第5章 相交线与平行线
小结与复习
相交线
1.平面内两条直线的位置关系有：___________.
相交、平行
• 当两条直线有公共点时，我们就说这两条直线相交.
• 同一平面内，不相交的两条直线互相平行.
易错点：同一平面内两
条直线的位置关系有相交、
垂直、平行三种
两条直线相交
• 如图，直线AB与CD相交，则∠1与∠2互为_______；∠1与∠3互为
_________.
1.邻补角：
有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角.
2.对顶角：
一个角的两边分别为另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫做
对顶角.
3.对顶角和邻补角的性质：
对顶角相等；邻补角互补。
邻补角
对顶角
垂线、垂线段
1.垂线：
两条直线相交所成四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直
线的垂线，它们的交点叫做垂足.
A
OC
B
D
垂线、垂线段
2.垂线的性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3.垂线段：垂线段最短.
4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度.叫做这点到这条直线的距离。
垂线段最短
A C
1、如图，若∠AOD= 90°，
直线AB、CD的位置关系是
EF
2、若直线AB⊥CD ，则∠AOD= 90 °
AB⊥CD
∵∠AOD=90°（已知），
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
这个推理过程可以写成：
∵AB⊥CD（已知），
∵∠AOD=90° （垂直的定义） ．
这个推理过程可以写成：
A
OC
B
D
练一练
• 已知P是直线l外一点，A、B、C是直线l上一点，且PA=5，PB=3，PC=2，那么点P到直线l的距离为
（ ）
A .等于2
B.大于2
C.小于或等于2
D.小于2
C
图中能表示点到直线的距离的线段有( )
A 2条
B 3条
C 4条
D 5条
D
练一练
练一练
• 分别过点A、B、C画对边BC、 AC、AB的垂线，垂足分别为D、E、F.
BA
C
D
E
F
三线八角
• 如图，图中的同位角有：
• 内错角有：
• 同旁内角有：
∠1与∠5， ∠2与∠6，
∠3与∠7， ∠4与∠8
∠3与∠5， ∠4与∠6
∠3与∠6， ∠4与∠5
截线
被截线
被截线
练一练
• 如图， ∠1与∠2是_____和_____被_____所截形成的______角？
• ∠3与∠4是_____和_____被_____所截形成的______角？
AD BC AC
内错
AB CD AC 内错
练一练
• 如图， ∠1与∠2是_____和_____被_____所截形成的______角？
• ∠3与∠4是_____和_____被_____所截形成的______角？
AD BC CD
同旁内
AB CD BE 同位
平行线
1.平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2.平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
即：如果b∥a， c∥a，那么_______.
b∥c
平行线的判定与性质
平行线的判定 平行线的性质
1、同位角相等，两直线平行
2、内错角相等，两直线平行
3、同旁内角互补，两直线平行
4、平行于同一条直线的两条直线平行
5、垂直于同一条直线的两条直线垂直
1、两直线平行，同位角相等
2、两直线平行，内错角相等
3、两直线平行，同旁内角互补
1. 如图，∵∠D=∠DCF（已知）
∴_____//___（ ）
2. 如图，∵∠D+∠BAD=180°（已知）
∴____//____（ ）
AD BC
AB DC
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
练一练
3、
命题 、定理
1.命题：
判断一件事情的语句，叫做命题.
2.题设、结论：
将命题写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论.
命题 、定理
3.真命题、假命题：
若题设成立，则结论也一定成立的命题，是真命题.
若题设成立，则结论不一定成立的命题，是假命题.
4.定理：
有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.
练一练
（1）同角的补角相等；
（2）等角的余角相等；
（3）互补的角是邻补角；
（4）对顶角相等；
（1）题设：两个角是同一个角的补角；
结论：这两个角相等.
说出下列命题的题设与结论：
（2）题设：两个角相等；
结论：它们的余角也相等.
（3）题设：两个角互补；
结论：它们是邻补角.
（4）题设：两个角是对顶角；
结论：这两个角相等.
平移
1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.
2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且
相等.
3.图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移.
平移的基本性质：
①对应线段平行（或在同一直线上）且相等；
②对应角相等；
③对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等.
