2015-2016高一数学期中试题及答案

2015---2016 学年度上学期 高一年级数学学科期中考试试题 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 1． 已知集合  | 3A x x  ，  | 2 4xB x  ，则 A B  （A） （B） | 0 3x x  （C） |1 3x x  （D） | 2 3x x  2． 函数     21 4ln 1f x xx    的定义域为 （A）   2 0 0 2 ， ， （B）    1 0 0,2 ， （C） 2 2 ， （D）  1 2 ， 3． 函数 1y x   的值域为 （A） 0  ， （B）  0， （C） 1  ， （D） 1， 4． 下列函数  f x 与  g x 是相同函数的是 （A）    21f x x  ；   1g x x  （B）   2 1 1 xf x x   ；   1g x x  （C）      lg 1 lg 1f x x x    ；    2lg 1g x x  （D）   1 1x xf x e e   ；   2xg x e 5． 给出下列四个函数： ①   1f x x  ；②   1f x x  ；③   22f x x ；④    2 lg 1xf x x   ． 其中在  0，  上是增函数的有 （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个 6． 若   2f x ax bx  是定义在 1 2a a ， 上的偶函数，则 a b  （A） 1 3  （B） 1 3 （C） 1 2 （D） 1 2  7． 三个数 0.76 ，  60.7 ， 0.7log 6 的大小顺序是 （A）  6 0.7 0.70.7 log 6 6  （B）  6 0.7 0.70.7 6 log 6  （C）  60.7 0.7log 6 6 0.7  （D）  6 0.7 0.7log 6 0.7 6  8． 已知函数  y f x 与  y g x 的图象如图所示，则函数    y f x g x  的图象可 能是 9． 已知函数  y f x 与函数 xy e 的图象关于直线 y x 对称，函数  y g x 的图 象与  y f x 的图象关于 x 轴对称，若   1g a  ，则实数 a 的值为 （A） e （B） 1 e  （C） 1 e （D） e 10．若函数 xy a b   0 1a a 且 的图象经过第二、三、四象限，则有 （A） 0 1 1a b   ， （B） 0 1 1a b  ， （C） 1 1a b  ， （D） 1 1a b ， 11．设函数  f x 定义在实数集上，    1 1f x f x   ，且当 1≥x 时，   1 2 x f x      ， 则有 （A）  1 123 2f f f           （B）  1 122 3f f f           O y x y=f (x) O y x y=g (x) （A） O y x （B） O y x （C） O y x （D） O y x （C）  1 1 22 3f f f           （D）   1 12 3 2f f f           12．已知函数   logaf x x ．若不等式   1f x  对于任意  2x  ， 恒成立，则实数 a 的取值范围是 （A）  10 1 22      ， ， （B）  10 22       ， ， （C）  1 1 1 22      ， ， （D）  1 1 22       ， ， 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分．） 13．函数  0.5 1 log 4 3 y x   的定义域为 ． 14．已知函数  f x 是奇函数．当  1 0x  ， 时，   1 1 4 2x xf x   ，则当  01x ， 时，  f x  ． 15．函数  2 1 2 log 2 3y x x   的单调递减区间为 ． 16．已知函数   2 1 0 log 0 ≤x xf x x x    ， ， ，则函数   1y f f x    的图象与 x 轴有 个交点． 三、解答题：（本大题共 6 小题，其中 17 小题 10 分，18~22 小题每小题 12 分；解 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题 10 分） 已知  | 3≤ ≤A x a x a  ，  | 6 1B x x x   或 ． （Ⅰ）若 A B   ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）若 A B B ，求 a 的取值范围． 18．（本小题 12 分） 化简求值：（Ⅰ） 01 3 1 3 4 210.064 16 0.258         ； （Ⅱ） 2 3 1 lg25 lg2 lg 0.1 log 9 log 22     ． 19．（本小题 12 分） 已知函数    1log 0 11a xf x a ax    且 ． （Ⅰ）判断  f x 的奇偶性，并证明； （Ⅱ）求使   0f x  的 x 的取值范围． 