燕山区初三数学期末试题及答案

燕山地区 2014—2015 学年度第一学期九年级期末考试 数 学 试 卷 2015 年 1 月 考 生 须 知 1．本试卷共 8 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2．答题纸共 6 页，在规定位置准确填写学校名称、班级、姓名和学号。 3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。 4．考试结束，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的，请将符合题意的答案代号写在答 题纸的相应位置上． 1．观察下列图形，是中心对称图形的是 A． B． C． D． 2．某校举办中学生汉字听写大会，准备从甲、乙、丙、丁 4 套题中随机抽取一套题对选手 进行训练，则抽中甲套题的概率是 A． 4 1 B． 3 1 C． 2 1 D．1 3．右图是某几何体的三视图，该几何体是 A．圆锥 B．圆柱 C．棱柱 D．正方体 4．已知△ABC ∽△DEF，相似比为 1∶2，△ABC 的周长为 4，则△DEF 的周长为 A．2 B．4 C．8 D．16 5．如图，点 A，B，C 均在⊙O 上，∠ACB＝35°，则∠AOB 的度数为 A．20° B．40° C．60° D．70° 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则 cosB 的值是 A． 5 5 B． 5 52 C． 2 1 D．2 7．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚 栽培一种在自然光照且温度为 18℃的条件下生长最快 的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后， 大棚内温度 y (℃)随时间 x (小时)变化的函数图象，其中 BC 段是双曲线 )0(  kx ky 的一部分，则当 x ＝16 时， 大棚内的温度约为 A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃ 8．如图，在 Rt△OAB 中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3． ⊙O 的半径为 2，点 P 是线段 AB 上的一动点，过点 P 作 ⊙O 的一条切线 PQ，Q 为切点．设 AP＝ x ，PQ2＝ y ， 则 y 与 x 的函数图象大致是 A． B． C． D． 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．若 yx 54  ，则 y x ＝ ． 10．已知反比例函数 )0(  kx ky 的图象在其每一分支上，y 随 x 的增大而减小，则此反比 例函数的解析式可以是 ．（注：只需写出一个正确答案即可） 11．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过 网，且落点恰好在离网 4 米的位置上，则球 拍击球的高度 h 为 米．(已知网高 为 0.8 米，击球点到网的水平距离为 3 米)x§k§b 1 12．在函数 )0(8  xxy 的图象上有点 P1，P2，P3，…， 初四数学期末试卷第 1 页（共 8 页） 初四数学期末试卷第 2 页（共 8 页） Pn，Pn+1，它们的横坐标依次为 1，2，3，…，n，n+1．过点 P1，P2，P3，…，Pn，Pn+1 分别作 x 轴、y 轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左 至右依次记为 1S ， 2S ， 3S ，…， nS ，则点 P1 的坐标为 ； 2S ＝ ； nS ＝ ． （用含 n 的代数式表示） 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： 2 sin45°－tan60°·cos30°． 14．如图，点 D 是△ABC 的边 AC 上的一点，AB2＝AC·AD． 求证：△ADB∽△ABC． 15．如图，正比例函数 y=2x 与反比例函数 )0(  kx ky 的图象的一个交点为 A(2，m)． 求 m 和 k 的值． 16．如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，点 A，B，C 的坐标分别为(0， 1)，(1，－1)，(5，1)． 初四数学期末试卷第 3 页（共 8 页） 初四数学期末试卷第 4 页（共 8 页） （1）直接写出点 B 关于原点的对称点 D 的坐标； （2）将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90º得到△A1B1C．请在网格中画出△A1B1C，并直接 写出点 A1 和 B1 的坐标． 17．如图，在半径为 6cm 的⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离 OE 为 3cm． （1）求弦 AB 的长； （2）求劣弧AB⌒的长． 18．在燕房线地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示）．已 知立杆 AB 的高度是 3 米，从路侧点 D 处测得路况警示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角 分别是 60°和 45°，求路况警示牌宽 BC 的值．（精确到 0.1 米） （参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73） 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 F，点 E 是 BD 上一点，且∠BAC＝∠ BDC＝∠DAE． （1）求证：△ABE∽△ACD； （2）若 BC＝2，AD＝6，DE＝3，求 AC 的长． 