A
C B
F E
D
知识应用：
1、在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）
A.相交
B.平行
C.相交或平行
D.相交、平行或垂直
C
2、（1）图1中有几对对顶角？
（2）若n条直线交于一点，共有________对对顶
角？
1n n
m
n O
l
图1
l2
l3 l4
l5
l1
ln
6对
3、下列说法正确的有( )
• ①对顶角相等；
• ②相等的角是对顶角；
• ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；
• ④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
4、如图，不能判别AB∥CD的条件是（ ）
A. ∠B+ ∠BCD=180° B. ∠1= ∠2
C. ∠3= ∠4 D. ∠B= ∠5
54
3
2
1
E
D
CB
A
B
5、如图，∠B=70°，∠BEF=70° ，∠DCE=140°， CD∥AB，求∠BEC的度数。
E
A
C
F
B
D
解：∵∠B=∠BEF=70°
∴AB∥EF
又∵CD∥AB
∴CD∥EF
∵∠DCE=140°
∴∠CEF=40°
∴∠BEC=∠BEF-∠CEF
=70°-40°=30°
6、直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC ，∠2 ：∠1= 4：1，
求∠AOC的度数.
E
A
O
C
B
D
12
F
解：设∠1=x
∵∠2 ：∠1= 4：1
∴∠2 =4x
∵OE平分∠BOD
∴∠DOE=∠1=x
∠DOB=2∠1=2x
由∠2+∠DOE+∠1=180°
∴4x+x+x=180°
x=30°
∴∠AOC=∠DOB=60°
7、如图，在长方形ABCD中，∠ADB＝20°，
现将这一长方形纸片沿AF折叠，若使AB’ ∥BD，
则折痕AF与AB的夹角∠BAF应为多少度？
B'
DA
B F C
解：长方形ABCD中，∠BAD=90°
∵∠ADB=20°
∴∠ABD=70°
∵AB'平行BD
∴∠B'AB=180°-∠ABD=110°
由题意可知
∠BAF=1/2∠B'AB=55°
8、
∵
∵
第六章 实 数
小结与 复 习
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
乘
方 平方根
立方根
互为逆运算
开平方
开立方 负的平方根
算术平方根
开
方
0x a a x a 2若 ＝ ≥ 则
一般地，如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。（也叫二次方根）
正数a的正的平方根和零的平方根,统称算术平方根 。
非负数a的算术平方根是非负数， 。0a即 ≥
数a的立方根用符号 表示。
一般地，如果 ，那么 叫 的立方根ax 3 ax
3 a
求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方，开立方与立方
互为逆运算。
即 24
3 a
即 283
a
两个
相反数
0
没有
一个正数
0
平方根 立方根
区别 你知道算术平方根、平方根、立方根的区别吗？
算术平方根 平方根 立方根
是其本身
表示方法
a 的取值
性
质
a 3
a
a ≥ 0 a 是任何数a ≥ 0
a
正数
0
负数
正数（一个）
0
没有
互为相反数（两个）
0
没有
正数（一个）
0
负数（一个）
≠
0,1 0 0,1,-1
对于 的值得讨论
2a
2a
a
, ( 0 )
0 , ( 0 )
, ( 0 )
a a
a
a a
（1） （2） －27（3） 0
1
2 7
求下列各数的算术平方根：
求下列各数的平方根：
（1）4 （2） （3）79
4
（1） 16 （2）5
求下列各数的立方根：
(1)4的算术平方根是±2.
(2)4的平方根是2.
(3)8的立方根是2.
(4)－1的立方根是－1
(5)－1的平方根是±1
不
要
搞
错
了
是8 的平方根
的平方根是64
的值是64
的平方根是64
的立方根是64
64
±8
8
8
4
算术平方根是它本身的数有
______________。0 . 1
平方根 ，立方根呢？
4 、 若 某 数 的 一 个 平 方 根 是
3 - ， 则 这 个 数 是 ；2 4
9
5、若某数的一个立方根是4，则这个数的平方根
是 ；±8
6、(-4)2的算术平方是 ；4
7 、 4 的 平 方 根 是 ；2
8 、 8 1 的 平 方 根 是 ；±3
9、-64的立方根是 ；－4
21 0 、 (1 ) 若 x = 5 , 则 x = ;±5
(2 ) 当 x = , 且 y = 时 ，
4 - x + y + 4 = 0 .
4 － 4
（1）1.7 和 3
76 和
比较下列各组里两个数的大小.
（2）
1.无理数有几个？
2.无理数都是用根号表示的数吗？
3.无理数都是开方开不尽的数吗？
4.用根号表示的数都是无理数吗？
1.无理数的个数是无限多个. 2.无理数
不都是用根号表示的.
3.用根号形式表示的数不都是无理数.
注意：
•有理数和无理数统称实数.
