2015泉州五校高三摸底联考数学文试卷及答案

2014 年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中 高中毕业班摸底统一考试 文科数学试题 考生注意： 1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟． 2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上． 3.参考公式： 锥体的侧面积： lcs  底面周长侧 2 1 ； 柱体的侧面积： lcs  底面周长侧 锥体的表面积： ；底面积侧表面积 sss  柱体的表面积： ；底面积侧表面积 sss 2 锥体的体积公式： 1 3V Sh ； 柱体的体积公式：V=Sh，其中 S 为底面面积，h 为高 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一．选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.) 1．已知集合    | 3 3 , | 1A x x B x x      ，则集合 A B 为（ ） A．[0,3) B．[1,3) C．(1,3) D．(-3,1] 2.在复平面内，复数 2 1 i i 对应的点的坐标为 ( ) A．（-1，1） B.（1，1） C.（1，-1） D.（-1，-1） 3.下列有关命题的说法正确的是 （ ） A.命题“ ,x R  , 均有 2 1 0x x   ”的否定是：“ x R  , 使得 2 1 0x x   ” B.“ 3x  ”是“ 22 7 3 0x x   ”成立的充分不必要条件 C.线性回归方程 axby ˆˆˆ  对应的直线一定经过其样本数据点     1 1 2 2, , , , , ,n nx y x y x y 中的一个点 D.若“  p q  ”为真命题，则“ p q ”也为真命题 4.已知 ,a bR ，且 ba  ,则（ ） A． 22 ba  B． 1a b  C． lg( ) 0a b  D． 1 1( ) ( )2 2 a b 5. 已知 ,2      ， 3sin 5   ,则 tan 4     等于（ ） A． －7 B． － 7 1 C． 7 D． 7 1 6. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该 四棱锥的体 积等于（ ） A．1 B． 2 C．3 D． 4 7．已知双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的离心率为 2 6 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. 2y x  B. 2y x  C. xy 2 2 D. 1 2y x  8．函数   2 1logf x x x   的零点所在的区间为（ ） A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4 9．程序框图如图所示： 如果上述程序运行的结果 S＝1320，那么判断框中应填入( ) A．K＜10? B．K≤10? C．K＜9? D．K≤11? 10．已知函数    cos , 0,2f x x x   有两个不同的零点 1 2,x x ，且方程    0f x m m  有两个不同的 实根 3 4,x x ，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数 m ＝( ) A.1 2 B．－1 2 C. 3 2 D．－ 3 2 11．在平面区域 0 0 2 x y x y        内随机取一点，则所取的点恰好落在圆 2 2 1x y  内的概率是（ ） A． 2  B． 4  C． 8  D． 16  12.若曲线C 上存在点 M ，使 M 到平面内两点  5,0A  ，  5,0B 距离之差的绝对值为 8，则称曲线C 为 “好曲线”．以下曲线不是．．“好曲线”的是（ ） A． 5x y  B． 2 2 9x y  C． 2 2 125 9 x y  D． 2 16x y 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，将答案填在题后的横线上．） 13. 如图是甲、乙两名篮球运动员 2013 年赛季每场比赛得分的 茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 . 14.已知函数 ( )f x 满足  1 1f  且 ( 1) 2 ( )f x f x  ， 则 (1) (2) (10)f f f  … = 甲 乙 7 1 2 6 2 8 2 3 1 9 6 4 5 3 1 2 15.圆心在曲线 3 ( 0)y xx    上，且与直线 3 4 3 0x y   相切 的面积最小的圆的方程是_ 16.如右图，在直角梯形 ABCD 中， 3,2,,//  ABDCADABADDCAB ,点 M 是梯形 ABCD 内 或 边 界 上的一个动点，点 N 是 DC 边的中点，则 ANAM  的最大值是________ 三．解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17. （本小题满分 12 分） 在等差数列 na 中， nS 为其前 n 项和 )(  Nn ，且 2 43, 16a S  （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）设 1 1   nn n aab ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． 