20．根据某网站调查，2014 年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐 及其它共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下： 科*网] 根据以上信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据； （2）若北京市约有 2100 万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？x.k.b.1 （3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四 人中随机抽取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 ． 21．如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点 C，过点 A 作 AD⊥l 于点 D，交⊙O 于点 E． （1）求证：∠CAD＝∠BAC；新 课 标 （2）若 sin∠BAC＝ 5 3 ，BC＝6，求 DE 的长． 22．阅读下面材料： 小辉遇到这样一个问题：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D， E 在边 BC 上，∠DAE＝45°．若 BD＝3，CE＝1，求 DE 的长． 网民关注的热点问题情况统计图 关注各类热点问题的网民人数统计图 初四数学期末试卷第 5 页（共 8 页） 初四数学期末试卷第 6 页（共 8 页） 图 1 图 2 图 3 小辉发现，将△ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转 90º，得到△ACF，连接 EF（如图 2）， 由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE， 得 FE＝DE．解△FCE，可求得 FE(即 DE)的长． 请回答：在图 2 中，∠FCE 的度数是 ，DE 的长为 ． 参考小辉思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F 分别是边 BC，CD 上的点，且∠EAF＝ 2 1 ∠BAD．猜想线段 BE，EF，FD 之间的数量关系并说明理由． 五、解答题（本题共 22 分，第 23、24 题每题 7 分，第 25 题 8 分） 23．已知关于 x 的方程 012  kkxx . （1）求证：当 2k 时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若二次函数 )2(12  kkkxxy 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧）， 与 轴交于点 C，且 tan∠OAC＝4，求该二次函数的解析式； （3）已知点 P（m，0）是 x 轴上的一个动点，过点 P 作垂直于 x 轴的直线交（2）中的 二次函数图象于点 M，交一次函数 qpxy  的图象于点 N．若只有当 51  m 时，点 M 位于点 N 的下方，求一次函数 qpxy  的解析式． 24．在正方形 ABCD 中，点 E，F，G 分别是边 AD，AB，BC 的中点，点 H 是直线 BC 上一 点．将线段 FH 绕点 F 逆时针旋转 90º，得到线段 FK，连接 EK． 图 3图 2图 1 （1）如图 1，求证：EF＝FG，且 EF⊥FG； （2）如图 2，若点 H 在线段 BC 的延长线上，猜想线段 BH，EF，EK 之间满足的数量 关系，并证明你的结论． （3）若点 H 在线段 BC 的反向延长线上，请在图 3 中补全图形并直接写出线 段 BH， EF，EK 之间满足的数量关系． 25．在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A，B，C，给出如 下定义： 若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A，B，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点 A，B，C 的外延矩形．点 A，B，C 的 所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点 A，B，C 的最佳外延矩形．例如，右图中的 矩形 1111 DCBA ， 2222 DCBA ， 333 CDBA 都是点 A，B，C 的外延矩形，矩形 333 CDBA 是点 A，B，C 的最佳外延矩形． （1）如图 1，已知 A(－2，0)，B(4，3)，C(0，t )． ①若 2t ，则点 A，B，C 的最佳外延矩形的面积为 ； ②若点 A，B，C 的最佳外延矩形的面积为 24，则t 的值为 ； （2）如图 2，已知点 M(6，0)，N(0，8)．P( x ， y )是抛物线 542  xxy＝ 上一 点，求点 M，N，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点 P 的横坐标 x 的 取值范围； （3）如图 3，已知点 D(1，1)．E( m ， n )是函数 )0(4  xxy 的图象上一点，矩形 OFEG 是点 O，D，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形 OFEG 的外 接圆，请直接写出⊙H 的半径 r 的取值范围． [来源:Z*xx*k.Com] 数学试卷参考答案与评分标准 2015 年 1 月 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 图 1 图 3图 2 B．