实
数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
有限小数和无限
循环小数
正无理数
负无理数
无限不循环小
数
实
数
正实数
0
负实数
下列说法正确的是：
（1）无限小数是无理数
（2）有理数都是有限小数
（3）一个数的立方根不一定是无理数
（4）任何实数都有唯一的立方根
（5）只有正实数才有算术平方根
√
×
×
×
√
（6）任何数的平方根有两个，它们互为相反数 ×
实数的性质：
•数a的相反数是-a.
w一个正实数的绝对值是它本身；
w一个负实数的绝对值是它的相反数；
w 0的绝对值是0.
1、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
2
2
如果把所有的有理数都标到数轴上，那么数轴将被
填满了．（ ）
4.判断对错,并说明理由．
×
• 每一个实数都可用数轴上的一个点来表示．
• 数轴上的每一个点都表示一个实数．
大家都知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因
此， 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用
来表示 的小数部分，你同意小明的方法吗？事实上，
小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将
这个数减去其整数部分，差就是小数部分。
2
12
2
2
2
思考探究题
的整数部分是___,小数部分是______.6 2 6 2
不要
遗漏
哦！
解下列方程：
4)3(9 2 y
3
233
12 yy 或
当方程中出现平方时，若有解，一般都有两个解
083
527 3 ）（ x
1x
当方程中出现立方时，一般都有一个解
1.
解:
9
4)3( 2 y
2.
解: 8)3
5(27 3 x
27
8)3
5( 3 x
3
27
8
3
5 x
3
2
3
5 x
9
43 y
3
23 y
掌
握
规
律
的平方根是那么
已知
0017201.0
,147.4201.17,311.17201.1
是则若
已知
xx ,4858.0
,858.46.23,536.136.2
的值是则
已知
3
33
5250
,744.35.52,738.125.5
注意平方根和立方根的移位法则
322314.3
是负数
等于它的相反数
14.3
14.3
是正数
等于它本身
23
是负数
23
32
）（原式 232314.3
232314.3
223314.3
14.3
里
面
的
数
的
符
号
化
简
绝
对
值
要
看
它
等于它的相反数
一个正数的平方根是2a-3与5-a,你能求出a吗？
解:（2a-3）+（5-a）=0
解得 a=-2
∴2a-3=-7, 5-a=7
这个正数是72=49
你知道这个正
数是多少吗？
跟踪练习 已知5x+19的立方根是4，求2x+7的平方根
已知x、y满足︱x-5︱+ =0，求（x+y）
2006
的值？
4y
确定平面内点的
位置
平面直角
坐标系
坐标平面 四个象限
点与有序数对的对应关系
特殊点的坐标特征
点P
画两条数轴
①垂直
②有公共原点
坐标有序数对(x,y)
用坐标
表示平移
横坐标，右移加，左移减
纵坐标，上移加，下移减
用坐标表示
地理位置
直角坐标系法 方位角和距离法
知识网络
一、知识要点回顾
1、有顺序的两个数a和b组成的数对叫做（ ），记为（ ），
它可以准确地表示出一个位置
2、在平面内两条互相（ ），原点（ ）的数轴，组成了平面直
角坐标系。水平的数轴称为（ ）或（ ），取向（ ）为正方向；
竖直的数轴称为（ ）或（ ），取向（ ）为正方向；两坐标轴
的交点为平面直角坐标系的（ ）
3、由A点分别向x轴和y轴作垂线，落在x轴上的垂足的坐标称为
（ ），落在y轴上的垂足的坐标称为（ ），横坐标写在（ ）面，
纵坐标写在（ ）面，中间用逗号隔开，然后用小括号括起来
4、坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，各象限内的点的坐标特点：
第一象限（ ， ）；第二象限（ ， ）
第三象限（ ， ）；第四象限（ ， ）
5、利用平面直角坐标系表示地理位置有三个步骤：
（1）建立平面直角坐标系；
（2）确定单位长度；
（3）描出点，写出坐标
6、P（x，y）向左平移a个单位长度之后坐标变为（ ），向右平移a
个单位长度之后坐标变为（ ），向上平移b个单位长度之后坐标变为
（ ），向下平移b个单位长度之后坐标变为（ ）
7、P（a，b）到x轴的距离是（ ），到y轴
的距离是（ ）
8、x轴上的点的（ ）坐标为0；
y轴上的点的（ ）坐标为0；
平行于x轴的直线上的点的（ ）坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的（ ）坐标相同
