青岛版六年级数学上册爬坡题

青六制 6 年级数学上册-爬坡题 第一单元 小手艺展示——分数乘法 【例 1】看图写算式。 思路分析：本题考查的知识点是利用“数形结合”思想来理解分数乘分数的意义 和计算方法。解答时，先根据左图得出阴影部分表示单位“1”的 3 1 ，右图表示 求 3 1 的 4 3 是多少，它相当于把单位“1”平均分成了（3×4=12）份，取了其中的 3 份，也就是相当于单位“1”的 4 1 。 解答： 3 1 × 4 3 ＝ 12 9 3 1 的 4 3 是多少 4 1 【例 2】在学校举行的泥塑大赛中，六年级一班共制作泥塑作品 36 件，其中男 生做了总数的。六年级一班男生做了多少件泥塑作品？ 思路分析：由题意我们可以画出线段图，来帮助我们解决问题，如下： 男生做了总数的，是把“六年级一班一共制作的泥塑作品 36 件”看做单位“1”， 平均分成 9 份，男生做的占其中的 5 份，求一班男生做了多少件，就是求 36 的 是多少，用乘法计算，列式为×36。 解答：×36=20（件） 答：六年级一班男生做了 20 件泥塑作品。 【例 3】甲乙两地相距 480 千米，A、B 两列火车同时从两地相对开出,经过 3 时,A 车行了全程的,B 车行了全程的。哪列火车离终点近一些? 思路分析：由题意可知，甲乙两地相距 480 千米，有 AB 两列火车从两地相对开 出，经过 3 小时，两列火车都行驶了一段距离，问题是让我们判断哪列火车离终 点更近一些。我们可以现求出这两列火车分别离终点还有多远，再进行比较。 要点提示： 线段图直观形象易懂，画 线段图帮助我们弄清各个 量之间的关系。 （ ）×（ ）＝（ ） 这个算式表示求（ ）是多少， 结果是（ ）。 要点提示 数形结合思想侧重的是数与 形的和谐对应。 A 车距离终点：480-480×=180（千米） B 车距离终点：480-480×=192（千米） 180＜192 所以 A 车离终点近一些。 解答：A 车距离终点：480-480×=180（千米） B 车距离终点：480-480×=192（千米） 180＜192 所以 A 车离终点近一些。 【例 4】看图列式计算。 （1） （2） 思路分析：（1）看图可知，一台彩电原件 2400 元， 把原价分成 6 份，现价占其中的 5 份，要求现价是 多少元，是把原价当作单位“1”，用乘法计算，列 式为 2400×=2000（元）。 （2）看图可知，鸡有 480 只，把鸡分成 6 份，鸭占其中的 5 份，鹅占其中的 2 份，要求鹅有多少只，是把鸡的只数当作单位“1”，用乘法计算，列式为 480× =160（只）。 解答：（1）2400×=2000（元） （2）480×=160（只） 【例 5】有甲乙两箱苹果，甲箱里有苹果 25 千克，拿出它的后，这时两箱苹果 的质量相等。乙箱原有苹果多少千克？ 思路分析：由题意可知，甲箱里原有 25 千克苹果，后来拿出了，也就是拿出了 25×=5（千克）苹果，这时甲乙两箱苹果就一样多了，说明甲箱苹果比乙箱苹果 多的部分刚好和从甲箱中拿出的部分是一样多的，即甲箱苹果比乙箱苹果多 5 千克。要求乙箱原有多少千克的苹果，就是用甲箱的苹果质量减去多的那部分即 可，列式为 25-5=20（千克）。 解答：25-25×=20（千克） 答：乙箱原有苹果 20 千克。 要点提示： 明确拿出的部分就是甲比 乙多的部分。 要点提示： 也可以比较AB两列火车分 别行驶的距离，行驶距离 越远的离终点更近一些。 要点提示： 看懂图意和找准单位“1” 是解决此类问题的关键。 【例 6】老妇卖鸡蛋，有趣又大方，见人卖一半，还送半盒蛋，见了 4 个人，卖 光箱中蛋，请问箱中蛋几盒？ 思路分析：本题考查的知识点是用“逆推法”来解答分数乘法问题。解答时，先 从遇到最后一个人，卖了一半，送了半盒，刚好卖完，分析得出，最后一个人得 到的是： 2 1 ×2=1（盒）蛋；遇到第三个人，卖了一半，送了半盒，这时有：（1+ 2 1 ） ×2=3（盒）；遇到第二个人，卖了一半，送了半盒，这时有：（3+ 2 1 ）×2=7（盒）； 遇到第一个人，卖了一半，送了半盒，一共有： （7+ 2 1 ）×2=15（盒）。 解答： 2 1 ×2=1（盒） （1+ 2 1 ）×2=3（盒） （3+ 2 1 ）×2=7（盒） （7+ 2 1 ）×2=15（盒） 答：箱中有鸡蛋 15 盒。 【例 7】把一根绳子对折三次后长米,这根绳子一共有多长? 思路分析：我们先折一折。如下图所示，图一表示 对折一次后一根绳子变成了两段，图二表示再对折 一次（对折两次）后变成了四段，图三表示再对折 一次（对折三次）后变成了八段。 题中要求这根绳子一共有多长，就是求对折三次后的八段共有多长，由题干已知 对折三次后每段长米，所以将这八段绳子的长度加起来就是这根绳子的总长度， 用加法或乘法计算，列乘法算式为×8=（米）。 解答：×8=（米） 答：这根绳子一共长米。 【例 8】六年级一班有 48 人，在第一单元测评中，成绩优秀的学生人数占全班 人数的，不及格人数是成绩优秀学生人数的。这次考试中及格以上的有多少人？ 思路分析：由题意可知，六年级一班有 48 人，在第一单元测评中，既有成绩优 秀的学生，也有成绩及格和不及格的学生，要求在此次考试中几个以上的人数， 要点提示： 可先动手实际操作一下， 看看对折三次后是几段。 要点提示 逆推法解题也就是由结果出 发，逐步还原至最初。 就是用全班总人数减去不及格人数，但是题目中并未直接给出不及格的人数，所 以我们要先求出不及格的人数。我们可以通过成绩优秀的学人数求出不及格的人 数。 成绩优秀的学生人数：48×=28（人） 成绩不及格的学生人数：28×=4（人） 用全班总人数减去不及格人数即可求出及格以上的学生人数。 解答：成绩优秀的学生人数：48×=28（人） 成绩不及格的学生人数：28×=4（人） 成绩及格以上人数：48-4=44（人） 答：这次考试中及格以上的有 44 人。 【例 9】一位老人养了 17 只羊，临终前立下遗嘱：大儿子分 2 1 ，二儿子分 3 1 ， 三儿子分 9 1 ，并且分羊时不许宰杀。老人临终后，三个儿子犯了愁，这怎么分呢？ 亲爱的同学，你能帮帮他们吗？ 思路分析：本题考查的知识点是通过“借数法”来解答分数乘法简单的实际问题。 解答时，我们会发现已知信息中，单位“1”的 2 1 、 3 1 和 9 1 都不是整数只，但 2 1 + 3 1 + 9 1 = 18 17 ，所以先借 1 只羊，这样变成 18 只， 通过计算 18 的 2 1 、 3 1 和 9 1 来求解。 解答：先借一只羊 17+1=18（只） 18× 2 1 =9（只） 18× 3 1 =6（只） 18× 9 1 =2（只） 9+6+2=17（只） 答：老大分 9 只，老二分 6 只，老三分 2 只。 【例 10】计算+++…+。 思路分析：这是一道考查分数的乘法和加法题，初看此题很多人会拿起笔就直接 一个一个计算，然后再加起来，这样做不但繁琐，而且容易出错，那到底有没有 更简便的方法呢？答案是肯定的。 先看第一个分数：=×==- 再看第二个分数：=×==- 再看第三个分数：=×==- …… 依此类推，我们发现原来的算式可以转化成减法算式，如下： 要点提示： 转化法是常用的数学方法 之一。 要点提示： 找准单位“1”是解决此类 问题的关键。 要点提示 借数法是常用的解决问题的 方法。 +++…+=-+-+-+…+-=-= 解答：+++…+ =-+-+-+…+- =- = 【例 11】2017 减去它的 2 1 ，再减去余下的 3 1 、又减去余下的 4 1 、以后每次都减 去余下的 5 1 、 6 1 ……依此类推，一直减到最后余下的 2017 1 ，那么最后得多少？ 