18. （本小题满分 12 分） 已知函数   2 13sin cos cos 2f x x x x   （Ⅰ）求函数  f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）把  f x 的图像向左平移 12  个单位，得到的图像对应的函数为  g x ,求函数  g x 在 0, 4      的取 值范围。 19.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1BB  平面 1 1 1A B C , 1 1 1 1A B AC ， 点D 、F 分别是棱BC 、 1CC 上的中点，点E 是 1CC 上的动点 （Ⅰ）证明： 1 //A F 平面 ADE ； （Ⅱ）证明 ： 1A F  DE ； 20. （本小题满分 12 分） 某区卫生部门成立了调查小组，调查 “常吃零食与患龋齿的关系”，对该区六年级 800 名 学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有 60 名，常吃零食但不患龋齿的学生有 100 名，不常吃零食但患龋齿的学生有 140 名. （Ⅰ）完成下列 2 2 列联表，并分析能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下，认为该区学生的常吃零食与 患龋齿有关系？ 不常吃零食 常吃零食 总计 不患龋齿 患龋齿 总计 （Ⅱ）4 名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组 2 人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理.求 工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率. 附： ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnk   21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的长轴长为 4，且点 3(1, )2 在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为 k 的直线l 交椭圆于 ,A B 两点，若 0OA OB   ，求直线l 的方程 22. （本小题满分 14 分） 已知函数      12 2 ln 0f x ax a x ax      . （Ⅰ）当 0a  时，求  f x 的极值； （Ⅱ）当 0a 时，讨论  f x 的单调性； （Ⅲ）若对任意    1 22,3 , , 1,3a x x  ，恒有     1 2ln3 2ln3m a f x f x    成立，求实数 m 的取 值范围。 班 级 2014 年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中 高中毕业班摸底统一考试文科数学试题答题卡 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. )( 0 2 kKP  0.010 0.005 0.001 0k 6.635 7.879 10.828 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B D A B C B A D B B 二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上） 13． 54 14． 1023 15． 2 23( 2) ( ) 92x y    16． 6 三．解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17． （本题满分 12 分） (Ⅰ)设等差数列的公差是 d ……………1 分 由已知条件得 1 1 3, 4 6 1 6, a d a d      ……………2 分 解得 1 1, 2,a d  ……………2 分 ∴ 2 1na n  . ……………1 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， 2 1na n  ， ∴ 1 1 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n        ……………3 分 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) (1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n nT b b b n n n n                      ……………3 分 18.（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）    2 13sin cos cos 2f x x x x   ＝ 3 1 cos2 1sin 22 2 2 xx   ……………2 分 ＝ 3 1sin 2 cos22 2x x ……………1 分 ＝sin 2 6x     …………… 2 分 ∴最小正周期T  …………… 1 分 （Ⅱ）依题意得：   sin 2 sin 212 6 3g x x x                   ……………2 分 0, 4x      ∴ 52 ,3 3 6x         ……………1 分 ∴ 1sin 2 ,13 2x            ……………2 分 ∴  g x 的取值范围为 1 ,12      ……………1 分 19.