期中检测题
【本检测题满分:120 分，时间:120 分钟】
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.（2015·广州中考）已知⊙O 的半径是 5，直线 l 是⊙O 的切线，则点 O 到直线 l 的距离
是( )
A.2.5 B.3 C.5 D.10
2.如图是教学用的直角三角板，边 AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC
= ，则边 BC 的长为（ ）
A.30 cm B.20 cm
C.10 cm D.5 cm
3.一辆汽车沿坡角为 的斜坡前进 500 米，则它上升的高度为（ ）
A.500sin B. 500
sin
C.500cos D. 500
cos
4.如图，在△ 中， =10，∠ =60°，∠ =45°，则点 到 的距离是（ ）
A.10 5 3 B.5+5 3
C.15 5 3 D.15 10 3
5.（2014·四川南充中考）如图，PA 和 PB 是⊙O 的切线，点 A 和 B 是切点，AC 是⊙O 的直
径，已知∠P＝40°，则∠ACB 的大小是（ ）
A.40° B.60° C.70° D.80°
6.计算 6tan 45 2cos 60 的结果是( )
A. 4 3 B. 4 C. 5 3 D.5
7.如图，在 ABC△ 中， 90 , 5, 3,∠C AB BC 则sin A 的值是( )
A. 3
4
B.
3
4 C. 3
5
D. 4
5
8.上午 9 时，一船从 处出发，以每小时 40 海里的速度向正东方向航行，9 时 30 分到达 处，
如图所示，从 ， 两处分别测得小岛 在北偏东 45°和北偏东 15°方向，那么 处与
小岛 的距离为（ ）
A.20 海里 B.20 2 海里
C.15 3 海里 D.20 3 海里
第 2 题
9.如图，AB 是⊙O 的直径，C,D 是⊙O 上一点，∠CDB=20°，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延
长线于点 E，则∠E 等于（ ）
A．40° B. 50° C. 60° D.70°
第 9 题图
10.如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点，连结 交⊙ 于点 ,连结 ,若
∠ ＝45°,则下列结论正确的是（ ）
A． B. C. D.
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11.在离旗杆 20 m 的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为 ，如 果测角仪高 1.5 m，
那么旗杆的高为________m.
12.如图，PA,PB 切⊙ 于点 A,B，点 C 是⊙ 上一点，∠ACB=60°，
则∠P= °
13.已知∠ 为锐角，且 sin = 8
17
，则 tan 的值为__________.
14.如图，在离地面高度为 5 m 的 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成 角， 则拉线 的
长为__________m(用 的三角函数值表示).
15.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点 D，连结 AD，若∠ A =25°，
则∠C =__________度.
16.如图，直线 l 与半径为 4 的⊙O 相切于点 A， P 是⊙O 上的一个动点（不与点 A 重合），
过点 P 作 PB⊥l，垂足为 B，连结 PA．设 PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是 ．
17.如 图所 示， PA ， PB 切⊙O 于 A ， B 两
点，若 60APB ∠ ，⊙O 的半径为3，
则阴影部分的面积为_______.
18.（2015·上海中考）已知在△ABC 中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°．将△ABC 绕点 A 旋转，
使点 B 落在原△ABC 的点 C 处，此时点 C 落在点 D 处．延长线段 AD，交原△ABC 的边 BC
的延长线于点 E，那么线段 DE 的长等于___________．
三、解答题（共 66 分）
19.(8 分)计算:6 tan230°－cos 30°·tan 60°－2 sin 45°+cos 60°.
20.(8 分)如图，李庄计划在山坡上的 处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌
溉，已知 到水池 处的距离 是 50 米，山坡的坡角∠ =15°，由于受大气压的影响，
此种抽水泵的实际吸水扬程 不能超过 10 米，否则无法抽取水池中的水，试问抽水泵
站能否建在 处?
21.(8 分) 如图所示，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，点 P 是直径 AB 上的一点（不与 A，
B 重合），过点 P 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 Q.
（1）在线段 PQ 上取一点 D，使 DQ=DC，连结 DC，试判断 CD 与⊙O 的位置关系，并说明
理由；
（2）若 cos B= 3
5
，BP=6，AP=1，求 QC 的长.
22.(8 分)在 Rt△ 中，∠ =90°，∠ =50°， =3，求∠ 和 a(边长精确到 0.1).
23.(8 分) （2015·南京中考）如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处，轮船乙位于码头
O 的正北方向 C 处，测得∠CAO=45°.轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方
向匀速行驶，它们的速度分别为 45 km/ h 和 36 km/h.经过 0.1 h，轮船甲行驶至 B 处，
轮船乙行驶至 D 处，测得∠DBO＝58°,此时 B 处距离码头 O 有多远？
（参考数据：sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60）
第 23 题图 第 24 题图
24.(8 分)某电视塔 和楼 的水平距离为 100 m，从楼顶 处及楼底 处测得塔顶 的仰
角分别为 45°和 60°，试求楼高和电视塔高(结果精确到 0.1 m).