思路分析：本题考查的知识点是用类推法解答“连续余问题”，解答时，先从 2017 减去它的 2 1 开始分析，还剩下 2017×（1- 2 1 ），再减去余下的 3 1 ，还剩下余下的 （1- 3 1 ），即 2017×（1- 2 1 ）×（1- 3 1 ），依次类推，一直减到最后余下的 2017 1 ， 最后剩下的是 2017×（1- 2 1 ）×（1- 3 1 ）×（1- 4 1 ）×……×（1- 2017 1 ），然 后找规律计算出结果即可。 解答：2017×（1- 2 1 ）×（1- 3 1 ）×（1- 4 1 ）×……×（1- 2017 1 ） =2017× 2 1 × 3 2 × 4 3 ×……× 2017 2016 =2017× 2017 1 =1 【例 12】一个长方体的水箱，从里面量长是米，宽是米，高是米，这个长方体 水箱的容积是多少？ 思路分析：由题意可知，这个水箱的形状是一个长方体，而且给出了从里面量得 的长、宽、高的具体数值。要求这个水箱的容积， 可以根据长方体的体积公式解答，列式为。计算时， 能约的要先约分，使计算更加简便。 解答：=（立方米） 答：这个长方体水箱的容积是立方米。 【例 13】“双十一”购物节活动中，两家商铺都在搞促销活动，洗衣液原价每瓶 30 元，甲店买五送一，乙店按原价的 5 4 出售，李阿姨要买 12 瓶洗衣液，到哪家 商店购买更合算？ 要点提示： 长方体的容积=长×宽× 高。 思路分析：要想得出到哪家商店购买更合算，就要分别求出在两个商店购买 12 瓶洗衣液所花的钱数，甲店买五送一，也就是用原来 5 瓶的钱，现在可以得到 6 瓶，也就是每 6 瓶中有 5 瓶是买的，1 瓶是送的。要看 12 瓶中有几个 6 瓶，列 式为 12÷6=2 个，买 12 瓶花的钱数就是 2 个 5 瓶的钱数，也就是 10 瓶的钱数； 乙店按原价的 5 4 出售，只要计算出 12 瓶洗衣液原价的 5 4 是多少即可，然后进行 对比即可得出答案。 解答：甲店：12÷6=2（个） 5×2×30=300（元） 乙店：12×30× 5 4 =288（元） 288＜300 答：到乙店购买更合算。 【例 14】有两堆同样多的煤，第 1 堆运走吨，第 2 堆运走，两堆煤剩下的部分 同样重吗？为什么？ 思路分析：由于两堆煤的质量不确定，我们可以先 假设这两堆煤都是 1 吨、超过 1 吨、低于 1 吨三种 情况，计算出第二堆运走的质量，再与第一堆比较。 解答：无法确定那堆稻谷剩下的质量多。 【例 15】a,b 是不为 0 的自然数,已知 a×＜a,a×＞a,求 b 的值。 思路分析：由“一个不为 0 的数乘小于 1 的数，得数小于它本身”，可知“a×＜ 要点提示： 本题也可以先求出甲店买 五送一后每瓶洗衣液的单 价，再根据数量求出总价。 要点提示： 明确积与因数的大小关系 是解决本题的关键。 要点提示： 假设法和列举法都是解决 数学问题的常用方法。 a”中的小于 1,所以 b＜8。 由“一个不为 0 的数乘大于 1 的数,得数大于它本身”，可知“a×＞a”中的 大于 1,所以 b＞6。 因为 b 是不为 0 的自然数,且 6＜b＜8,所以 b=7。 解答：b=7 【例 16】已知 a、b 和 c 都是不为 0 的整数,如果×a=×b=×c,那么 a、b 和 c, 哪个数最大?哪个数最小? 思路分析：题中要比较 a、b、c 谁最大谁最小，我们有两种方法： 方法一：假设法。 假设×a=×b=×c=1，那么 a=，b=，c=，接下来 直接利用异分母分数比较大小的方法进行比较，可知 c 最大，a 最小。 方法二：直接比较法（乘法算式中因数与因数之间的关系）。 已知×a=×b=×c，那么我们可以先比较、、这三个因数的大小，可知＞，然 后根据乘法算式中因数之间的关系（积不变，一个因数增加或缩小，另一个因数 会随之缩小或增大），可知 a＜b＜c，即 c 最大，a 最小。 解答：c 最大，a 最小。 【例 17】对错我来判。（对的打“∨”，错的打上“×”） （1）因为 3 1 + 3 2 =1，所以 3 1 的倒数是 3 2 。（ ） （2）一个数的倒数一定比这个数小。（ ） （3） 4 3 是倒数， 3 4 也是倒数。（ ） 思路分析：本题考查的知识点是倒数的意义。解答时，要明确的是乘积是 1 的两 个数叫做互为倒数，也就是说倒数不是单独存在的，是指两个数的积是 1 时，我 们说其中的一个数是另一个数的倒数。 （1）因为 3 1 + 3 2 =1，它们的积 3 1 × 3 2 = 9 2 ≠1，所以 3 1 和 3 2 不是互为倒数。 （2）一个非 0 自然数的倒数比这个数小，如 2 的倒数是 2 1 ，但是一个数的倒数 不一定比这个数小，如 3 1 的倒数是 3,3 就比 3 1 大。 要点提示： 假设法是解决数学问题的 常用方法之一。 要点提示 单独的一个数不能说是倒数。 （3）互为倒数的两个数的积是 1，也就是说乘积 是 1 的两个数互为倒数，单独的一个数不能说倒 数，所以 4 3 是倒数， 3 4 也是倒数都是错误的。 解答：（1）× （2）× （3）× 【例 18】一个自然数与它的倒数的差是 21 22 21 ，这个自然数是多少？ 思路分析：本题考查的知识点是运用转化法解答倒数差问题。解答时，先把 21 22 21 转化为 21+ 22 21 ，它等于 22- 22 1 的差，22 和 22 1 互为倒数，21 22 21 正好是 22 与 22 1 的差，所以得出这个数是 22。 解答：22 第二单元 摸球游戏——可能性 【例 1】下面是六（1）班同学统计的校门口 5 分钟内车流量的情况。 请你判断下面同学的对话对不对。（对的画“√”，错的画“×”） （1）小强说：“下 1 辆车一定是小轿车。” （ ） （2）小东说：“下 1 辆车可能是面包车。” （ ） （3）小兰说：“下 1 辆车偶尔是货车。” （ ） （4）小明说：“下 1 辆车是摩托车的可能性最大。” （ ） （5）小华说：“下 1 辆车是货车的可能性最小。” （ ） 思路分析：此题考查的是随机事件发生的可能性大小。我们来一一分析。 （1）小强说：“下 1 辆车一定是小轿车。”这是不对的，因为还有可能是公交车、 摩托车、火车、面包车。 （2）小东说：“下 1 辆车可能是面包车。”这是正确的，因为统计表说明 5 分钟 内确实有面包车经过。 （3）小兰说：“下 1 辆车偶尔是货车。”这是对的，因为从统计表这我们可以看 出，5 分钟内只有 1 辆货车经过，所以下 1 辆是货车的可能性比较小。 （4）小明说：“下 1 辆车是摩托车的可能性最大。” 这是不对的，因为从统计表这我们可以看出，5 分 钟内经过的汽车中小轿车是最多的，所以下 1 辆是 小轿车的可能性最大。 （5）小华说：“下 1 辆车是货车的可能性最小。”这是对的，因为从统计表这我 们可以看出，5 分钟内经过的汽车中货车是最少的，所以下 1 辆是货车的可能性 最小。 解答：（1）× （2）√ （3）√ （4）× （5）√ 【例 2】按要求给下面的圆盘涂上颜色？ 思路分析：观察上面的圆盘可以看到，圆盘都平均分成 8 份，每份是面积相等的 扇形。第一个圆盘要求指针一定落在红色区域，也就是说无论圆盘怎么转动，指 针总能落在红色区域，也就是圆盘应该全部涂成红色；第二个圆盘要求指针不可 能落在红色区域，也就是说无论圆盘怎么转动，指针总不能落在红色区域，那么 转盘上就不能涂红颜色，可以涂其他的颜色；第三 个圆盘要求指针经常落在红色区域，说明圆盘上的 红色区域的面积大于其他颜色的面积；第四个圆盘 要求指针偶尔落在红色区域，说明圆盘上的红色区 域的面积小于其他颜色的面积。 解答： 要点提示： 在转盘游戏中，哪一区域占 圆盘的面积越大，指针停在 这一区域的可能性越大。 要点提示： 某一事件在单位时间内发生 的次数越多，说明这一事件 发生的可能性就较大。 第三单元 布艺兴趣小组——分数除法 【例 1】把一根米的木料锯成相等的若干段，一共锯了 3 次，每段长多少米？ 思路分析：由题意可知，要将一根木料锯成若干段，锯了 3 次，要求每段的长度。 已知木料的总长度，求每段长，根据每段长=总长度÷分成的段数，我们先要求出分 了多少段。