二、典型例题
1、点（-3,1）在第（ ）象限，点（1，-2）在第（ ）
象限，点（0,3）在（ ）上，点（-2,0）在（ ）上
2、点（4，-3）到x轴的距离是（ ），到y轴的距离
是（ ）
3、过点（4，-2）和（4,6）两点的直线一定平行（ ）
过点（4，-1）和（2，-1）两点的直线一定垂直于（ ）
4、已知线段AB=3，且AB∥x轴，点A的坐标为（1，-
2），则点B的坐标是（ ）
5、一个长方形的三个顶点的坐标是（-1，-1），
（3，-1），（-1,2），则第四个顶点的坐标是（ ）
6、点P向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，
得到Q（-1,2），则P点的坐标是（ ）
7、如右图，O（1，-2），
B（4，-1），则点C的坐标为（ ）
8、(2，-2)和（2,4）之间的
距离是（ ）
9、在平面直角坐标系中，
描出下列各点：
A（0，-3），B（1，-3），C（-2,4），D（-4,0）
E（2,5），F（-3，-3）
10、写出下列各点的坐标
11、如图，已知D的坐标为（2，-2），请建立直角
坐标系，并写出其它点的坐标。
12、如图，
（1）求A、B、C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得
到△A1B1C1，求A1，B1，C1的坐标
13、四边形ABCD各个顶点的坐标分别为 A（0，5），B（0，1），
C（4，2），D（5，4）。
求四边形ABCD的面积。
【例1】已知点A(-3+a,2a+9)在第二象限，且到x轴的 距离为5，则点a的
值是 .-2
专题一 平面直角坐标系与点的坐标
【归纳拓展】
1.第一、三象限内点的横、纵坐标同号；
2.第二、四象限内点的横、纵坐标异号；
3.平面内点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的
距离是它横坐标的绝对值；
4.平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线
上的点的横坐标相同.
【迁移应用1】
(1)已知点A(m,-2),点B(3,m-1)，且直线AB∥x轴，则
m的值为 .-1
(2)已知:A(1,2),B(x,y),AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则
点B的坐标是 .(2,2)或(-2,2)
【例2】如图，把三角形ABC经过一定的变换得到三角形A′B′C′，如果三
角形ABC上点P的坐标为（a，b），那么点P变换后的对应点P′的坐标
为 ．（a+3,b+2）
A(-3,-2) A′(0,0)横坐标加3
纵坐标加2
专题二 坐标与平移
【归纳拓展】为了更加直观、便捷地表示一些图形，或具体事物的位置,
通常采用坐标方法.观察一个图形进行了怎样的平移,关键是抓住对应点进
行了怎样的平移.
【迁移应用2】
将点P(-3，y)向下平移3个单位，再向左平移2个单位得到点Q(x,-1),则
xy= .-10
【例3】（1）写出三角形ABC的各个顶点的坐标；
(2)试求出三角形ABC的面积；
(3)将三角形先向左平移5个
单位长度，再向下平移4个
单位长度,画出平移后的图形.
x
y
0 1
1
2
3
4
5
2 3 4 5-1
-2
-3
-4
-1-2-3-4-5
A B
C
A(0,2) B(4,3) C(3,0)
S=3×4-1/2×2×3-1/2×1×4
-1/2×1×3=5.5
专题三 平移作图及求坐标系中的几何图形面积
【归纳拓展】在坐标系中求图形的面积应从两方面去把握：(一)通常
用割或补的方法将要求图形转化为一些特殊的图形，去间接计算面积.
(二)需要将已知点的坐标转化为线段的长度，以满足求面积的需要.
第八章 二元一次方程组
小结与复习
设未知数，列方程组
解
方
程
组
检验
代入法
加减法
（消元）
知识网络
一、知识要点回顾
1、什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？
2、怎么表示二元一次方程和二元一次方程组的解？
2、解二元一次方程组的思想是：（ ）
3、解二元一次方程组的方法有：
（1）
步骤：
（2）
什么时候用加法？什么时候用减法？（需要注意什么）
4、什么时候用代入法？什么时候用加减法？
5、需要化简的方程，化简到什么程度？
【例1】若x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，则m= ，
n= .
由二元一次方程的定义可得： 2m-1=1，
3n-2m=1，
解得： m=1，
n=1.
解析：
专题一 二元一次方程与二元一次方程组
1
1
【迁移应用1】
已知方程(m-3) +(n+2) =0是关于x、y的二元一次方程，求m、n的
值.
