哈六中2015-2016学年高二数学（文）期末试题及答案

2015-2016 学年度上学期期末考试 高二数学试题（文史类） 满分：150 分 时间：120 分钟 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分． 1. 下面是关于复数 z＝ 2 －1＋i 的四个命题： p1：|z|＝2； p2：z2＝2i； p3：z 的共轭复数为 1＋i； p4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为 ( )． A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4 2. 将一个正三棱柱截去一个三棱锥，得到几何体，则该几何体的正视图为（ ） 3. 以下判断正确的个数是（ ） ①相关系数 r ，| |r 值越小，变量之间的相关性越强. ②命题“ 2, 1 0x R x x   存在 ”的否定是“不存在 Rx ， 012  xx ”. ③“ qp  ”为真是“ p ”为假的必要不充分条件 ④若回归直线的斜率估计值是 23.1 ，样本点的中心为 )5,4( ,则回归直线方程是 08.023.1   xy ； ⑤在根据身高预报体重的线性回归模型中， 64.02 R 说明了身高解释了 64﹪的体重变化 A.2 B. 3 C. 4 D.5 4. “ 2a ”是直线 32  yax 与直线 1)1(  yax 相交的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程为（ ） A.y＝±1 4x B.y＝±1 3x C.y＝±1 2x D.y＝±x 6. 已知 , ,A B C 点在球 O 的球面上, 90BAC   , 2AB AC  , 球 心 O 到 平 面 ABC 的距离为 1，则球 O 的表面积为（ ） A. 12 .16B  .36C  .20D  7. 已知抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点 0( ,1)M x ，若 点 M 到该抛物线的焦点距离为 3，则 OM  （ ） A. 2 3 B. 2 2 C. 3 D. 4 8. 运行右图所示的程序框图，若输出结果为 7 13 ，则判断框中 应该填的条件是( )． A．k>5 B．k>6 C．k>7 D．k>8 9. 直线 032  yx 与圆 9)3()2( 22  yx 交于 E、F 两点，则  EOF（O 是原点）的面积为( ) A. 2 3 B. 4 3 C. 52 D. 5 56 10. 设有算法如图所示：如果输入 A=225，B=135， 则输出的结果是（ ） A．90 B．45 C．2 D．0 11．我们知道，在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的 距离之和为定值 3 2 a ，类比上述结论，在棱长为 a 的 正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（ ） A． 6 3 a B． 5 2 a C． 2 2 3 a D． a 12. 在区间 ]5,1[ 和 ]4,2[ 上分别任取一个数，记为 ba, ，则方程 2 2 2 2 1x y a b   表示焦点在 x 轴上且离 心率小于 3 2 的椭圆的概率为（ ） A . 1 2 B . 15 32 C . 17 32 D 31 32 二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分） 13. ABCD 是复平面内的平行四边形，A,B,C 三点对应的复数分别 是 i31  ， i ， i2 ，则点 D 对应的复数为 14. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律， 第 n 行（n≥3）从右向左的第 3 个数为 15. 设命题 :p 实数 x 满足 2 24 3 0x ax a   ,其中 0a  ；命题 :q 实数 x 满足 5|72| x ，且 p 是 q 的必要不充分 条件，则实数 a 的取值范围为 16. 点 P 在正方体 1111 DCBAABCD  的面对角线 1BC 上运动， 下列四个命题：①三棱锥 PCDA 1 的体积不变； ② PA1 ∥平面 1ACD ； ③ 1BCDP  ； ④平面 1PDB 平面 1ACD . 其中正确的命题序号是 . 三、解答题：（本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17. （本小题满分 10 分） 哈尔滨市投资修建冰雪大世界，为了调查此次修建冰雪大世界能否收回成本，组委会成立了一个调查小组对国内 参观冰雪大世界的游客的消费指数(单位：百元)进行调查，在调查的 1000 位游客中有 100 位哈尔滨本地游客，把哈尔 滨本地游客记为 A 组，内外地游客记为 B 组，按分层抽样从这 1000 人中抽取 A,B 组人数如下表： A 组: B 组: （1）确定 a 的值，再分别在答题纸上完成 A 组与 B 组的频率分布直方图； （2）分别估计 A,B 两组游客消费指数的平均数，并估计被调查的 1000 名游客消费指数的平均数. 18. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 ABCDE  中，平面 ABE  平面 ABCD，侧面 ABE 是等腰直角三角形，EA EB ，底面 ABCD 是直角梯形，且 AB ∥ CD ， BCAB  ， 222  BCCDAB ， （1）求证 AB ⊥ DE ； （2）求三棱锥 BDEC  的体积； （3）若点 F 是线段 EA 上一点，当 EC // 平面 FBD 时，求 EF 的长. 19.（本小题满分 12 分） 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 30 名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表: 常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 合计 30 已知在全部 30 人中随机抽取 1 人,抽到肥胖的学生的概率为 15 4 . （1）请将上面的列联表补充完整 （2）是否有 99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由 消费指数（百元） )2,1[ )3,2[ )4,3[ )5,4[ )6,5[ 人数 3 4 6 5 2 消费指数（百元） )4,3[ )5,4[ )6,5[ )7,6[ ]8,7[ 人数 9 36 a 54 9 （3）4 名调查人员随机分成两组，每组 2 人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理. 求工作人员甲分到负责收 集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率. 