我们可以实际操作一下，将木料锯一次，可 得到 2 段；将木料锯两次，可得到 3 段；将木料锯三次， 可得到 4 段。 解答：3+1=4（段） ÷4=（米） 答：每段长米。 【例 2】笑笑走 60 米用了 3 2 分钟，淘气走 80 米用了 5 4 分钟，他俩谁走的快？ 思路分析：要判断出他们两个谁走的快一些，必须先分别求出他们两人平均每分 钟所走的路程，也就是先分别求出他们两人的速度。根据“速度=路程÷时间”， 列除法算式为 60÷ 3 2 和 80÷ 5 4 ，求出速度后再进行比较。 解答：60÷ 3 2 =60× 2 3 =90（米） 80÷ 5 4 =80× 4 5 =100（米） 90＜100 答：淘气走的快一些。 【例 3】如果 a÷=b÷=c÷，并且 a、b、c 都不为 0，试比较 a、b、c 的大小， 说明理由。 思路分析：方法一 ：将除法转化为乘法 我们可以根据分数除法的法则，把上面的算式 要点提示： 实际操作是掌握数学知识 点的常用方法之一。 要点提示： 速度=路程÷时间 要点提示： 转化法是常用的数学方法 之一。 转化成乘法算式，即 2a= 4 3 b=1c，又因为 2＞1＞ 4 3 ，所以 b＞c＞a。 方法二：假设法 我们先假设 15 5 3 4 2 1  cba ，那么 a=1× 2 1 = 2 1 ，b=1× 3 4 = 3 4 ，c=1× 5 5 =1,因为 3 4 ＞1＞ 2 1 得出 b＞c＞a。 解答：b＞c＞a 理 由 ： 由 5 5 3 4 2 1  cba 可 得 2a= 4 3 b=1×c，因为 2＞1＞ 4 3 ，所以 b＞c＞ a。 【例 4】计算 2017÷2017 2018 2017 思路分析：本题考查的知识点是用转化法解答特殊数的分数除法。解答时，先观 察给出的算式，除数是一个带分数，它的整数部分和分数部分的分子都和被除数 相同，都是 2017，所以可以利用商不变的 规律被除数和除数都除以 2017，转化为比 较简单的分数计算。 解答：2017÷2017 2018 2017 =（2017÷2017）÷（2017 2018 2017 ÷2017） =1÷ 2018 2017 = 2017 2018 【例 5】把一根竹竿插入水中米,然后将竹竿倒转再插入水中至处,结果竹竿未湿 的一段长米。这根竹竿长多少米? 思路分析：可以画线段图帮助分析题意,由题意可 知，是把整根竹竿的长度看作单位“1”,题中的三 个量中米、米都是具体的数量,只有是分率。画线段 图如右图,从图中可以看出已知数量米对应的分率 也是,已知分量和分率，要求单位“1”，用除法计算。 解答：+=(米) 1-= ÷=(米) 答:这根竹竿长米。 要点提示： 假设法是解决问题时经常用到的一 种方法。所谓“假设法”就是依据 题目中的已知条件或结论作出某种 假设,然后按照已知条件进行推算, 从而得到正确答案。 要点提示： 画线段图是解决数学问题 的常用方法之一。 要点提示 化繁为简是转化，转化是常用的 一种数学方法。 【例 6】甲的相当于乙的,乙的相当于丙的,甲是 25,求丙。 思路分析：根据条件可以找出题目中的数量关系,如下: 把已知条件代入数量关系中,问题即可解决。 解答：25×÷=30 30×÷=100 答:丙是 100。 【例 7】植树节到了，六年级的两个班参加义务植树活动，六年级一班植树棵数 的是二班植树棵数的，一班植树 80 棵，二班植树多少棵？ 思路分析：由题意可知，六年级一班植树棵数的是二班植树棵数的，也就是说六 年级一班植树的棵数的等于二班植树棵数的，数量关系是六年级一班植树棵数× =六年级二班植树棵数×。我们可以设二班植树 x 棵，根据上面的相等关系列方 程求解。 解答：解：设二班植树 x 棵。 x=80× x=30 x=30÷ x=105 答：二班植树 105 棵。 【例 8】体育课上，同学们站成一列，梁玲数了数，排在她前面的人数是这列总 人数的 3 2 ，排在她后面的人数是这列总人数的 4 1 ，从前面数，梁玲排第几？ 思路分析：本题考查的知识点是用“方程的方法”来解答分数除法问题。解答时， 先设给出的分数的单位“1”为 x，也就是这列队伍有 x 人。然后根据“这列队 伍的人数-梁玲前面的人数-梁玲后面的人数=1”列出方程 x- 3 2 x- 4 1 x=1，接着求 出方程的解是 x=12,最后再根据梁玲前面的人数是这列队伍总人数的 3 2 ，求出梁 玲排第几，列式为 12× 3 2 +1=9。 解答：解：设这列队伍一共有 x 人。 要点提示： 遇到较复杂的问题时，可 以先把数量关系列出来， 在把已知数对应进去，剩 下的就是要求的。 要点提示： 找准题目中的等量关系是 解决问题的关键。 要点提示 这列队伍的人数-梁玲前面的人 数-梁玲后面的人数=1 x- 3 2 x- 4 1 x=1 (1- 3 2 - 4 1 )x=1 12 1 x=1 x=12 12× 3 2 +1=9 答：梁玲排第 9。 【例 9】六一班男生的一半和女生的 4 1 共 16 人，女生的一半和男生的 4 1 共 14 人。 这个班共有学生多少人？ 思路分析：本题考查的知识点是合并单位“1”。解答时，要明确的是男生的一半 和女生的 4 1 +女生的一半和男生的 4 1 =男生的 4 3 +女生的 4 3 =全班的 4 3 。所以设全班 有 x 人，可以得方程 2 1 x+ 4 1 x=16+14， 解这个方程得 x=40,从而求出全班有 40 人。 解答：解：设全班有 x 人。 2 1 x+ 4 1 x=16+14 4 3 x=30 x=40 答：全班有 40 人。 【例 10】一桶油,第一次用去,第二次用去的比第一次多 2 千克,桶里还剩下 3 千 克。这桶油原来有多少千克? 思路分析：由题意可知，这桶油的总质量是单位“1”。“第二次用去的比第一次 多 2 千克”，即第二次用去整桶油的还多 2 千克，这时这桶油总共用去+=还多 2 千克，且桶里还剩下 3 千克，说明 2+3=5（千克）对 应单位“1”的分率是 1-=。已知分量和分率，要求 单位“1”，用除法计算。 解答：（2+3）÷（1- ）=25（千克） 答：这桶油原来有 25 千克。 要点提示： 找准已知分量及其对应单 位“1”的分率是解决问题 的关键。 要点提示 男生的一半和女生的 4 1 +女生的一半和男生的 4 1 =男生的 4 3 +女生的 4 3 =全班的 4 3 第四单元 人体的奥秘——比 【例 1】甲、乙、丙三位同学分别调制了一杯蜂蜜水。甲调制时用了 40 毫升的 蜂蜜，200 毫升水；乙调制时用了 5 小杯蜂蜜，20 小杯水；丙调制时用的水是蜂 蜜的 7 倍。（ ）调制的蜂蜜水最甜。 A.甲 B.乙 C.丙 D.无法判断 思路分析：本题考查的知识点是利用比的意义解决实际问题。甲调制的蜂蜜水中， 蜂 蜜与 水 的 比 是 40:200=1:5= 5 1 ； 乙 调 制 的 蜂 蜜 水 中 ， 蜂 蜜 与 水 的 比 是 5:20=1:4= 4 1 ；丙调制的蜂蜜水中，蜂蜜与水的比是 1:7= 7 1 。 4 1 ＞ 5 1 ＞ 7 1 ，所以， 乙调制的蜂蜜水最甜。 解答：B 【例 2】骆驼体重 250 千克，能搬运质量为 300 千克的货物；蚂蚁体重 0.05 克， 能搬运质量为 2 克的虫子．写出它们各自搬运的质量与体重的比，并求出比值．相 对于自身体重，你觉得谁的力气大？为什么？ 思路分析：本题考查的知识点是比和求比值的方法，解答时需要明确的是：比值 越大，力气就越大。依据比的意义，用它们各自搬运的质量比体重；再用比的前 项除以后项，就可求比值，最后根据比较比值的大小，从而得出结论。 解答：300：250=6：5=1.2 2：0.05=40：1=40 40＞1.2 答：相对于自身体重，蚂蚁的力气大，因为它每千克的体重承受的重量大。 【例 3】如果 a:b=3:4, b:c=5:6,那么 a:c=（ ）:( )。 思路分析：题目要求我们通过 a 与 b 的比以及 b 与 c 的比，求 a 与 c 的比，我们 可以利用中间量 b 来进行传递。