莱州市2015高三期末数学（理）试题及答案

2014—2015 年度第一学期高三期末检测 数 学（理） 注意事项： 1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 2.使用答题纸，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用 2B 铅笔.要 字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一、选择题：本大题共 10 小题；每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.已知集合  1 1M x x   ，集合  2 2 3N x x x   ，则 RM C N  A.  0 2x x  B.  2x x  C.  1 0 2 3x x x    或 D.  2.若函数     3 , 5 ,2 , 5 x x f x f x x      则  2f 的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 3.将函数 sin 2 3y x      的图象向右平移 12  个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原 来的 2 倍，得到函数解析式为 A. 5sin 12y x      B. cosy x C. cosy x  D. siny x  4.如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无两边相等的三角形 5.已知 ABC 的重心为 G，角 A，B，C 所对的边分别为 , ,a b c ，若 2 3 3 0aGA bGB cGC   uur uuur uuur ，则 sin :sin :sinA B C  A.1:1:1 B. 3 :1: 2 C. 3 : 2:1 D. 3: 2 3 : 2 6.某次数学摸底考试共有 10 道选择题，每道题四个选项中有且只有一个选项是正确的； 张三同学每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对 9 道题的概率为 P，则下 列数据中与 P 的值最接近的是 A. 43 10 B. 53 10 C. 63 10 D. 73 10 7.在 71ax  的展开式中， 3x 项的系数是 2x 项系数和 5x 项系数的等比中项，则实数 a 的 值为 A. 25 9 B. 4 5 C. 25 3 D. 5 3 8.已知函数    2 logx af x a g x x ， （其中 0 1a a 且 ），若    4 4 0f g   ， 则    ,f x g x 在同一坐标系内的大致图象是 9.已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的焦点到其渐近线的距离等于 2，抛物线 2 2y px 的焦点为双 曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为 4，则抛物线方程为 A. 2 4y x B. 2 4 2y x C. 2 8 2y x D. 2 8y x 10. 定 义 域 是 R 上 的 函 数  f x 满 足    2 2f x f x  ， 当  0,2x 时 ，       2 2 , 0,1 log , 1,2 x x x f x x x      ，若  4, 2x   时，   1 4 2 tf x t   有解，则实数 t 的取 值范围是 A.    2,0 0,1  B.    2,0 1,   C.  2,1 D.    , 2 0,1   二、填空题：本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分.把正确答案填在答题卡的相应 位置. 11.抛物线 2 2y x x 在 处的切线与抛物线以及 x 轴所围成的曲边图形的面积为 12.已知函数    2cos 1 0, 2f x A x A               的最大值为 3，  f x 的 图 象 与 y 轴 的 交 点 坐 标 为  0,2 ， 其 相 邻 两 条 对 称 轴 间 的 距 离 为 2 ， 则      1 2 2015f f f   13.设 x y、 满足约束条件 3 6 0 2 0 0, 0 x y x y x y           ，若目标函数  0, 0z ax by a b    的最大值 为 10，则 2 3 a b  的最小值为 14.已知过点  1,0A 且斜率为 k 的直线l 与圆    2 2: 3 2 1C x y    相交于 P、Q 两点， 则 AP AQ uuur uuur 的值为 15.给出下列结论： ①函数   3lnf x x x   在区间 ,3e 上有且只有一个零点； ②已知 l 是直线， 、 是两个不同的平面.若 ,l l     ，则 ； ③已知 ,m n 表示两条不同直线， 表示平面.若 , , / /m m n n   则 ； ④在 ABC 中，已知 20, 28, 40a b A    ，在求边 c 的长时有两解. 其中所有正确结论的序号是： 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或 推理步骤. 16.（本小题满分 12 分） 已知函数       sin 3 cos sin 2 1 2cos 2 x x x f x x        . （1）求函数  f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）当 0, 2x     时，求  f x 的最大值，并求此时对应的 x 的值. 17.（本小题满分 12 分） 2015 年元旦联欢晚会某师生一块做游戏，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上 分别写着六个函数：分别写着六个函数：      2 3 1 2 3 ln1, , xf x x f x x f x x     ，      4 5 6cos , sin 3f x x x f x x f x x   ， . （1）现在取两张卡片，记事件 A 为“所得两个函数的奇偶性相同”，求事件 A 的概率； （2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是奇函数则停止抽取，否则 继续进行，记停止时抽取次数为 ，写出 的分布列，并求其数学期望. 18.（本小题满分 12 分） 如图所示，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， DE  平面 ABCD，AF//DE,DE=2AF， BE 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2 2 . （1）求证：AC//平面 EFB； （II）求二面角 F BE A  的大小. 19.（本小题满分 12 分） 已知数列 na 中， 1 2,a a a t  （常数 0t  ）， nS 是其前 n 项和，且  1 2 n n n a aS  . （I）试确定数列 na 是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由； （II）令  *2 1 1 2 1 2 , 2 2 3n n n n n n S Sb n b b b n n NS S            证明： . 20.（本小题满分 13 分） 设        ln ,f x x g x f x af x   . （1）求函数  f x 的图象在点 ,1e 处的切线方程； （2）求  g x 的单调区间； （3）当 1a  时，求实数 m 的取值范围，使得     1g m g x m   对任意 0x  恒成立. 21.（本小题满分 14 分） 已 知 椭 圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的 离 心 率 1 2e  ， 点 A 为 椭 圆 上 一 点 ， 1 21 2 60 3F AFF AF S  ，且 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）设动直线 :l kx m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P，且与直线 4x  相交于点 Q. 问：在 x 轴上是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过定点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.