A．B．C． D．B．C．A． 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9． 4 5 10． xy 1 )0(  kx ky （答案不唯一） 11．1.4 12．(1，8)； 3 4 ； )1( 8 nn ． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．解：原式＝ 2 332 22  ……………………………………3 分 ＝1 2 3 ＝ 2 1 ． ……………………………………5 分 14．证明：∵AB2＝AC·AD， ∴ AC AB ＝ AB AD ． ……………………………………2 分 又∵∠A＝∠A， ……………………………………4 分 ∴△ADB∽△ABC． ……………………………………5 分 15．解：将点 A(2，m)的坐标代入 y=2x 中，得 m＝2×2，即 m＝4． ……………………………………2 分 ∴A(2，4)． ……………………………………3 分 将点 A(2，4)的坐标代入 x ky  ，得 k＝2×4，即 k＝8． ………………5 分 16．解：（1）D(－1，1)； ………………2 分 （2）画出△A1B1C，如图； ………………3 分 A1(5，6)，B1(3，5)． ………………5 分 17．解：（1）∵AB 为⊙O 的弦，OE⊥AB 于 E， ∴AE＝BE＝ 2 1 AB． ……………………………………1 分 在 Rt△AOE 中，OA＝6，OE＝3， ∴AE＝ 22 OEOA  ＝ 22 36  ＝ 27 ＝ 33 ， ………………2 分 ∴AB＝2AE＝ 36 ． ……………………………………3 分 （2）由（1）知，在 Rt△AOE 中，∠AEO＝90°，OA＝6，OE＝3， ∴cos∠AOE＝ OA OE ＝ 2 1 ， ∴∠AOE＝60°， ∴∠AOB＝2∠AOE＝120°， ……………………………………4 分 ∴AB⌒的长l ＝ 180 6120  ＝ 4 ． ……………………………………5 分 18．解：由题意， 在 Rt△ABD 中，∠DAB＝90°，∠ADB＝45°，AB＝3 米， ∴AD＝AB＝3 米， ……………………………………2 分 又∵Rt△ACD 中，∠DAC＝90°，∠ADC＝60°， ∴AC＝AD·tan∠ADC＝3·tan60°＝ 33 米， ………………4 分 ∴BC＝AC－AB＝ 33 －3≈2.2 米． ………………5 分 即路况警示牌宽 BC 的值约为 2.2 米． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．（1）证法一：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD． ……………………………………1 分 又∵∠BAC＝∠BDC，∠BFA＝∠CFD， ∴180°－∠BAC－∠BFA＝180°－∠BDC－∠CFD， 即∠ABE＝∠ACD． ……………………………………2 分 ∴△ABE∽△ACD． …… ………………………………3 分 证法二：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD． ……………………………………1 分 又∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE， ∠DAE＝∠BDC， ∴∠AEB＝∠ADC． ……………………………………2 分 ∴△ABE∽△ACD． ……………………………………3 分 (2)∵△ABE∽△ACD，∴ AC AB ＝ AD AE ． 又∵∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△AED， ……………………………………4 分 ∴ DE BC ＝ AD AC ， ∴AC＝ ADDE BC  ＝ 63 2  ＝4． ……………………………………5 分 20．（1）补全条形统计图如图； ………………2 分 （2）2100×10%＝210 万人； ………………4 分 （3） 6 1 ． ………………5 分 21．（1）证明：连接 OC， ∵CD 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CD， ……………………………………1 分 ∵AD⊥CD，∴OC∥AD， ∴∠CAD＝∠ACO． 又∵OC＝OA， ∴∠ACO＝∠OAC， ∴∠CAD＝∠OAC， 即∠CAD＝∠BAC． ……………………………………2 分 （2）解法一：过点 B 作 BF⊥l 于点 F，连接 BE， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB＝90°， 又 AD⊥l 于点 D， ∴∠AEB＝∠ADF＝∠BFD＝90°， ∴四边形 DEBF 是矩形， ∴DE＝BF． ……………………………………3 分 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCF＝90°． ∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°， ∴∠BCF＝∠CAD． ∵∠CAD＝∠BAC， ∴∠BCF＝∠BAC． ……………………………………4 分 在 Rt△BCF 中，BC＝6， sin∠BCF＝ BC BF ＝sin∠BAC＝ 5 3 ， ∴BF＝ BC5 3 ＝ 5 18 ， ∴DE＝BF＝ 5 18 ． ……………………………………5 分 解法二：连接 CE， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°． ∵A，B，C，E 四点共圆， ∴∠AEC＋∠ABC＝180°． 