b 在 a:b 中是 4 份，而在 b:c 中是 5 份，要想通 过它进行传递，必须使它在两个比中所占的份数相等，我们根据比的基本性质， 分别把 a:b=3:4 化成 a:b=15:20，把 b:c=5:6 化成 b:c=20:24，这样 b 在量比中的份数相同，通过它传 递即可。 要点提示： 找到中间量，让中间量在 两个比中占的份数相同。 解答：a:c=15:24 【例 4】聪聪和明明两人喝糖水，聪聪把 10 克糖放到 90 克水中；明明把 15 克 糖放到 120 克水中。写出聪聪和明明两人的杯中糖和水的比分别是多少？谁的杯 中的糖水甜一些？ 思路分析：要比较他们两人的糖水，谁的更甜，就要先分别求出这两杯糖水中糖 和水的比，这个比越大，就约甜。 聪聪的糖水中糖和水的比：10:90=1:9= 明明的糖水中糖和水的比：15:120=1:8= 所以明明的糖水更甜。 解答：聪聪的糖水中糖和水的比：10:90=1:9= 明明的糖水中糖和水的比：15:120=1:8= ＜ 所以明明的糖水更甜。 【例 5】爸爸今年 30 岁,今年小强与爸爸的年龄比是 1∶6,再过几年他们父子的 年龄比是 9∶4? 思路分析：由题意可知，爸爸今年 30 岁,今年小强与爸爸的年龄比是 1∶6,也就 是把爸爸的年龄平均分成了 6 份,小强的年龄和其中的一份同样多,因此小强今 年 30÷6=5(岁)。题目要求再过几年爸爸和小强的年龄比是 9∶4,这里有一点需 要格外注意，虽然爸爸和小强的年龄及年龄比发生了变化,但是他们的年龄差是 不变的,总是 30-5=25(岁),因此用年龄差 25 岁除以年龄比的份数差 9-4=5,即 25÷5=5(年),所以当小强 5×4=20(岁)时,即 20-5=15(年)后父子的年龄比是 9∶4。 解答：30÷6=5(岁) 30-5=25(岁) 9-4=5 25÷5=5(年) 5×4=20(岁) 20-5=15(年) 答:再过 15 年他们父子的年龄比是 9∶4。 【例 6】丫丫读一本书，已读的和未读的页数之比是 5:4，如果再读 18 页，这时 已读的和未读的页数比是 2:1,这本书有多少页？ 思路分析：本题考查的知识点是利用转化法来解答比的问题。解答时，把整本书 要点提示： 糖水中，糖与水的比越大， 这杯糖水就越甜。 要点提示： 小强和爸爸的年龄差不会 随着年龄的变化而变化， 是一个固定的数。 的页数看成单位“1”，先根据给出的两次已读的页数和未读的页数比转化为分数： 第一次已读的页数占全书的 54 5  ，第二次已读的页数占全书的 12 2  ，这充分说 明，两次读的分率差是 12 2  - 54 5  ，页数差是 18，这样根据“数量差÷该数量 差对应的分率差=单位“1””求出这本书的页数，列式为 18÷（ 12 2  - 54 5  ）， 计算结果是 18÷（ 12 2  - 54 5  ）=18÷ 9 1 =162(页)。 解答：18÷（ 12 2  - 54 5  ）=18÷ 9 1 =162(页) 答：这本书有 162 页。 【例 7】玩具厂一、二、三车间人数的比为 15:21:27，三车间比二车间多 36 人。 一车间有多少人？ 思路分析：由题意可知，已知一、二、三车间人数的比为 15:21:27，即 5:7:9， 也就是说，如果把三车间的人数分成 9 份，那么二车间的人数是其中的 7 份，即 三车间比二车间多两份；又已知三车间比二车间多 36 人，说明多的这两份对应着 36 人，可求出每份 代表 36÷2=18（人）。根据求出的每份代表的人数 ×一车间的份数即可求出一车间的人数，用乘法计算。 解答：36÷（27-21）=6（人） 15×6=90（人） 答：一车间有 90 人。 【例 8】四位乘客合租一辆汽车回家过春节，由于下车地点不同，每人承担的车 费各不同，乘客 A 付的车费与其他三位的比是 1：2，乘客 B 付的车费与其他三 位的比是 1：3，乘客 C 付的车费与其他三位的比是 1：4，乘客 D 付的车费是 26 元，这四位乘客一共付车费多少元？ 思路分析：本题考查的知识点是利用转化法来解答按比例分配问题。解答此题的 关键是题目中出现了 3 个不同的单位“1”，要抓住不变量，统一单位“1”。 由 “乘客 A 付的车费与其他三位的比是 1：2”可知乘客 A 付的车费占总数的 ， 要点提示： 分量差÷分率差=总数量。 要点提示： 找准单位“1”是关键。 由“乘客 B 付的车费与其他三位的比是 1：3”可知乘客 B 付的车费占总数的 ， 由“乘客 C 付的车费与其他三位的比是 1：4”可知乘客 C 付的车费占总数的 ， 可求出可知乘客 D 付的车费占总数的几分之几，再由“乘客 D 付的车费是 26 元”， 根据“部分数量÷部分数量对应的分率=单位“1””列式计算得出总费用为 26÷ （1- 21 1  - 31 1  - 41 1  ）=26÷ 60 13 =120（元）。 解答：26÷（1- 21 1  - 31 1  - 41 1  ）=26÷ 60 13 =120（元）。 答：四位乘客一共付费 120 元。 第五单元 完美的图形——圆 【例 1】在下面的正方形中画一个最大的圆。 思路分析：通过之前的学习，我们知道，对于一个圆来说，其圆心确定圆的位置， 半径决定圆的大小。要在这个正方形中画一个最大的圆，那这个圆的圆心就应该 是正方形的中心（两条对角线的交点），圆的直径应该等于这个正方形的边长。 解答：先画出正方形的两条对角线，然后以对角线的交点为圆心，正方形边长的 一半为半径画圆，所得的圆就是最大的圆。如下图： 【例 2】如右图，已知长方形的长是 36 厘米，则圆的半径和 直径分别是多少厘米？ 要点提示： 正方形的中心是正方形两 条对角线的交点,也是最大 圆的圆心。 思路分析：从图中可以看出，长方形中间的完整的圆和两边的两个半圆的直径是 相等的，都等于长方形的宽。另外，两边的半圆的半径加上中间大圆的直径刚好 等于长方形的长，所以长方形的长正好等于它们的半径的 4 倍，即用长方形的长 除以 4 就可以求出它们的半径，再根据半径与直 径的关系求出直径。 解答：24÷4=6（厘米） 6×2=12（厘米） 答：圆的半径和直径分别是 6 厘米、12 厘米。 【例 3】用两种方法把四个直径是 16 厘米的圆柱形木料捆扎在一起,截面如下图 所示。求这两种方法分别需要多少厘米的绳子。 图(1) 图(2) 思路分析：图(1)：在一个圆周上环绕的绳子长度是这个圆的周长的,四个角上共 四个圆周，正好是一个圆的周长,即 3.14×16=50.24(厘米)。四边两圆之间水平 的线段,每条线段的长度正好等于两个圆的半径的和,也就是直径的长度,有 4 条 线段,即水平线段的长度为 4×16=64(厘米)。 图(2)：在一个圆周上环绕的绳子长度是这个圆的周长的,两边的两个圆周加 起来正好是一个圆的周长,即 3.14×16=50.24(厘米)。上面或下面相邻两个圆之 间水平的线段,每条线段正好等于三个圆的直径的和,两条线段就是六个圆的直 径的和,即 6×16=96(厘米)。 解答：3.14×16+4×16=50.24+64=114.24(厘米) 3.14×16+6×16=50.24+96=146.24(厘米) 答:图(1)方法用去了 114.24 厘米的绳子,图(2)方法用去了146.24厘米的 绳子。 【例 4】求下面阴影部分的面积。（单位：厘米） （1） （2） 要点提示： 长方形的长正好等于圆的 半径的 4 倍。 思路分析：（1）本题考查的知识点是用“割补平移法”将不规则图形转化为规则 图形求出阴影部分的面积。解答时，只要将左边阴影平移到右边空白部分或者将 右边阴影平移到左边空白部分，阴影就转化为一个边长是 5 厘米的正方形。这样 求出正方形的面积就是阴影部分的面积。 （2）本题考查的知识点是外圆内方的阴影部分的面积。