解：由题可得：|n| -1=1，m≠3，m2-8=1，n ≠-2.
解得：m=-3,n=2.
【归纳拓展】首先理解二元一次方程或二元一次方程组定义的几大
因素，并且通过定义得到需要的等式，由等式得到最后的求解.
1nx 82 my
【例2】已知x=1,y=-2是二元一次方程组 的
解，求a,b的值.
ax-2y=3
x-by=4
解： 把x=1,y=-2代入二元一次方程组得 a+4=3，
1+2b=4，
解得：a=-1,b=1.5.
专题二 二元一次方程与二元一次方程组的解
【归纳拓展】一般情况下，提到二元一次方程（组）的解，须先把
解代入二元一次方程（组），得到解题需要的关系式，然后解关系
式，即可解决问题.
【迁移应用2】
已知x=1,y=-2满足（ax-2y-3)2+ |x-by+4 |=0,求a+b的值.
解：由题意可得： 把x=1,y=-2代入方程组
可得： 解得：a=-1,b=-2.5,则a+b=-3.5.
ax-2y-3=0，
x-by+4=0.
a+4=3，
1+2b=-4，
【例3】用代入法消元法解方程组 3x-y=7，
5x+2y=8.
解： 3x-y=7， ①
5x+2y=8 ，②
由①可得y=3x-7 ， ③
将③代入②得 5x+2(3x-7)=8，
解得x=2,把x=2代入③得 y=-1.
由此可得二元一次方程组的解是 x=2，
y=-1.
专题三 代入消元法与加减消元法
【例4】用加减消元法解方程组 3(x-1)=4(y-4)，
5(y-1)=3(x+5).
解： 化简整理得 3x-3=4y-16， ①
3x+15=5y-5 ， ②
由②-①得 18=y+11,解得y=7,
把y=7代入①得 3x=28-16+3,
解得x=5.
由此可得二元一次方程组的解为 x=5，
y=7.
【归纳拓展】
①代入消元法是将其中的一个方程写成“y=”或“x=”的形式，并
把它代入另一个方程，得到一个关于x或y的一元一次方程求得x或y值.
②加减消元法是通过两个方程两边相加（或相减）消去一个未知数，
把二元一次方程组转化为一元一次方程.
【迁移应用3】
已知-4xm+nym-n与-2x7-my1+n是同类项，求m,n的值.
解：由题意得
m=3，
n=1.
m+n=7-m，
m-n=1+n.
解得
【迁移应用4】
已知方程组 的解为 则求6a-3b的值.
解：将 代入原方程组得
解得
所以6a-3b=6×3-3×1=15.
a=3，
b=1.
ax-by=4，
ax+by=8
x=2，
y=2，
x=2，
y=2
2a-2b=4，
2a+2b=8.
【例5】某汽车运输队要在规定的天数内运完一批货物，如果减少6辆汽
车则要再运3天才能完成任务；如果增加4辆汽车，则可提前一天完成任
务，那么这个汽车运输队原有汽车多少辆？原规定运输的天数是多少？
分析：等量关系式：
①减少6辆汽车后运输的货物=原规定运输货物；
②增加4辆汽车后运输的货物=原规定的货物。
专题四 二元一次方程组的实际应用
解：设这个汽车运输队原有汽车x辆，原规定完成的天数为y天，每辆汽车
每天的运输量为1.
根据题意可得
化简整理得：
(x-6)(y+3)=xy，
(x+4)(y-1)=xy.
3x-6y=18, ①
-x+4y=4 ，②
由②可得x=4y-4 ，③
把③代入①可得 3(4y-4)-6y=18， 解得y=5.
把y=5代入③得 x=16. 由此可得 x=16，
y=5.
答：原有汽车16辆，原规定完成的天数为5天.
【归纳拓展】利用方程的思想解决实际问题时，
1.首先要找准等量关系式，找等量关系式时要注意题干
中提到的等量关系的语句，
2.根据等量关系列得方程,
主要步骤是“找”“设”“列”“解”“答”，一步
都不能少.
解：设该年级寄宿学生有x人，宿舍有y间.根据题意可
得 解得6y+4=x，
7(y-11-1)=x-3，
x=514，
y=85.
答：设该年级寄宿学生有514人，宿舍有85间.