又∵∠AEC＋∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝∠ABC， ∴Rt△CDE∽Rt△ACB， ……………………………………3 分 ∴ BC DE ＝ AC CD ． 在 Rt△ABC 中，sin∠BAC＝ AB BC ＝ 5 3 ，BC＝6， ∴AB＝ BC3 5 ＝10，∴AC＝ 22 BCAB  ＝8． 在 Rt△ADC 中，∵∠DAC＝∠BAC， ∴sin∠DAC＝ AC CD ＝sin∠BAC＝ 5 3 ， ∴CD＝ AC5 3 ＝ 5 24 ． ……………………………………4 分 ∴DE＝ AC BCCD  ＝ 8 65 24  ＝ 5 18 ． ……………………………………5 分 22．90°； 10 ． ……………………………………2 分 猜想：EF=BE＋FD； ……………………………………3 分 理由如下： 如图，将△ABE 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与 AD 重合，得到△ADG， ∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG， ∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即点 F，D，G 在同一条直线上． ∵∠EAF＝ 2 1 ∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF， 即∠GAF＝∠EAF． ……………………………………4 分 在△AEF 和△AGF 中，     AFAF GAFEAF AGAE ＝ ，＝ ，＝ ∴△AEF≌△AGF， ∴EF＝FG． ∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋FD． ……………………………………5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 8 分，第 24、25 题每小题 7 分） 23．（1）证明：∵ )1(14)( 2  kk ＝ 2)2( k ， ………………1 分 又∵ 2k ，∴ 02 k ， ∴ 0)2( 2 k ，即 0 ， ∴当 2k 时，方程总有两个不相等的实数根． ………………2 分 （2）解：∵ )2(12  kkkxxy 与 x 轴交于 A、B 两点， ∴令 0y  ，有 2 1 0x kx k    ， 解得 1x ，或 1 kx ． ………………3 分 ∵ 2k ，点 A 在点 B 的左侧， ∴A(1，0)，B( 1k ，0)． ∵抛物线与 y 轴交于点 C， ∴C(0， 1k )． ……………………………………4 分 在 Rt△AOC 中，tan∠OAC＝ OA OC ＝ 1 1k ＝4， 解得 5k ． ∴抛物线的解析式为 452  xxy ． ……………………………………5 分 （3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为 1 和 5，由此可得交点坐标为(1，0)和(5，4)． ………………6 分 将交点坐标分别代入一次函数解析式 qpxy  中，得      qp qp 54 ,0＝ ， 解得    1 ,1 ＝ ＝ q p ， ∴一次函数的解析式为 1 xy ． ……………………………………7 分 24．（1）证明：∵正方形 ABCD，E，F，G 分别是边 AD，AB，BC 的中点，[来源:Z,xx,k.Com] ∴AE＝AF＝FB＝BG，∠A＝∠B＝90°， ∴△AEF≌△BGF， ……………………………………1 分 ∴EF＝FG，∠AFE＝∠BFG＝45°， ∴∠EFG＝180°－∠AFE－∠BFG＝90°，即 EF⊥FG． ………………2 分 （2）BH＝ 2 2 EF＋EK； ……………………………………3 分 证明：将线段 FH 绕点 F 逆时针旋转 90º，得到线段 FK， ∴FH＝FK，∠HFK＝90°， ∴∠KFE＋∠EFH＝90°， ∵∠EFG＝90°，∴∠HFG＋∠EFH＝90°， ∴∠KFE＝∠HFG， 在△EFK 和△GFH 中， FK＝FH，∠KFE＝∠HFG，EF＝FG， ∴△EFK≌△GFH， ……………………………………4 分 ∴EK＝GH． ∵△BFG 是等腰直角三角形，∴BG＝ 2 2 FG， ∴BH＝BG＋GH＝ 2 2 FG＋EK＝ 2 2 EF＋EK， 即 BH＝ 2 2 EF＋EK． ……………………………………5 分 （3）补全图形如图； ……………………………………6 分 BH＝EK－ 2 2 EF． ……………………………………7 分 25．（1）①18； ……………………………………1 分 ② 4t 或 1t ； ……………………………………3 分 （2）如图，过 M 点作 x 轴的垂线与过 N 点垂直于 y 轴的直线交于点 Q，则当点 P 位 于矩形 OMQN 内部或边界时，矩形 OMQN 是点 M，N，P 的最佳外延矩形，且 面积最小． ∵S 矩形 OMQN＝OM·ON＝6×8＝48， ∴点 M，N，P 的最佳外延矩形面积的最小值为 48．………………4 分 抛物线 542  xxy＝ 与 y 轴交于点 T(0，5)． 令 0y  ，有 0542 ＝ xx ， 解得 1x （舍），或 5x ． 令 8y ，有 8542 ＝ xx ， 解得 1x ，或 3x ． ∴ 10  x ，或 53  x ． ……………………………………6 分 （3） 2 172  r ． ………………………………… …8 分 说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．