解答时，要明确的是阴 影部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，正方形的面积等于以圆的直径为 底边，圆的半径为高的两个等大的三角形的面积之和，据此解答即可。 解答：（1）5×5=25（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 25 平方厘米。 （2）3.14×（10÷2） 2 -10×（10÷2）÷2×2 =3.14×25-10×5=78.5-50 =28.5（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 28.5 平方厘米。 【例 5】下面图形中的阴影部分是扇形吗？是的在括号里画“√”，不是的画“×”。 思路分析：由扇形的定义可知，由圆心角的两条边和圆心所对的弧围成的图形是 扇形。第一个图形就是由圆心角和圆心角所对的弧围成的图形，因此第一个是扇 形；第二个和第三个都不是圆心角，所以第二个和第三个都不是扇形。 解答： 【例 6】一个圆形水池的半径是 5 米，为迎接国庆，现需在水池的周围摆放盆花， 每隔 3.14 米放一盆，求一共可以放多少盆花？ 思路分析：要求圆形水池周围一共可以摆放多少盆鲜花，就要先求出这个圆形水 池的周长，然后再根据周长和盆花摆放的间隔距离即可求出所需。圆形水池的半 径是 5 米，我们可以利用公式 C=2πr 求出这个水池的周长。 解答：3.14×5×2=31.4（米） 31.4÷3.14=10（盆） 答：一共可以放 10 盆花。 【例 7】两只蜜蜂分别沿着涂色部分的边缘爬 1 次，哪只蜜蜂爬过的路线长？（两 个正方形的边长相等） 思路分析：要想比较这两只蜜蜂谁爬过的路线长，就是比较左右两个图中涂色部 分的周长。 我们先观察左图，阴影部分的周长是外部正方形 的周长与内部以正方形边长的一半为半径的圆 周长之和；再观察右图，阴影部分的周长是外部 正方形的周长与四个以正方形边长的一半为半径的小扇形的弧长之和，而这四个 小扇形的周长加起来刚好是以正方形边长的一半为半径的圆周长。因此，这两只 蜜蜂爬过的路线一样长。 解答：这两只蜜蜂爬过的路线一样长。 要点提示： 抓住扇形的本质特征，严 格按照扇形的定义判断。 要点提示： 已知半径求圆的周长，可以直接 利用公式 C=2πr 计算。 要点提示： 四个小扇形的弧长之和正好是 一个圆的周长。 【例 8】一只挂钟的分针长 20 厘米，经过 30 分钟后，分针扫过的面积是多少平 方厘米？ 思路分析：要解答这道题之前，我们要先知道钟面上有三根针，其中分针每走一 格，就是过了 1 分钟。题中的分针走了 30 分钟，我们假如它是从 1 走到了 6， 也就是走了 180°，它扫过的面积恰好是以分针 长度为半径的一个半圆，那我们就可以通过圆的 面积公式求出它扫过的面积。 解答：3.14×202 ÷2=628（平米厘米） 答：分针扫过的面积是 628 平方厘米。 【例 9】如图，一个半径为 1 厘米的小圆盘沿着一个半径为 4 厘 米的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中 心转动 90 度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？ 思路分析：本题考查的知识点是 4 1 圆环的面积，需要注意是外圆 半径是 4+1×2=6 厘米，然后根据圆环的面积公式求得面积后乘 360 90 ，最后还要 加上一个小圆的面积。 解答：4+1×2=6（厘米） 3.14×（6 2 -4 2 ）× 360 90 +3.14×1 2 =3.14×20× 4 1 +3.14 =15.7+3.14=18.84（平方厘米） 答：小圆盘运动过程中扫过的面积是 18.84 平方厘米。 【例 10】一个花坛的形状如图所示，中间正方形的边长为 10 米，四周是四个半圆形，这个花坛的占地面积是多少平方米？ 思路分析：观察上图可知，花坛的中间是一个正方形，正方 形的四周分别是 4 个半圆，因此这个花坛的面积就等于一个 正方形的面积与四个半圆的面积之和。 我们知道，正方形的面积=边长×边长，已知正方形的边长是 10 米，可以直 接利用正方形的面积公式求出正方形的面积。求半圆的面积就要先求出半圆的半 径，观察图形可知，圆的直径等于正方形的边长， 要点提示： 将实际问题与学过的知识联系 起来是常用的数学方法之一。 要点提示： 解决求组合图形的面积时，一 般要将它们分割成几个简单的 图形，分别求出简单图形的面 积，再求出它们的和或差。 因此半圆的半径是正方形边长的一半，即 5 米，求出半径就可以求半圆的面积了。 最后将各部分面积加起来即可。 解答：半圆的半径：10÷2=5（米） 一个半圆的面积： 3.14×52÷2 =3.14×25÷2 =39.25（平方米） 四个半圆的面积：39.25×4=157（平方米） 正方形的面积：10×10=100（平方米） 花坛的面积：157+100=257（平方米） 答：这个花坛的占地面积是 257 平方米。 【例 11】如下图所示，等边三角形的空白部分是三个相同的扇形，三角形的边 长是 20 厘米，求阴影部分的周长。 思路分析：我们知道，等边三角形的每一个内角都是 60°。另外，由题意可知， 三个小扇形的半径都是三角形边长的一半，即 20÷2=10（厘米）。因此，将三个 小扇形合在一起正好是一个半径为 10 厘米的半圆， 所以要求上图中阴影部分的周长，就是求半径为 10 厘米的圆的周长的一半。 解答：3.14×10×2÷2=31.4（厘米） 答：阴影部分的周长是 31.4 厘米。 【例 12】从一张三角形铁皮上剪下三个半径都是 3 厘米的扇形。这 3 个扇形的 面积和是多少平方厘米。 要点提示： 三个扇形和在一起正好是 一个半圆。 思路分析：本题考查的知识点是利用转化法解答扇形的面积，解答时，根据这 3 个扇形的面积和是半径为 3 厘米的半圆的面积利用圆的面积公式解答。 解答：把这 3 个扇形拼在一起，能得到半径为 3 厘米的半圆。 3.14×3 2 ÷2=3.14×9÷2=14.13（平方厘米） 答：这 3 个扇形的面积和是 14.13 平方厘米。 【例 13】如图。一只小狗拴在等边三角形的墙角，墙边长 3 米。绳长 4 米，求 这只小狗最多能看护的面积。 思路分析：本题考查的知识点是利用与圆有关的组合图形面积计算来解决简单的 实际问题。解答此题的关键是弄清小狗的看护范围由哪些图形组成。 如下图，小狗最多能看护的面积 以 4 米为半径圆的 6 5 （绿色部分）+两个 以 1 米为半径圆的 3 2 （蓝色部分）。解答时，利用圆心角的度数得出每个扇形面 积相当于整个圆面积的几分之几，最后列式解答。 绿色部分是半径是 4 米的圆的面积的几分之 几：（360-60）÷360= 6 5 ；蓝色部分占半径是 1 米 的圆的面积的几分之几：（180-60）×2÷360= 3 2 。 解答：3.14×42× 6 5 +3.14×12× 3 2 =（平方米）。 答：这只小狗最多能看护的面积是 43.96 平方米。 【例 14】一个圆形水池的周长是 50.24 米，现在周围 要点提示 等边三角形的任意一个内角 都是 60 再加宽 2 米，这个水池的面积增加了多少平方米？ 思路分析：由题意可知，已知这个水池的形状是一个圆形，在它的周围再加宽 2 米，要求加宽部分的面积，也就是求圆环的面积（如右图）。通过前面的学习我 们知道，圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积的差，所以要解决这个问题必须 要先求出外圆和内圆的半径，然后再根据圆的面积公式求解。 解答：内圆的半径：50.24÷3.14÷2=8（米） 外圆的半径：8+2=10（米） 外圆的面积： 3.14×102 =3.14×100 =314（平方米） 内圆的面积： 3.14×82 =3.14×64 =200.96（平方米） 增加部分的面积：314-200.96=113.04（平方米） 答：这个水池的面积增加了 113.04 平方米。 