………………………….5 分 20．（1）解：过 O 作 ON CD 于 N，连结 OM，则 OM BC . ∵ AC 是正方形 ABCD 的对角线， A B C O D E C DA O B M N ∴ AC 是 BCD 的平分线. ∴ OM=ON. 即圆心 O 到 CD 的距离等于⊙ O 半径， ∴ CD 与⊙ O 相切. …………………………….…………………………….3 分 （2）由（1）易知 MOC△ 为等腰直角三角形，OM 为半径， ∴ OM=MC=1. ∴ 2 2 2 1 1 2OC OM MC     , ∴ 2OC  . ∴ 1 2AC AO OC    在 R t ABC△ 中，AB=BC, 有 2 2 2AC AB BC  ∴ 2 22AB AC ∴ 1 2 2 AB  . …………………………….…………………………….5 分 故正方形 ABCD 的边长为 2 2 2  . 21．（1）解：依题意画出树状图（或列表）如下 或 1 2 3 1 (2，1) (3，1) 2 (1，2) (3，2) 3 (1，3) (2，3) …………………………….…………………… ……….2 分 注：画出一种情况就可给 2 分 （2）解：当 2 4 0m n  时，关于 x 的方程 2 0x mx n   有两个不相等实数根，而使得 2 4 0m n  的 m，n 有 2 组，即(3，1)和(3，2). ………….…………………………….4 分 则关于 x 的方程 2 0x mx n   有两个不相等实数根的概率是 1 3 . ∴P（有两个不等实根）= 1 3 . 1 2 3 12 33 1 2 m n mn …………………….5 分 22．（1）证明：如图一，连结 OC，则 OC EF ，且 OC=OA, 易得 OCA OAC   . ∵ AD EF ，∴OC//AD. ∴ OCA = CAD ,∴ CAD = OAC . 即 CAD BAC   . …………………………….…………………………….2 分 （2）解：与 CAD 相等的角是 BAG . …………………………….…………………………….3 分 证明如下： 如图二，连结 BG. ∵ 四边形 ACGB 是 O 的内接四边形， ∴ 180ABG ACG     . ∵ D，C，G 共线， ∴ 180ACD ACG     . ∴ ACD ABG   . ∵ AB 是 O 的直径, ∴ 90BAG ABG     ∵ AD EF ∴ 90CAD ACD     ∴ CAD BAG   . …………………………….…………………………….5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．（1）解：如图一，连结 AQ． 由题意可知：OQ=OA=1. ∵OP=2, ∴A 为 OP 的中点. ∵PQ 与 O 相切于点 Q, ∴ OQP△ 为直角三角形. …………1 分 ∴ 1 12AQ OP OQ OA    . …………2 分 即ΔOAQ 为等边三角形. ∴∠QOP=60°． …………3 分 （2）解：由（1）可知点 Q 运动 1 秒时经过的弧长所对的圆心角为 30°，若 Q 按照（1）中 的方向和速度 继续运动，那么再过 5 秒，则 Q 点落在 O 与 y 轴负半轴的交点处（如图二）.设直线 PQ 与 O 的另外一个交点为 D，过 O 作 OC⊥QD 于点 C，则 C 为 QD 的中点. …………4 分 ∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2, ∴QP= 2 21 2 5  . …………5 分 ∵ 1 1 2 2OQ OP QP OC   , ∴OC= 2 5 . …………6 分 A B O Q P x y 图一 A B O x y 图二 P D Q C E FDC 图 一 A B O 图二 E FDCG A B O ∵OC⊥QD，OQ=1，OC= 2 5 , ∴QC= 5 5 . ∴QD= 2 5 5 ． …………7 分 24．（1）解：∵关于 x 的方程为 2 21 2 ( 1) 04 x ax a    为一元二次方程，且有实根. 故满足： 2 2 0, 1( 2 ) 4 ( 1) 0.4 a a a         ……….…………………………….2 分 （注：每个条件 1 分） 整理得 2 0, ( 1) 0. a a     ∴ 1a  ……….…………………………….4 分 （2）由（1）可知 1a  , 故方程 2 (1 ) 0mx m x a    可化为 2 (1 ) 1 0mx m x    . ①当 m=0 时，原方程为 1 0x   ，根为 1x  ，符合题意. ………………………….5 分 ②当 m≠0 时， 2 (1 ) 1 0mx m x    为关于 x 的一元二次方程， 2 2 2 2(1 ) 4 ( 1) 1 2 4 2 1 ( 1) 0m m m m m m m m                 . 