参考数据： 2( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ) 20. （本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC，∠ACB＝90°，E 是棱 CC1 的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2. （1）求证：平面 EAB1 ⊥平面 BBAA 11 ； （2）求三棱锥 C－AB1E 的高． 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 1F 和 2F ，且 2|| 21 FF ， 点 )2 3,1( 在该椭圆上． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 1F 的直线l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 BAF2 的面积为 7 212 ，求以 2F 为圆心且与直线l 相切圆的方 程． 22. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 C：y＝mx2(m>0)，焦点为 F，直线 2x－y＋2＝0 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q，△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，求抛物线的方程. 一、选择题： CCBBC ACBDB AB 二、填空题： 13. i53  14. 2 42  nn 15. ]1,2[  16. ①②④ 三、解答题： 17.解：（1） 72a （2）A 组： 45.320 2 2 11 20 5 2 9 20 6 2 7 20 4 2 5 20 3 2 3  B 组： 6.5180 9 2 15 180 54 2 13 180 72 2 11 180 36 2 9 180 9 2 7  则 1000 名游客消费的平均数为 285.59.06.51.045.3  18.解：（1）证明：取 AB 中点O ，连结 EO， DO ． 因为 EAEB  ，所以 ABEO  ． 因为四边形 ABCD为直角梯形， BCCDAB 22  ， BCAB  ， 所以四边形OBCD为正方形，所以 ODAB  ． 所以 AB 平面 EOD ． 所以 EDAB  ． （2）由 ABEO  ，面 ABE  面 ABCD易得 ABCDEO  所以， 6 11)112(3 1   CBDEBDEC VV （3）解：连接 BDAC、 交于点，面 EAC  面 FMFBD  . 因为 EC // 平面 FBD ，所以 EC // FM． 在梯形 ABCD中，有 DMC 与 BMA 相似，可得 2FEAF,2MCMA  所以， 3 2EA3 1EF  19.解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有 x 人， 3 4 , 630 15 x x   常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8 不胖 4 18 22 合计 10 20 30 （2）由已知数据可求得： 2 2 30(6 18 2 4) 8.522 7.87910 20 8 22K        因此有 99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关。 （2）设其他工作人员为丙和丁，4 人分组的所有情况如下表 小组 1 2 3 4 5 6 收集数据 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 处理数据 丙丁 乙丁 乙丙 甲丁 甲丙 甲乙 分组的情况总有 6 中，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种， 所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是 3 1 6 2 P 。 20.证明：取 AB1 的中点 G，连接 EG，FG， ∵F、G 分别是 AB、AB1 的中点，∴FG∥BB1，FG＝1 2BB1.∵E 为侧棱 CC1 的中点， ∴FG∥EC，FG＝EC，∴四边形 FGEC 是平行四边形，∴CF∥ EG， ∵CF⊥平面 BBAA 11 ，∴EG⊥平面 BBAA 11 又 EG  平面 EAB1 ，∴平面 EAB1 ⊥平面 BBAA 11 …… 6 分 (2)∵三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC，∴BB1⊥平面 ABC. 又 AC⊂平面 ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC， ∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面 EB1C，∴AC⊥CB1， ∴VA－EB1C＝1 3S△EB1C·AC＝1 3 × 1 2 ×1×1 ×1＝1 6. ∵AE＝EB1＝ 2，AB1＝ 6，∴S△AB1E＝ 3 2 ，∵VC－AB1E＝VA－EB1C， ∴三棱锥 C－AB1E 在底面 AB1E 上的高为3VC－AB1E S△AB1E ＝ 3 3 . 21.（1）椭圆 C 的方程为 134 22  yx （2）①当直线l ⊥x 轴时，可得 A（-1，- 2 3 ），B（-1， 2 3 ），  A 2F B 的面积为 3，不合题意． ②当直线l 与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为 y=k（x+1）．代入椭圆方程得： 01248)43( 2222  kxkxk ，显然  ＞0 成立，设 A ),( 11 yx ，B ),( 22 yx ，则 2 2 21 43 8 k kxx   ， 2 2 21 43 128 k kxx   ，可得|AB|= 2 2 43 )1(12 k k   又圆 2F 的半径 r= 21 ||2 k k  ，∴  A 2F B 的面积= 2 1 |AB| r= 2 2 43 1||12 k kk   = 7 212 ，化简得：17 4k + 2k -18=0，得 k=±1， ∴r = 2 ，圆的方程为 2)1( 22  yx 22.解:联立方程 y＝mx2， 2x－y＋2＝0， 消去 y 得 mx2－2x－2＝0， 依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－1 2, 设 A(x1，mx21)，B(x2，mx22)，则 x1＋x2＝2 m ， x1·x2＝－2 m ， (*) ∵P 是线段 AB 的中点，∴P(x1＋x2 2 ，mx21＋mx22 2 )，即 P(1 m ，yP)，∴Q(1 m ，1 m). 得QA→ ＝(x1－1 m ，mx21－1 m)，QB→ ＝(x2－1 m ，mx22－1 m)， 若存在实数 m，使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形， 则QA→ ·QB→ ＝0，即(x1－1 m)·(x2－1 m)＋(mx21－1 m)(mx22－1 m)＝0， 结合(*)化简得－ 4 m2 －6 m ＋4＝0，即 2m2－3m－2＝0，∴m＝2 或 m＝－1 2 ， 而 2∈(－1 2 ，＋∞)，－1 2 ∉(－1 2 ，＋∞).∴m＝2