第六单元 中国的世界遗产——分数四则混合运算 【例 1】把算式 4 3 3 2 3 2 5 4  添上括号，使它变成先算加法，再算乘法，最后算 除法，并计算出结果。 思路分析：观察上面的算式，其中包含两级运算，有分数除法、加法和乘法，再 没有括号的情况下，应先算除法和乘法，最后算加法。现在要把它变成先算加法， 就必须先把加法算式用括号括起来，再算乘法，由于乘法在除法的后面，要想先 算，就必须添上括号，这样就必须把加法算式用小括号括起来，再用中括号把乘 法算式括起来。 解答： ]4 3 3 2 3 2[5 4  ）（ = ]4 3 3 4[5 4  = 15 4  要点提示： 圆环的面积=外圆的面积 －内圆的面积。 要点提示： 理清楚先算什么再算什么， 最后算什么，然后添上括号 改变运算顺序。 = 5 4 【例 2】人的心脏跳动的次数随年龄的变化而变化。婴儿每分钟的心跳次数比青 少年少 5 1 ，婴儿每分心跳 60 次数，青少年的心跳次数平均是每分约是多少次？ 思路分析：由题意可知，婴儿每分心跳 60 次数，婴儿每分钟的心跳次数比青少 年少 5 1 ，即婴儿每分钟心跳次数比青少年每分钟心跳次数少的部分占青少年的 5 1 ，也就是婴儿每分钟心跳次数是青少年的（1- 5 1 ），因此我们可以得到下面的 数量关系：婴儿每分钟心跳次数＝青少年每分心跳次数×（1－ 5 1 ）。根据题意 我们还可以得到这样的数量关系：婴儿每分心跳次数＝青少年每分心跳次数—婴 儿每分心跳次数比青少年少的部分。我们可以设青 少年每分心跳次数为 x 次，根据上面的两个相等关 系之一列方程求解。 解答：解：设青少年每分心跳次数为 x 次。 方法一：（1－ 5 1 ）x=60 方法二：x- 5 1 x=60 5 4 x=60 5 4 x=60 x=60× 4 5 x=60× 4 5 x=75 x=75 答：青少年每分心跳 75 次。 【例 3】一件羽绒服,按成本价提高定价。后来因天气变暖,按定价降低出售。这 件羽绒服卖出后是赚还是赔? 思路分析：解题时,可以设成本价为 1,按照成本价 提高,是把成本价看作单位“1”的量,定价是 1×=。 按照定价降低,是把定价看作单位“1”的量,现价 是×=。现价比成本价少,所以赔了。 解答：1××= ＜1 所以这件羽绒服卖出后 是赔了。 【例 4】黔南小学为了更好地培养同学们对足球运动的兴趣，决定开展一次足球 夏令营活动，现需要购买 60 个足球。下面是三家体育用品商店的优惠方案： 要点提示： 解决此题的关键是找准单 位“1”和数量关系式。 要点提示： 解决这类题时,可以假设成本 价是 1,求出现价后和成本价 比较得出答案。价格先提高再 降低,单位“1”的量发生了转 换,注意找准单位“1”。 你认为去哪家商店购买合算？ 思路分析：要想得出到哪家商店购买更合算，就必须分别求出在各个商店购买 60 个足球所花的总钱数。 甲店买 10 送 2，也就是把这 60 个足球分成两部分，一部分是买的，另一部 分是送的，这两部分的比是 10:2=5:1，所以在甲店购买 60 个足球是的总钱数等 于（60× 6 5 =50）个足球的总钱数。 乙店按原价的 10 8 出售，即每个足球的单价相当于（25× 10 8 ）元。 在 丙 商 店 购 买 60 个 足 球 要 花 掉 60 × 25=1500 元，根据满 100 元返现金 25 元，可返回 现金 1500÷100×25=375（元），然后从 1500 元 中减去 375 元，就是在丙店购买 60 个足球的实 际总钱数。 把三家各自所需的实际总钱数进行对比即可得出答案。 解答：甲店：50×25=1250（元） 乙店：60×25× 10 8 =1200（元） 丙店：（60×25）-（1500÷100×25） =1500-375 =1125（元） 1250＞1200＞1125 答：去丙商店购买合算。 【例 5】搬运一个仓库的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小 时。现有同样的仓库 2 个，甲在 A 仓库，乙在 B 仓库搬运货物，丙开始搬运时， 帮助甲搬，中途又帮着乙搬运，最后同时搬运完 2 个仓库的货物，问丙帮甲搬运 了几小时？ 思路分析：本题考的知识点是“工程问题”。解答时，先不考虑丙是怎么帮甲和 要点提示： 分别算出去各家商店购买 60 个 足球实际需要的总钱数后进行 比较，选择钱数最少的一家。 乙的,因为 3 人搬运了两个仓库的货物，所以可以把工作总量看成单位“2”，也 就是说 3 人合作完成单位“2”，这样根据工作总量÷工效和=工作时间，求出工 作时间是 2÷（ 10 1 + 12 1 + 15 1 ）=2÷ 4 1 =8（小时），这样可以得出甲 8 小时完成的 工作总量是 10 1 ×8，其余的工作总量是丙完成是 1- 10 1 ×8= 5 1 ，所以丙帮甲搬运 的时间是 5 1 ÷ 15 1 =3（小时）。 解答：2÷（ 10 1 + 12 1 + 15 1 ）=2÷ 4 1 =8（小时） 1- 10 1 ×8= 5 1 5 1 ÷ 15 1 =3（小时） 答：丙帮甲搬运了 3 小时. 【例 6】一个蓄水池，有一个进水管和一个出水管，单开进水管 3 分钟能放满全 池，单开出水管 5 分钟能放完全池的水，两个水管同时开放，多长时间能放满全 池？ 思路分析：本题考查的知识点利用工效差来解答“工程问题。”解答时，先把进 水管和出水管同时打开灌满水池看成单位“1”,还知道单开进水管 3 分钟灌满全 池，则每分钟放满水池的 3 1 ，单开出水管，5 分钟放完全池的水，则每分钟放全 池水的 5 1 ，两个水管同时打开，则每分钟注入全池水的（ 3 1 - 5 1 ），所以灌满水池 需要 1÷（ 3 1 - 5 1 ）=1÷ 15 2 =7.5（分钟）。 解答：1÷（ 3 1 - 5 1 ）=1÷ 15 2 =7.5（分钟） 答：两个水管同时开放，7.5 分钟能放满全池。 【例 7】同学们参加野营活动．一个同学到负责后勤的教师那是去领碗。教师问 他领多少，他说领 55 个，教师又问：“多少人吃饭？”这个学生说：“一人一个 饭碗，两人一个菜碗，三个人一个汤碗。”请你帮忙算一算参加野营活动的共有 多少学生？ 思路分析：本题考查的知识点是用量率对应的方法解答“领碗问题”。解答时， 先根据题意，先求一人用多少个碗，即 1+ 2 1 + 3 1 = 6 11 （个）；再求共有多少人即 55÷ 6 11=30（人），列出综合算式是 55÷（1+ 2 1 + 3 1 ）=55÷ 6 11=30（人）。 解答：55÷（1+ 2 1 + 3 1 ）=55÷ 6 11=30（人） 答：参加野营活动的共有 30 学生。 【例 8】一根绳子，如果 3 折量一口井，余出 3 1 米；如果 4 折量又不足 4 1 米。求 绳长、井深各是多少米？ 思路分析：本题考查的知识点是利用量率对应的方法解答绳子长度和井的深度问 题。解答时，先明确的是 3 折量一口井，余出 3 1 米；如果 4 折量又不足 4 1 米，说 明绳子的 3 1 比它的 4 1 多（ 3 1 + 4 1 ）米。因此，根据量率对应的思想方法，可以求 出绳子的长度是（ 3 1 + 4 1 ）÷（ 3 1 - 4 1 ）=7（米），井的深度是 3 1 ×7- 3 1 =2（米）。 解答：绳子的长度：（ 3 1 + 4 1 ）÷（ 3 1 - 4 1 ）=7（米） 井的深度： 3 1 ×7- 3 1 =2（米） 答：绳子的长是 7 米，井的深度是 2 米。 【例 9】有红黄两种颜色的小球共 140 个，拿出红球的 4 1 ，再拿出 7 个黄球，剩 下的红球和黄球正好一样多，原来红球和黄球各有多少个？ 思路分析：本题考查的知识点是利用“方程的方法”解答较复杂的分数问题。