（本题满分 12 分） （Ⅰ） 证明：连结 DF 在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 点D 、F 分别是棱BC 、 1CC 上的中点  1BD B F平行且等于 四边形 1BDFB 是平行四边形 ……………………… 2 分  1BB DF平行且等于  1 1BB AA平行且等于 四边形 1AA FD 是平行四边形  1 //A F AD …………………………2 分 又 1A F ADE AD ADE    平面 平面  1 //A F 平面 ADE ． …………………………2 分 （Ⅱ）证明 ：由 1BB  平面 1 1 1A B C ,又 1A F  平面 1 1 1A B C ，所以 1BB  1A F ……2 分 在三角形 1 1 1A B C 中， 1 1 1 1A B AC ，且 F 为 1 1B C 的中点，所以 1 1B C  1A F …………2 分 又 1BB  1 1 1B C B ，所以 1A F  平面 1 1BCC B ． 又点D 、E 分别是棱BC 、 1CC 上的点，所以DE  平面 1 1BCC B ， 所以 1A F  DE ． ……………………………………2 分 20．（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意可得列联表： 不常吃零食 常吃零食 总计 不患龋齿 60 100 160 患龋齿 140 500 640 总计 200 600 800 注：列联表正确是 3 分 因为 828.10667.16600200640160 )14010050060(800 2 2  k 。注：此步正确 2 分 所以能在犯错率不超过 0.001 的前提下,为该区学生常吃零食与患龋齿有关系。注：此结论正确 1 分 （Ⅱ）设其他工作人员为丙和丁，4 人分组的所有情况有： 收集数据：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁； 处理数据：丙丁；乙丁；乙丙；甲丁；甲丙；甲乙 共有 6 种。 ………3 分 记事件 A：工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组 ………1 分 则满足条件的情况有：甲丙收集数据，乙丁处理数据；甲丁收集数据，乙丙处理数据共计 2 种………1 分 所以   2 1 6 3P A   。 ……… 1 分 21．（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意 2a  ．所求椭圆方程为 2 2 2 14 x y b   ． 又点 3(1, )2 在椭圆上，可得 1b  ．所求椭圆方程为 2 2 14 x y  ． ………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 2 24, 1a b  ，所以 3c  ，椭圆右焦点为 ( 3,0) ． 则直线 AB 的方程为 ( 3)y k x  ． ……..1 分 由 2 2 ( 3), 4 4 0, y k x x y       可得 2 2 2 2(1 4 ) 8 3 12 4 0k x k x k     ． ………1 分 由于直线 AB 过椭圆右焦点，可知 0  ． ……..1 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 2 2 1 2 1 22 2 8 3 12 4,1 4 1 4 k kx x x xk k     ， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2( 3)( 3) [ 3( ) 3] 1 4 ky y k x x k x x x x k          ．………2 分 所以 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 12 4 11 4( )1 4 1 4 1 4 k k kOA OB x x y y k k k             ． ……..1 分 由 0OA OB   ，即 2 2 11 4 01 4 k k   ，可得 2 4 2 11,11 11k k   ． ……….1 分 所以直线 l 的方程为 2 11 ( 3)11y x   ． ………1 分 22．（本题满分 14 分） 解：（1）当 0a  时， 2 2 1 1 2 1-2( ) 2ln ( )= - = ( 0)xf x x f x xx x x x     、 由 2 1-2( )= 0xf x x 、 ,解得 1 2x  ，可知  f x 在 10, 2      上是增函数，在 1 ,2     上是减函数. ∴  f x 的极大值为 1( ) 2ln 2 22f   ，无极小值. ………………4 分 2 2 2 1 1 1 2 (2 ) 1(2) ( ) 2 (2 )ln ( )=2 (2 ) ax a xf x ax a x f x a ax x x x           、 ………………1 分 .①当 0 2a  时，  f x 在 10, 2      和 1 ,a     上是增函数，在 1 1,2 a      上是减函数；………………1 分 ②当 2a  时，  f x 在 0, 上是增函数； ………………1 分 ③当 2a  时，  f x 在 10, a      和 1 ,2     上是增函数，在 1 1, 2a      上是减函数 ………………1 分 （3）当 2 3a  时，由（2）可知  f x 在 1,3 上是增函数， ∴           3 23ln241321  aaffxfxf . ………………2 分 由 1 2( ln3) 2ln3 ( ) ( )m a f x f x    对任意的    3,1,,3.2 21  xxa 恒成立， ∴ 1 2 max( ln3) 2ln3 ( ) ( )m a f x f x    ………………2 分 即     3 23ln243ln23ln  aaam 对任意 2 3a  恒成立， 即 am 3 24  对任意 2 3a  恒成立， ………………1 分 由于当 2 3a  时 3 13 3 249 38  a ， ∴ 3 13m . ………………1 分