【迁移应用5】
某校七年级安排宿舍，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，
则有1间只住3人，且空余11间宿舍，求该年级寄宿学生有多少人？宿舍
有多少间？
四、常考题型
2
12 21 mnm yx2、若方程 是二元一次方程，则mn= 。
1、如果 是一个二元一次方程，
那么数a-b= 。
1032 162312 baba yx
题型一：
题型二：
1、已知5x+y=12，
（1）用含x的式子来表示y： ；
用含y的式子表示x: 。
（2）当x=1时，y= ；
（3）写出该方程的两组正整数解 。
题型三：
1.方程x+3y=9的正整数解是______________。
2.二元一次方程4x+y=20 的正整数解是
_____________。
3、已知 是方程3x-3y=m和5x+y=n的公共
解，则m2-3n= .
3
,2
y
x
246
1.若 ，则x= ,y= .
2.若x、y互为相反数，且（x+y+3)(x-y-2）=6，则x=________．
题型四：
2347
31 yxx
yx）（
题型五：
用适当的方法解下列的方程组：
54
2322
yx
yx
）（
题型六
.734125
437 的值求成立的解能使方程组 m，yxmyx
yx
题型七
方程组求当m为何值时，
3x-5y=2m
2x+7y=m+18
的解互为相反数？并求方程组的解。
5x+2y=25-m ①
3x+4y=15-3m ②已知方程组
x-y=6,求m的值.的解适合方程
题型八
10
8
22420
62
y
x
yax
nymx 的解应为方程组
但由于看错了系数 .,6
11, 值求而得到的解为 anmy
xa
题型九 应用题
一、（分配调运问题）
某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂
的人数
相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂
的人
数各是多少？
二、（行程问题）
甲、乙二人相距12km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1
小时
相遇。二人的平均速度各是多少？
三、（百分数问题）
某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加工厂
1.1％,
这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？
四、（分配问题）
某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个
少1
个，问幼儿园有几个小朋友？
五、（浓度分配问题）
要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，
这
两种盐水各需多少？
六、（金融分配问题）
需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混
合
成每千克售3.6元的杂拌糖200千克？
七、（几何分配问题）
如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长
方
形的长和宽分别是多少？
八、（材料分配问题）
一张桌子由桌面和四条脚组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作
桌
脚300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌
脚配
套？
九、（和差倍问题）
一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字
与
个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半
还少
9，求这个两位数？
十、（分配调运）
一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，
已
知过去租用这两种汽车运货的情况如左表所示，现租用该公司5辆
甲
种货车和6辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，问这批货物有多
少
吨？
不等关系
不等式 一元一次不等式 一元一次不等式组
不等式的性质
解集 解集数轴表示 数轴表示
解 法 解 法
实际应用
一、基本概念:
1、不等式:
2、不等号:
3、不等式的解:
4、不等式的解集:
5、解不等式:
6、一元一次不等式:
7、一元一次不等式组:
8、一元一次不等式组的解集:
9、解一元一次不等式组:
二、不等式的性质:
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或式子,不等号方向不变.
(2)不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数,不等号方向不变.
(3)不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
三、规律与方法:
1、不等式的解法:
2、解不等式组的方法:
解一元一次不等式和解一元一次方程类似,有
去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1
等步骤.
区别在哪里?
在系数化为1的这一步中,要特别注意不等式的两边都乘以(或除
以)一个负数时,不等号的方向必须改变方向.
1、一元一次不等式的解法
2、一元一次不等式组的解法
（1）、先分别求出不等式组中各个不等式的解集。
（2）、利用数轴找出各个不等式的解集的公共部分。
（3）、写出不等式组的解集。
特别注意：1、用数轴表示不等式的解集时，” ＜、＞“用
空心，” ≤、≥“用实心。” ＞、≥“向右画，” ＜、
≤“向左画。
2、求几个不等式的解的公共部分的方法和规律:
(1)数轴法 (2)口诀法
同大取大
同小取小
大小小大中间找
大大小小无解了
8x-4≥15x-60
8x-15x≥-60+4
-7x≥-56
x≤8
去分母得:
去括号得:
移项得:
合并同类项得:
化系数为1得:
与解一元一次方程
方法类似
解:
同乘最简公分
母12,方向不变
同除以-7,方
向改变
2 1 51 . 5,3 4
.
x x 解 不 等 式
并 把 它 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来
)54
5(12)12(4 xx
0 1 2-1 3 4 5 6 7 8
我来试试：
把不等式的解集在数轴上表示如下
2.解不等式组:
33)4(2
54
5
3
12
xx
xx
由不等式①得: x≤8
由不等式②得: x≥5
把不等式①、②的解集在数轴上表示如下
∴ 原不等式组的解集为:5≤x≤8
解:
0 1 2-1 3 4 5 6 7 8
与解方程组的方法
完全不同
3、求不等式（组）的特殊解：
(1)求不等式 3x+1≥4x-5的正整数解．
(2)求不等式组 的整数解.