解 答时，读懂题意，找到题中隐含的数量关系：红球和黄球的数量和是 140，如果 设红球有 x 个，则黄球有（140-x）个，这样根据拿出红球的 4 1 ，再拿出 7 个黄 球，剩下的红球和黄球正好一样多，可以列方程为（1- 4 1 ）x=（140-x）-7，解 这个方程得，x=76, 则黄球有：140-76=64（个）。 解答：解：设红球有 x 个，那么黄球就有（140-x）个。 （1- 4 1 ）x=（140-x）-7 4 3 x=133-x 4 3 x+x=133 要点提示 找到题中隐含的等量关系并列出 方程是用方程法解答较复杂的分 数问题的关键。 要点提示 量率对应的方法是分数除法常用的 方法。 4 7 x=133 x=76 则黄球有：140-76=64（个） 答：原来红球有 76 个，黄球有 64 个。 第七单元 体验中的百分数——百分数（一） 【例 1】把 22%、 5 1 、0.202 和 9 2 按从小到大的顺序排列。 思路分析：本题考查的知识点是通过转化法统一分数、小数或百分数，然后再比 较出它们的大小。解答时，一般把百分数和分数转化为小数，然后通过比较小数 的大小来比较这些数的大小。 22%=0.22、 5 1 =0.2、0.202=0.202、 9 2 ≈0.222，因为 0.2＜0.202＜0.22＜ 0.222，所以， 5 1 ＜0.202＜22%＜ 9 2 。 解答： 5 1 ＜0.202＜22%＜ 9 2 【例 2】下面 4 块菜地，阴影部分种西红柿，西红柿面积占的百分比最大的菜地 是（ ）。 思路分析：本题考查的知识点是分数、百分数之间的相互转化。解答时，根据分 数化成百分数的方法，先把各个选项中的西红柿的面积依据分数的意义用分数表 示出来，再化为百分数，然后再比较大小，找出百分比最大的。A： 5÷7= 7 5 ≈ 0.71=71%、B：5÷8= 8 5 =0.625=62.5%、C ：3÷4= 4 3 =0.75=75% D： 8÷12= 12 8 ≈ 0.67=67%，因为 62.5%＜67%＜71%＜75%，所以选 C。 解答：C 【例 3】分别用百分数、分数和小数表示直线上的各点。 思路分析：本题考查的知识点是利用“数形结合”思想根据直线上给出的已知数 填出百分数、分数和小数。解答时，先找到给出的已知数，看图中的一个大格表 示 0.05、即 20 1 ，也就是 5%，然后再数出要填的每个格子上表示的分数、小时和 百分数。 解答：5% 20 1 0.05 20% 5 1 0.2 75% 4 3 0.75 90% 10 9 0.9 【例 4】一个乡去年造林 12 公顷，今年比去年多造林 2 公顷。今年的造林面积 是去年的百分之几？ 思路分析：根据问题“今年的造林面积是去年的百分之几？”可以得出是以去年 的造林面积为单位“1”。去年的造林面积+今年比去年多造林的面积=今年的造林 面积，即 12+2=14（公顷），用今年的造林面积÷去年的造林面积=今年的造林面 积是去年的百分之几。 解答：（12+2）÷12≈116.7% 答：今年的造林面积约是去年的 116.7%。 【例 5】妈妈在院子里栽了 20 棵茄子，几天后只成活了 15 棵，于是她挖去死苗 补栽了 5 棵，结果又有 2 棵死了。总体而言，妈妈栽的茄子的成活率是多少？ 思路分析：根据题意求茄子的成活率，成活率= 栽的棵树 成活的棵树 ×100%，题意中妈妈 共栽茄子两次，合计 20+（20-15）=25（棵）；共成活 15+（5-2）=18（棵）。根 据求成活率的公式计算即可求出妈妈栽的茄子的成活率。 解答：栽的棵树：20+（20-15）=25（棵） 成活 15+（5-2）=18（棵） 成活率：18÷25×100%=0.72×100%=72% 答：妈妈栽的茄子的成活率是 72%。 【例 6】德惠小学六（2）班今天没有到校的人数是到校人数的 19 1 ，求今天六（2） 班的出勤率。 思路分析：本题考查的知识点是利用转化法求出勤率。解答时，先把今天没有到 校的人数是到校人数的 19 1 转化为今天没到校的人数和到校的人数比是 1:19，也 就是说把总人数看成 1+19，然后再根据出勤率= 总人数 到校人数 ×100%列式计算解答。 解答： 191 19  ×100%=0.95×100%=95% 答：今天六（2）班的出勤率是 95%。 【例 7】某次春季植树活动，所植的树中未成活的棵树占成活的棵树的 19 1 ，求植 树的成活率？ 思路分析：成活率= %100总棵树 成活的棵树 ，“未成活的棵树占成活的棵树的 19 1 ”可 以把未成活的棵树看作 1 份，成活的棵树看作 19 份，那么总棵树就是 1+19=20 （份）,然后根据成活率= %100总棵树 成活的棵树 ，求出成活率即可。 解答： %100191 19  =95% 答：植树的成活率为 95%。 回顾整理——总复习 【例 1】根据以下信息完成统计表。联系实际想一想，这样的天气情况说明了什 么？ 思路分析：从已知信息中我们发现：6 月份的天数是 30 天，其中阴天占 5 1 ，根 据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，可以列式计算出阴天的天数是 30× 5 1 =6（天），再结合晴天比阴天多占总天数的 3 1 ，可以求出晴天的天数是 6× （1+ 3 1 ）=8（天），这样可以得出雨天的天数是 30-6-8=16（天），由此填写统计 表并得出结论：雨天的天数大约占这个月的一半，其余天数约占一半。 解答： 结合统计表说明，这个月以晴天为主，阴天和雨天的天数和大约占这个月的一半。 【例 2】看图写算式并计算。 （1） （2） 思路分析：本题考查的知识点是利用“数形结合思想和图示法”来解答分数乘法 问题。解答时，先读懂线段图中给出的已知信息和所求的问题，然后利用数形结 合思想分析已知信息和所求的问题之间的关系并找到问题的解答方法。 （1）从图中读出：这条路 400 米是单位“1”，已经修了 5 3 ，问题是求剩下的米 数，求还剩下的米数就是求 400 米的（1- 5 3 ）是多少，根据求一个数的几分之几 是多少用乘法计算，列式计算为 400×（1- 5 3 ）=160（米）。 （2）从图中读出，已知白菜有 168 吨，土豆比白菜多 7 2 ，求土豆有多少吨，就 是求比 168 多 7 2 的数是多少，根据求比一个数多几分之几的数是多少用乘法计 算，列式计算为 168×（1+ 7 2 ）=168× 7 9 =216（吨）。 解答：（1）400×（1- 5 3 ）=160（米） 要点提示 读图表时，一般根据已有已 知信息来步步分析推算其它 信息。 要点提示 数形结合思想的关键是抓住 数与形的对应。 （2）168×（1+ 7 2 ）=168× 7 9 =216（吨） 【例 3】计算下面各题。 （1） 5 1 ×27+ 5 3 ×41 （2） 18 11 ×20－ 18 5 ×11 思路分析：本题考查的知识点是利用数学的转化思想，进行乘法分配律的逆运算。 解答时，先整体观察，看能不能通过转化来利用乘法的分配律进行进行。 （1） 5 1 ×27+ 5 3 ×41= 5 1 ×3×9+ 5 3 ×41 = 5 3 ×9+ 5 3 ×41，这时可以用乘法分配律 的逆运算解答了。 （2） 18 11 ×20－ 18 5 ×11 = 18 11 ×20－ 18 11 ×5，同理也 可以利用乘法分配律逆运算解答计算了。 解答：（1） 5 1 ×27+ 5 3 ×41 （2） 18 11 ×20－ 18 5 ×11 = 5 1 ×3×9+ 5 3 ×41 = 18 11 ×20－ 18 11 ×5 = 5 3 ×9+ 5 3 ×41 = 18 11 ×（20－5） = 5 3 ×（9+41） = 18 11 ×15 = 5 3 ×50 = 6 55 =30 【例 4】六年级一班的男、女生比例为 3∶2，又来了 4 名女生后，全班共有 44 人。求现在的男、女生人数之比。 思路分析：本题考查的知识点比与分数的互化和按比例分配解决问题。