此时，方程的两根为 1 2 11,x x m    . ∵两根均为整数, ∴m= 1 . ………………………….7 分 综上所述，m 的值为 1 ，0 或 1. 25．（1）证明：如图一，∵ 1O ， 2O ，F 分别是 AB，AC，BC 边的中点， ∴ 1O F∥AC 且 1O F =A 2O ， 2O F∥AB 且 2O F =A 1O ， ∴∠B 1O F=∠BAC，∠C 2O F=∠BAC, ∴∠B 1O F=∠C 2O F ∵点 D 和点 E 分别为两个半圆圆弧的中点， ∴ 1O F =A 2O = 2O E， 2O F =A 1O = 1O D， ………………………….2 分 ∠B 1O D =90°，∠C 2O E =90°， ∴∠B 1O D=∠C 2O E. ∴∠D 1O F=∠F 2O E. ∴ 1 2DO F FO E△ ≌△ . ………………………….3 分 （2）解：如图二，延长 CA 至 G，使 AG=AQ,连接 BG、AE. ∵点 E 是半圆 2O 圆弧的中点， ∴AE=CE=3 ∵AC 为直径 ∴∠AEC=90°， ∴∠ACE=∠EAC =45°，AC= 2 2AE CE = 3 2 ， ∵AQ 是半圆 2O 的切线， ∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°， ∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90° ∴AQ=AC=AG=3 2 同理：∠BAP=90°，AB=AP= 5 2 ∴CG= 6 2 ,∠GAB=∠QAP ∴ AQP AGB△ ≌△ . ……………………..5 分 ∴PQ=BG ∵∠ACB=90°， ∴BC= 2 2AB AC = 4 2 ∴BG= 2 2GC BC = 2 26 ∴PQ= 2 26 . ……………………..6 分 （3）证法一：如图三，设直线 FA 与 PQ 的垂足为 M，过 C 作 CS⊥MF 于 S，过 B 作 BR⊥MF 于 R，连接 DR、AD、DM. ∵F 是 BC 边的中点，∴ ABF ACFS S△ △ . ∴BR=CS， 由（2）已证∠CAQ=90°, AC=AQ, ∴∠2+∠3=90° 图 一 A B CF D E1O 2O 2O1O A E CFB D P G 图 二 Q A B C E F R D P M Q S 1O 2O 1 3 26 8 4 7 5 9 ∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3, 同理：∠2=∠4, ∴ AMQ CSA△ ≌△ ， ∴AM=CS， ∴AM=BR， 同（2）可证 AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°, ∴∠ADB=∠ARB=90°, ∠ADP=∠AMP=90° ∴A、D、B、R 四点在以 AB 为直径的圆上，A、D、P、M 四点在以 AP 为直径的圆 上， 且∠DBR+∠DAR=180°, ∴∠5=∠8, ∠6=∠7, ∵∠DAM+∠DAR=180°, ∴∠DBR=∠DAM ∴ DBR DAM△ ≌△ ， ∴∠5=∠9, ∴∠RDM=90°， ∴∠5+∠7=90°， ∴∠6+∠8=90°， ∴∠PAB=90°， ∴PA⊥AB,又 AB 是半圆 1O 直径， ∴PA 是半圆 1O 的切线. ……………………..8 分 证法二：假设 PA 不是是半圆 1O 的切线，如图四， 过点 A 作半圆 1O 的切线交 BD 的延长线于点 P ， 则点 P 异于点 P，连结 P Q ，设直线 FA 与 PQ 的 垂足为 M，直线 FA 与 P Q 的交点为 M  .延长 AF 至 N，使得 AF=FN，连结 BN，CN，由于点 F 是 BC 中点，所以四边形 ABNC 是平行四边形. 易知， 180BAC ACN     ， ∵AQ 是半圆 2O 的切线, ∴∠QAC=90°，同理 90P AB   . ∴ 180P AQ BAC     . ∴ P AQ ACN   . 由（2）可知， ,AQ AC AB AP  , ∴ P AQ NCA△ ≌△ . ∴ NAC P QA   . A B C E F D P Q 1O 2O P M M  N 图四 ∵ 90QAC   , ∴ 90NAC M AQ     . 即 90AQM M AQ      . ∴ 90AM Q   . 即 P Q AF  . ∵ PQ AF , ∴ 过点 Q 有两条不同的直线 P Q 和 PQ 同时与 AF 垂直. 这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾,因此假设错误.所以 PA 是是 半圆 1O 的切线.