2 1 5
1 ( 2 ) 32
x
x
(1)求不等式 3x+1≥4x-5的正整数解．
移项得:
合并同类项得:
化系数为1得:
解: 3x﹣4x≥-5-1
﹣x ≥-6
x≤6
所以不等式 的正整数解为：1、2、
3、4、5、6
由不等式①得: x＞2
由不等式②得: x≤4
把不等式①、②的解集在数轴上表示如下
∴ 不等式组的解集为:2＜x≤4
(2)求不等式组 的整数解.
2 1 5
1 ( 2 ) 32
x
x
解:
42
∴ 不等式组的整数解为：3、4
四、不等式(组)在实际生活中的应用
当应用题中出现以下的关键词,如大,小,多,少,不小于,不大
于,至少,至多等,应属列不等式(组)来解决的问题,而不能列方程
(组)来解.
用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤:
实际
问题
设一个
未知数
列不等式
（组）
解不等式
（组）
检验解是否
符合情况
1、小明上午8时20分出发去郊游,10时20分时,小亮乘车从同一地点出发,
已知小明每小时走4千米,那么小亮要在11时追上或超过小明,速度至少应
是多少？
【分析】从路程下手找不等关系：
即小亮40分钟行进路程≥小明从8时20分到11时行进路程.
解：设小亮的速度为x千米/时，40分= 小时，
列不等式，得 ，解得x≥16.
答：小亮的速度至少为16千米/时.
2 24(2 )3 3x
3
2
2、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，
A型设备的价格是每台12万元，B型设备的价格是每台10万元。经预算，该企业购
买设备的资金不高于105万元。请你设计该企业有几种购买方案。
变式：若企业每月生产的污水量为2040吨，A型设备每月可处理污水240吨，B型机每月
处理污水200吨，为了节约资金，应选择哪种方案？
解：（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10-x）台，依题意得：
105)10(1012 xx
去括号，得：
因为x取非负整数，所以 210 ，，x
所以有三种购买方案：A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台。
1051010012 xx
移项且合并得： 52 x
系数化为1，得： 5.2x
（2）由题意得： 2040)10(200240 xx
去括号，得：
1x
所以x为1或2。当x=1时，购买资金为 102910112
万元；当x=2时，购买资金为 104810212
万元。因此，为节约资金，应选购A型1台，B型9台。
20402002000240 xx
移项且合并得： 4040 x
系数化为1，得：
（3）在第（2）问条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费用为每吨10
元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少
万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费，A型年消耗费为1万元/
台， B型年消耗费为1万元/台）
（3）根据（2）知，企业购买污水处理设备A型1台，B型9台时费用最低，其10年间自己
处理污水的费用为 20210)91(102
若将污水排到污水厂处理，则需要用
24480001020401210
则节约资金244.8-202=42.8万元。
万元
=244.8万元，
第十章 复习与小结
知识网络
调查
全面调查
抽样调查
样本
总体
个体
样本容量
属性一致
范围不同
收
集
数
据
整
理
数
据
描
述
数
据
分
析
数
据
得
出
结
论
条
形
图
扇
形
图
折
线
图
直
方
图
制表 绘图
样本
一、知识要点回顾
1、统计图有哪些？它们各有什么特点？
2、扇形统计图用圆表示 ，圆心角的度数=（ ）
百分比=（ ）
3、画频数分布直方图的一般步骤有哪些？
4、画频数分布折线图时需要注意什么？
5、频率=（ ）
6、什么时候用全面调查？什么时候用抽样调查？
7、抽样调查中，什么是总体、个体、样本、样本容量？
1．考察全体对象的调查我们常把它称为_______调查；考察部分
对象的调查称为 调查.
2．妈妈做了一份美味可口的菜品，为了了解菜品的咸淡是否合适，
于是妈妈取了一点品尝，这应该属于__________．(填：全面调查
或抽样调查)
3．为了了解某校七年级400名学生的期中数学成绩的情况，从中
抽取了50名学生的数学成绩进行分析。在这个问题中，总体
是 ，
个体是 ，
样本是 ，样本容量是 .