20．（本小题 12 分） 已知函数   2xf x  ，   1 2 2 xg x   ． （Ⅰ）求函数 g(x)的值域； （Ⅱ）解方程：    f x g x ． 21．（本小题 12 分） 已知函数  f x 的定义域是 R，对任意实数 x，y，均有      f x y f x f y   ， 且当 0x  时，   0f x  ． （Ⅰ）证明：  f x 在 R 上是增函数； （Ⅱ）判断  f x 的奇偶性，并证明； （Ⅲ）若  1 2f    ，求不等式  2 4 4f a a   的解集． 22．（本小题 12 分） 已知函数    2log 2 8f x x x ， ， ，函数      2 2 3g x f x a f x      的最小值为  h a ． （Ⅰ）求  h a ； （Ⅱ）是否存在实数 m ， n ，同时满足以下条件：① 3m n  ；②当  h a 的定 义域为 n m， 时，值域为 2 2n m  ， ．若存在，求出 m ， n 的值；若不存在，说明理 由． 2015---2016 学年度上学期 高一年级数学学科期中考试参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C D C B D A C A D C 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分．） 13． 3 14      ， ； 14． 2 4x x ； 15．  3  ， ； 16．3 三、解答题：（本大题共 6 小题，其中 17 小题 10 分，18~22 小题每小题 12 分；解 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．解：（Ⅰ）令 6 3 1 ≥ ≤ a a    ，解得： 6 2≤ ≤a  ；……………………………5 分 （Ⅱ）令 3 6a    或 1a  ，解得： 9a   或 1a  ……………………………10 分 18．解：（Ⅰ）10（6 分）（Ⅱ） 1 2  （6 分） 19．解: （Ⅰ）由 01 1   x x ,得 11  x . 故  xf 的定义域为 1,1 .……………………………2 分 ∵    1 1log log1 1a a x xf x f xx x         ∴  xf 是奇函数. ……………………………6 分 （Ⅱ）当 1a 时，由 1log01 1log aa x x   ，得 11 1   x x ，所以 10  x ， 当 10  a 时，由 1log01 1log aa x x   ，得 11 10   x x ，所以 01  x 故当 1a 时， x 的取值范围是 }10|{  xx ； 当 10  a 时， x 的取值范围是{ | 1 0}x x   .……………………………12 分 20．解：(1)g(x)＝ 1 2|x| ＋2＝ 1 2 |x|＋2， 因为|x|≥0，所以 0< 1 2 |x|≤1，即 20 满足 2x－1 2x －2＝0， 整理得(2x)2－2·2x－1＝0，(2x－1)2＝2， 故 2x＝1± 2， 因为 2x>0，所以 2x＝1＋ 2，即 x＝log2(1＋ 2)．……………………………12 分 21．（Ⅰ）证明：设 21 xx  ，则 012  xx ， ∵当 0x 时， 0)( xf ，∴ 0)( 12  xxf ， ∵   )()()()( 1121122 xfxxfxxxfxf  ， ∴ 0)()()( 1212  xxfxfxf ，即 )()( 21 xfxf  ，∴ )(xf 为增函数． . ……………………………4 分 （Ⅱ）解：在条件中，令 y＝－x，则 )()()0( xfxff  ，再令 x＝y＝0，则 )0(2)0( ff  ，∴ 0)0( f ，故 )()( xfxf  ， )(xf 为奇函数． . ……………………………8 分 （Ⅲ）解：∵ )(xf 为奇函数，∴ 2)1()1(  ff ，∴      2 1 1 4f f f   ， ∴不等式可化为    2 4 2f a a f   ， 又∵ )(xf 为 R 上的增函数， ∴ 2 4 2a a   ，即  3 2a  ， . ……………………………12 分 22．解：（Ⅰ）因为 x∈[2,8]，所以 log2x∈[1,3]． 设 log2x＝t，t∈[1,3]， 则 g(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2 当 a3 时，ymin＝g(3)＝12－6a. 所以         2 4 2 1 3 1 3 12 6 3 ≤ ≤ a a h a a a a a        ， ， ， . ……………………………6 分 （Ⅱ）假设存在满足题意的实数 m ， n ， 因为 m>n>3， 所以 h(a)＝12－6a 在(3，＋∞)上为减函数， 因为 h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]， 所以 12－6m＝n2 12－6n＝m2 ， 两式相减得 6(m－n)＝(m－n)(m＋n)， 所以 m＋n＝6，但这与“m>n>3”矛盾， 故满足条件的实数 m，n 不存在．. ……………………………12 分