25.(8 分)（2015·湖北黄冈中考）已知:如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的⊙O 交
AB 于点 M，交 BC 于点 N，连结 AN，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 P.
（1）求证:∠BCP=∠BAN;
（2）求证:
第 25 题图
26.（10 分）（北京中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧 AB 的中点，⊙O 的切线 BD 交 AC
的延长线于点 D，E 是 OB 的中点，CE 的延长线交切线 DB 于点 F，AF 交⊙O 于点 H，连
结 BH.
（1）求证：AC=CD；
（2）若 OB=2，求 BH 的长.
期中检测题参考答案
一、选择题
1. C 解析：根据切线的性质可知：圆心到直线的距离 d=r=5.
2.C 解析：在直角三角形 ABC 中，tan∠BAC=tan30°= 根据三角函数
定义可知：tan∠BAC= ，则 BC=AC tan∠BAC=30× =10 (cm)．故选 C．
3.A 解析：如图，∠ = ， =500 米，则 =500sin ．故选 A．
第 3 题答图 第 4 题答图
4.C 解析：如图，作 AD⊥BC，垂足为点 D.在 Rt△ 中，∠ =60°，
∴ = ．
在 Rt△ 中，∠ =45°，∴ = ，
∴ =（1+ ） =10．解得 =15﹣5 ．
5. C 解析：∵ PA 和 PB 是⊙O 的切线,∴ PA PB ,∴ PAB PBA .
∵ ∠P＝40°, ∴ PAB PBA =180 180 40 702 2
P ＝ ＝ .
∵ OA PA ,∴ 90PAB BAC .
∵ AC 是⊙O 的直径，∴ 90ABC ,∴ 90ACB BAC .
∴ 70ACB PAB ,故选项 C 正确.
6.D 解析： 16tan 45 2cos 60 6 1 2 52
.
7.C 解析： 3sin 5
BCA AB
.
8.B 解析：如图，过点 作 ⊥ 于点 ．
由题意得， =40× =20（海里），∠ =105°．
在 Rt△ 中， = • 45°=10 ．
在 Rt△ 中，∠ =60°，则∠ =30°， 第 8 题答图
所以 =2 =20 （海里）．故选 B．
9.B 解析：连结 OC，如图所示.
∵ 圆心角∠BOC 与圆周角∠CDB 都对弧 BC，
∴ ∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴ ∠BOC=40°，
又∵ CE 为 的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，
∴ ∠E=90° 40°=50°．故选 B.
10.A 解析：∵ 是 的直径， 与 切于 点且∠ ＝ , ∴Rt△ ，Rt
△ 和 Rt△ 都是等腰直角三角形.∴ 只有 成立.故选 A.
二、填空题
11.（1.5+20tan ） 解析：根据题意可得：旗杆比测角仪高 20tan m，测角仪高 1.5 m，
故旗杆的高为（1.5+20tan ）m．
12.50 解析：连结 OA，OB．
PA、PB 切⊙O 于点 A、B，则∠PAO=∠PBO=90°，
由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，
∵∠P+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，
∴∠P=180°﹣∠AOB=50°．
第 12 题答图 第 13 题答图
13. 8
15
解析：由 sin = = 知，如果设 =8 ，则 17 ，
结合 2+ 2= 2 得 =15 ．
∴ tan = ．
14. 5
sin
解析：∵ ⊥ 且 =5 m，∠CAD=α，
∴ = ．
15.40 解析：连结 OD，由 CD 切⊙O 于点 D，得∠ODC=90 .
∵ OA=OD,∴ 2 50DOC A ,
∴ 90 90 50 40 .C DOC
16. 2 解析：如图所示，
连结OA，过点 O 作 APOC 于点 C，所以∠ACO=90°.
根据垂径定理可知， xAPAC 2
1
2
1 .
根据切线性质定理得， lOA .
因为 lPB ，所以∠PBA=90°,OA∥ PB,
所以 APBOAC .
又因为∠ACO=∠PBA，所以 OAC△ ∽ APB△ ,
所以 ,PB
AC
AP
OA 即
y
x
x
24 ，所以
8
2xy ，
所以
8
2xxyx = 2)4(8
1 2 x ，
所以 yx 的最大值是 2.
17. PA ， PB 切⊙ 于 A ， B 两点 ，
所以∠ =∠ ，所以∠
所以
所以阴影部分的面积为 = .
18.4 3 4 解析：根据题意画出图形，如图，过点 B 作 BF⊥AE 于点 F.
∵ 在△ABC 中，AB=AC，∠BAC＝30°，
∴ ∠ABC=∠ACB=75°.