一、知识回顾
4．在进行数据描述时，要显示每组中的具体数据，应采用 图；
要显示部分在总体中所占的百分比，应采用 图；要显示数据
的变化趋势，应采用 图；要显示数据的分布情况，应采用
图.
5．某市为了了解七年级学生的身体素质情况，随机抽取了500名七
年级学生进行检测，身体素质达标率为92％. 请你估计该市6万名七
年级学生中，身体素质达标的大约有 万人.
6．一个容量为80的样本最大值是143，最小值是50，取组距为10，
则可以分成（ ）
(A) 10组 (B) 9组 (C) 8组 (D) 7组
7．大课间活动在我市各校蓬勃开展.某班大课间活动抽查了20名学
生每分钟跳绳次数，获得如下数据（单位：次）：50，63，77，83，
87，88，89，91，93，100，102，111，117，121， 130， 133，
146， 158， 177，188.则跳绳次数在90～110这一组的频率是（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.7
8．某校八年级（1）班为了了解同学们一天零花钱的消费情况，对本班同学
开展了调查，将同学一周的零花钱以2元为组距，绘制如图的频率分布直方图，
已知从左到右各组的频数之比为2∶ 3∶ 4∶ 2∶ 1.
（1）若该班有48人，则零花钱用最多
的是第 组，有 人；
（2）零花钱在8元以上的共有 人；
（3）若每组的平均消费按最大值计
算，则该班同学的日平均消费额
是 元（精确到0.1元）
钱数(元)
人数
12
10
8
6
4
2
二、综合运用
1．下列调查方式中，合适的是（ ）
A．要了解约90万顶救灾帐蓬的质量，采用普查的方式
B．要了解外地游客对旅游景点“竹泉村”的满意程度，采用抽样调查的方式
C．要保证“神舟七号”飞船成功发射，对主要零部件的检查采用抽样调查的
方式
D．要了解全临沂初中学生的业余爱好，采用普查的方式2．在2008年的世界无
烟日（5月31日），小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机
调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟。对于这个关于数据收集与
处理的问题，下列说法正确的是（ ）
A.调查的方式是全面调查B.本地区只有85个成年人不吸烟
C.样本是15个吸烟的成年
D.本地区约有15﹪的成年人吸烟
3．在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1，2，3，5，
小组数据的个数分别是2，8，15，5，则第4小组的频数是（ ）
(A)15 (B)20 (C)25 (D)30
4．在扇形统计图中，其中一个扇形的圆心角是216°，则这年扇形
所表示的部分占总体的百分数是_____________.
5．刘强同学为了调查全市初中生人数，他对自己所在城区人口和
城区初中生人数作了调查：城区人口约3万，初中生人数约
1200．全市人口实际约300万，为此他推断全市初中生人数为12
万．但市教育局提供的全市初中生人数约8万，与估计数据有很
大偏差．请你用所学的统计知识，找出其中错误的原因
______________．
6．阅读对人成长的影响是很大的．希望中学共有1500名学生，为了了解学生
课外阅读的情况，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）随机调查了部分学
生，并将调查结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图．请你根据统计图表
提供的信息解答下列问题：
（1）这次随机调查了 名学生；
（2）把统计表和条形统计图补充完整；
（3）随机调查一名学生，恰好是最喜欢文学类图书的概率是多少？
三、补偿提升
参赛人数（单位：人）
参赛类别0
2
空模
6
8清8
4
海模 车模 建模
空模
建模
车模
海模
25%
25%
某校2009年航模比赛参赛人
数扇形统计图某校2009年航模比赛
参赛人数条形统计图
6 6
4
1．“知识改变命运，科技繁荣祖国”．我市中小学
年都要举办一届科技运动会．下图为我市某校2009
年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车
模、建模四个类别）的参赛人数统计图：
（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是 人和
人；
（2）该校参加航模比赛的总人数是 人，空模所在扇
形的圆心角的度数是 °，并把条形统计图补充完整；
（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，
其中有32人获奖. 今年我市中小学参加航模比赛人数共
有2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是
多少人?
2．某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调
查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图3，图4要求每位同学只能选择一
种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图
中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？
（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？
（3）补全频数分布折线统计图．
图4
人数
乒乓球
20% 足球
排球篮球
40%
50
40
30
20
10
O
项目
足
球
乒 乓
球
篮
球
排
球
图3
课堂小结
1.各统计图的识图方法、特点和画法
2.全面调查和抽样调查的特点及选用
3.抽样调查的有关概念
4.统计图的信息的获取和应用
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