原来共有 学生 44-4=40（人），由男、女生人数之比为 3∶2 知，如果将人数分为 5 份，那 么男生占 3 份，女生占 2 份。由此求出男女生原来的人数，最后女生的人数再加 上 4，求出男女人数的比。 解答：44-4=40（人） 男生人数：40× 5 3 =24（人） 女生人数：40× 5 2 =16（人） 要点提示： 比与分数的转化是一种常用的 数学方法。 要点提示： 转化法是解决数学问题的常 用方法之一。 16+4=20（人） 24:20=6:5 答：现在男女人数比是 6:5。 【例 5】成年人的足长与身高的比大约是 1:7。某小区发生了一起盗窃事件，在 犯罪现场留下了一个长 26 厘米的足印。经过周密侦察，锁定了四名犯罪嫌疑人， 下表是这四名犯罪嫌疑人的身高记录。 请你根据以上信息计算说明：这四人中，谁的嫌疑最大？ 思路分析：本题考查的知识点是利用比的知识解决实际问题。解答时，先根据“成 年人的足长与身高的比大约是 1:7”，可以看作成年人的身高是足长的 7 倍来推 算出犯罪嫌疑人的身高。该题具备探索性和趣味性，同时运用了估算的知识。 解答：26×7=182（cm），四人中王某的身高最接近 182cm。 答：王某的嫌疑最大。 【例 6】一杯牛奶喝去 4 1 后加满水摇匀，再喝去 3 1 ，这时杯中的纯牛奶占原来这 杯牛奶的几分之几？ 思路分析：由题意可知，有一杯牛奶，先喝去 4 1 后加满水摇匀，此时杯内有（1- 4 1 ） 的牛奶和 4 1 的水；再喝去 3 1 ，是喝掉了（1- 4 1 ）牛奶的 3 1 和 4 1 水的 3 1 。因此，此 时还剩下 1- 4 1 -（1- 4 1 ）× 3 1 的纯牛奶。 解答： 1- 4 1 -（1- 4 1 ）× 3 1 = - × 3 1 = - = = 要点提示： 找准单位“1”是解决此类问题 的关键。 【例 7】求阴影部分的周长和面积。 思路分析：观察上图可知，阴影部分的周长是一个直径为 20 厘米的圆周长的一 半和一个直径为 10 厘米的圆的周长。 图中的阴影部分是一个不规则的图形，但仔细观察可以发现，将上面的黑色 小半圆切割下来，在水平翻转后，刚好可以补到空白部分的小半圆上，这样图形 就变成了一个直径是 20 厘米的半圆了，我们求出这个半圆的面积，就等于求出 了阴影部分的面积。 解答：阴影部分的周长： 3.14×20÷2+3.14×10 =31.4+31.4 =62.8（厘米） 阴影部分的面积： 3.14×（20÷2）2÷2 =3.14×100÷2 =157（平方米） 答：阴影部分的周长是 62.8 厘米，面积是 157 平方厘米。 【例 8】科技书和文体书共 450 本，其中科技书占 9 2 ，元旦期间又买来一些科技 书，这时科技书占 7 2 ，买了科技书多少本？ 思路分析：本题考查的知识点是利用“抓不变量的”方法来解答购买的科技书问 题。解答时，先根据求一个数的百分之几是多少用乘法计算求出文艺书的本数是 450×（1- 9 2 ）=350（本），再利用量率对应的方法“部分量÷部分量对应的分率 =单位“1””求出现在的书的本数是 350÷（1- 7 2 ）=490（本），最后求出新购买 的科技书的本数是 490-350=140（本）。 解答：450×（1- 9 2 ）=350（本） 350÷（1- 7 2 ）=490（本） 490-350=140（本） 要点提示： 求不规则的图形的面积时，可 以通过割补的方法，把不规则 的图形转化成为规则的图形， 然后再求面积。 答：买了科技书 140 本。 【例 9】同学们参加野营活动，一个同学到负责后勤的教师那是去领碗。教师问 他领多少，他说领 55 个，教师又问：“多少人吃饭？”这个学生说：“一人一个 饭碗，两人一个菜碗，三个人一个汤碗。”请你帮忙算一算参加野营活动的共有 多少学生？ 思路分析：本题考查的知识点是用量率对应的方法解答“领碗问题”。解答时， 先根据题意，先求一人用多少个碗，即 1+ 2 1 + 3 1 = 6 11（个）；再求共有多少人，即 55÷ 6 11=30（人），列出综合算式是 55÷（1+ 2 1 + 3 1 ）=55÷ 6 11=30（人）。 解答：55÷（1+ 2 1 + 3 1 ）=55÷ 6 11=30（人） 答：参加野营活动的共有 30 学生。 【例 10】小方桌面的边长是 1 米，把它的四边撑开，就成了一张圆桌面（如图）。 求圆桌面的面积。 思路分析：本题考查的知识点是利用整体思想解答圆的面积问题。解答时，连接 正方形的对角线，如图所示，正方形由四个等腰直角三角形构成，一个直角三角 形的面积为 1×1× 4 1 =r 2 × 2 1 ，所以 r 2 = 2 1 ，圆桌面的面积 S=πr 2 =3.14× 2 1 =1.57（平方米）。 解答：1×1× 4 1 =r 2 × 2 1 ，所以 r 2 = 2 1 圆桌面的面积：S=πr 2 =3.14× 2 1 =1.57（平方米） 答：这个圆桌面的面积是 1.57 平方米． 要点提示 量率对应的方法是分数除 法常用的方法。 要点提示 解答时，把 r 2 看做一整体 是解答的关键。 【例 11】已知扇形的半径是 2 厘米，求扇形的周长大约是多少厘米？ 思路分析：本题考查的知识点是扇形的周长，解答时要明确的是扇形的周长=扇 形的弧线的长+半径的 2 倍。已知扇形的半径是 2 厘米，所以扇形的弧线长是 2 ×3.14×2× 360 120 ，求扇形的周长还要加上扇形的 2 条半径的长，列式计算为 2 ×3.14×2× 360 120 +2×2= 3 4 ×3.14+4≈4.19+4=8.19（厘米）。 解答：2×3.14×2× 360 120 +2×2= 3 4 ×3.14+4≈4.19+4=8.19（厘米） 答：扇形的周长大约是 8.19 厘米。 【例 12】小强家房子出租给小李、小张、小王三个年青人，每月房租是 1800 元， 9 月份，小李只住到 10 日就搬走了，小张只住到 20 日也搬家了，小李和小张离 开时都留给小王 600 元交房租。到月底小强的妈妈要去收房租了，如果你是小强， 你会建议妈妈怎样收这三个年青人的房租比较合理？ 思路分析：由题意可知，小强家房子出租给小李、小张、小王三个年青人，每月 房租是 1800 元，小李只住到 10 日就搬走了，小张只住到 20 日也搬家了，只有 小王住满 30 天（9 月份一共 30 天），因此让三人平均分摊 1800 元不太合理，可 以按他们所住的天数的比分摊，或分段分摊都比较合理，因此小强的妈妈收房租 时可以考虑上面的两种分摊方式。 解答：方案一：按所住天数的比分摊 三人所住的时间比是 10:20:30=1:2:3。 小李应付的房租：1800×＝300(元) 小张应付的房租：1800×＝600(元) 小王应付的房租：1800×＝900(元) 方案二： 分段计费 每 10 天为一段，每段：1800÷3＝600（元） 小李只住了前面 10 天：600÷3＝200(元) 要点提示： 解决此类问题有时会有几种不 同的分摊方案，它们的结果虽然 不一定相同，但是只要分摊方案 是合理的，就都是正确的。 小张：600÷3＋600÷2＝500(元) 小王：600÷3＋600÷2＋600＝1100(元) 答：小强妈妈收房租时，如果按所住天数的比收，小李 300 元，小张 600 元，小王 900 元；如果分段收取，小李 200 元，小张 500 元，小王 1100 元。 【例 13】按要求涂一涂。 思路分析：要求从第一个盒子里任意摸出一个，一定是红球，也就是摸不出其他 颜色的小球，因此第一个箱子里应该全部涂成红色；第二个箱子里摸出一个，偶 尔是红球，说明第二个箱子里的红球比较少，其他颜色的小球比较多，因此第二 个箱子里的要涂成少量的红球；第三个箱子里， 任意摸一个不可能是红球，说明箱子里面一个 红球也没有，因此第三个箱子里的小球都不能 涂成红色。 解答：答案不唯一，举例如下图： 要点提示： 任意摸一个不可能是红球，说明 箱子里一个红球也没有，可以把 小球涂成自己喜欢的颜色。