由旋转过程可知 AD=AC=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，
∴ ∠BAE=60°，∴ ∠BEF=180°－60°－75°=45°，
∴ EF=BF.
在 Rt△ABF 中， cos 8 cos60 4AF AB BAF ，
sin 8 sin 60 4 3BF AB BAF .
∴ 4 4 3AE AF EF AF BF .
∴ 4 4 3 8 4 3 4DE AE AD .
.三、解答题
19.解：原式=
2
3 3 2 1 3 16 3 2 2 2 1 23 2 2 2 2 2
.
20.解：∵ =50，∠ =15°，又 sin∠ = AB
AC
，
∴ = ·sin∠ = 50sin 15°≈13>10，
故抽水泵站不能建在 处.
21. 分析：（1）连结 OC，通过证明 OC⊥DC 得 CD 是⊙O 的切线；（2）连结 AC，由直径所对
的圆周角是直角得△ABC 为直角三角形，在 Rt△ABC 中根据 cos B= 3
5
，BP=6，AP=1，求出
BC 的长，在 Rt△BQP 中根据 cos B= BP
BQ
求出 BQ 的长，BQ BC 即为 QC 的长.
解：（1）CD 是⊙O 的切线.
理由如下：如图所示，连结 OC，
∵ OC=OB，∴ ∠B=∠1.又∵ DC=DQ，∴ ∠Q=∠2.
∵ PQ⊥AB，∴ ∠QPB=90°.
∴ ∠B+∠Q=90°.∴ ∠1+∠2=90°.
∴ ∠DCO=∠QCB (∠1+∠2)=180° 90°=90°.
∴ OC⊥DC.
∵ OC 是⊙O 的半径，∴ CD 是⊙O 的切线.
（2）如图所示，连结 AC，
∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB=90°.
在 Rt△ABC 中， BC=ABcos B=(AP+PB)cos B=(1+6)× 3
5
= 21
5
.
在 Rt△BPQ 中，BQ=
cos
BP
B
= 6
3
5
=10.∴ QC=BQ BC=10- 21
5
= 29
5
.
22.解：∠ =90° 50°=40°.∵ sin = a
c
， =3，∴ sin ≈3×0.766 0≈2.298
≈2.3.
23. 解：设 B 处距离码头 O x km.
在 Rt△CAO 中，∠CAO=45°.
∵ tan∠CAO=
∴ CO=AO·tan∠CAO=(45×0.1+x)·tan 45°=4.5+x.
在 Rt△DBO 中，∠DBO=58°.
∵ tan∠DBO= ,∴ DO=BO·tan∠DBO=x·tan 58°.
∵ DC=DO CO,∴ 36×0.1= x·tan 58° (4.5+x),
∴ x= ≈ =13.5.
因此，B 处距离码头 O 大约 13.5 km.
24.解：设 = m，∵ =100 m，∠ =45°，
∴ ·tan 45°=100(m).∴ =(100+ )m.
在 Rt△ 中，∵∠ =60°，∠ =90°，
∴ tan 60°= AB
BD
，∴ = 3 ，即 +100=100 3 ， =100 3 100 73.2(m)，
即楼高约为 73.2 m，电视塔高约为 173.2 m.
25．证明：（1）∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠ANC=90°.∴ AN⊥
BC.
又∵ AB=AC，∴ ∠1=∠2.
∵ CP 切⊙O 于点 C，∴ CP⊥AC.∴ ∠3+∠4=90°.
∵ ∠1+∠3=90°，∴ ∠1=∠4.∴ ∠2=∠4，即∠BCP=∠BAN.
（2）∵ AB=AC，∴ ∠3=∠5.
又∵ 四边形 AMNC 为⊙O 的内接四边形，
∴ ∠3+∠AMN=180°.
又∵ ∠5+∠CBP=180°，∴ ∠AMN=∠CBP.
又∵ ∠2=∠4，∴ △AMN∽△CBP.∴ .
26.（1）证明：如图，连结 OC.
∵ C 是弧 AB 的中点，AB 是⊙O 的直径，
∴ OC⊥AB.∵ BD 是⊙O 的切线，∴BD⊥AB,
∴ OC∥BD.
∵ AO=BO,∴ AC=CD.
(2)解：∵ OC⊥AB，AB⊥BF, ∴OC∥BF，
∴ ∠COE=∠FBE.∵ E 是 OB 的中点，∴ OE=BE.
在△COE 和△FBE 中，
,
,
,
CEO FEB
OE BE
COE FBE
∴ △COE≌△FBE(ASA).∴ BF=CO.∵ OB=OC=2，∴ BF=2，AB=4.∴ 2 2 2 5.AF AB BF
∵ AB 是直径，∴ BH⊥AF.∵ AB⊥BF,∴ △ABH∽△AFB.
∴ AB BH
AF BF
,∴ 4 2 4 5, .52 5
AB BFAB BF AF BH BH AF
∴
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