人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线教学课件

5.1.1 相交线 七年级下册（人教版） 第五章 相交线与平行线 教学课件 学习目标 1. 了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质。 2. 理解对顶角性质的推导过程，并会用这个性质进行简单的计算。 3. 通过辨别对顶角与邻补角，培养识图的能力。重点：邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质。难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角。 A B C D O 直线 AB 、 CD 相交于点 O 如果两条直线有一个公共点，就说这 两条直线相交 ，公共点 叫做这两条直线的 交点 。 握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片。如果把剪刀的构造看作两条 相交的直线 ，这就关系到两条相交直线所成的角的问题。 有一个公共点的两条直线形成相交直线 . 请你画出任意两条相交直线 . 看看这四个角有什么关系 ? 问题 : 两条相交直线 . 形成的小于平角的角有几个 ? 任意画两条相交直线 , 在形成的四个角 ( 如图 ) 中 , 两两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关系 ? 两直线相交 所形成的角 分 类 ∠ 3 ∠ 1 ∠ 2 ∠ 4 ∠ 1 和 ∠ 2 4 ∠ 2 和 ∠ ∠ 和 ∠ ∠ 和 ∠ 1 4 3 4 3 ∠ 1 和 ∠ 3 ∠ 和 ∠ 2 C O A B D 4 3 2 1 O A B C D ） （ 1 3 4 2 ） （ O A B C D ） （ 1 3 4 2 ） （ 有关概念： 邻补角： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。 对顶角： 两个角有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 1 、如图所示，三条直线 AB 、 CD 、 EF 相交于一点 O,∠AOC 的对顶角是 ，∠ COF 的对顶角是 ， ∠ COB 的邻补角是 练习 1 ： ∠BOD ∠DOE ∠AOC 和∠ BOD A B C D E F O A B C D O A B C D O A B C D O A B C D O A B E F O A B E F O A B E F O A B E F O D C E F O D C E F O D C E F O D C E F O 2 、三条线相交于一点时共有几对对顶角？几对邻补角？ 对顶角： 2×3=6 邻补角： 4×3=12 1 练习 1 、下列各图中∠ 1 、∠ 2 是对顶角吗？为什么？ 2 1 2 1 2 ) ( ( ( ) ) 对顶角识别方法： 1. 看两个角是否有公共点。 2. 看两个角的两边是否分别互为 反向延长线 . 1 练习 2 、下列各图中∠ 1 、∠ 2 是邻补角吗？为什么？ 2 1 2 1 2 ) ( ( ( ) （ 邻补角识别方法： 1. 两个角有公共顶点。 2. 看两角的一边为公共边， 另一条边互为反向延长线 对顶角的性质 : 对顶角相等 . O A B C D ） （ 1 3 4 2 ） （ 为什么 ? 已知：直线 AB 与 CD 相交于 O 点 ( 如图 ), 求证 : ∠1=∠3 、 ∠ 2=∠4 证明：∵直线 AB 与 CD 相交于 O 点 , ∴∠1+∠2=180° 、 ∠ 2+∠3=180° ∴∠1=∠3 同理可得：∠ 2=∠4 ∠2 ＝ 180° －∠ 1 ＝ 180° － 40° 解：由邻补角的定义，可得 ＝ 140° 由对顶角相等，可得 ∠3 ＝∠ 1 ＝ 40° ∠4 ＝∠ 2 ＝ 140° 若∠ 1 ＋∠３ = ５０ ° ，求各角的度数。 若∠１ = m° ，求各角的度数。 例题讲解 例 1 、如图 , 直线 a 、 b 相交，∠ 1=40°, 求 ∠ 2 、∠ 3 、∠ 4 的度数。 例 2 、如图 , 若∠ 1:∠2=2:7 ，求各角的度数。 解 : 设∠ 1=2x°, 则∠ 2=7x ° 根据邻补角的定义 , 得 2x+7x=180 x=20 则∠ 1=40°, ∠2=140° 根据对顶角相等 , 得 ∠ 3=40°, ∠4=140° 2. 两条直线相交得到四个角 , 其中一个角是 30 °, 则其余 的三个角的度数分别是 ______________________. 1. 若∠ α 与∠ β 是对顶角 , ∠ α =16 °, 则∠ β =_____ 度 16 课堂探究 150 ° 30 ° 150 ° 3. 图中共有几组对顶角 ? B A C 4. 如图 , 直线 AB,CD 相交于点 O, 且 ∠ AOC+∠BOD=100°, 求∠ AOD 的度数 A C B D O 第 4 题 3. 如图 , 直线 AB,CD 相交于点 O, 射线 OE 平分∠ AOD. 已知∠ EOD=60°, 则 ∠ COB=_____ 度 , ∠BOD=_____ 度 A B C D E O 第 3 题 120 60 课堂探究 达标测试 一、判断题 1 、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（ ） 2 、两条直线相交，有两组对顶角。 （ ） 3 、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角， 那么其余的三个角也是直角。 （ ） 二、选择题 1 、如右图直线 AB 、 CD 交于点 O ， OE 为射线，那么（ ） A 。∠ AOC 和∠ BOE 是对顶角； B 。∠ COE 和∠ AOD 是对顶角； C 。∠ BOC 和∠ AOD 是对顶角； D 。∠ AOE 和∠ DOE 是对顶角。 2 、如右图中直线 AB 、 CD 交于 O ， OE 是∠ BOC 的平分线且∠ BOE=50 度， 那么∠ AOE= （ ）度 （ A ） 80 ；（ B ） 100 ；（ C ） 130 （ D ） 150 。 A B C D O E × √ √ C C 三、填空（每空 3 分） 如图 1 ，直线 AB 、 CD 交 EF 于点 G 、 H ，∠ 2=∠3 ，∠ 1=70 度。求 ∠ 4 的度数。 解：∵∠ 2=∠ （ ） ∠ 1=70 ° （ ） ∴∠ 2= （等量代换） 又∵ （已知） ∴∠ 3= （ ） ∴∠ 4=180°—∠ = （ 的定义） A C D B E F G H 1 2 3 4 四、解答题 直线 AB 、 CD 交于点 O ， OE 是 ∠ AOD 的平分线，已知∠ AOC=50 ° 求∠ DOE 的度数。 A B C D O E 图 1 图 2 1 对顶角相等 已知 70° ∠ 2=∠3 70 ° 等量代换 3 110 ° 邻补角 解：∵∠ AOC=50° （已知） ∴∠ AOD=180°—∠AOC=180°—50°=130° （邻补角的定义） ∵ OE 平分∠ AOD （已知） ∴∠ DOE=1/2∠AOD=130°÷2=65° （角平分线的定义） 四、解答题 直线 AB 、 CD 交于点 O ， OE 是∠ AOD 的平分线，已知∠ AOC=50 ° 。求∠ DOE 的度数。 A B C D O E 图 2 归纳小结 角的 名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对 顶 角 邻 补 角 对顶 角相 等 邻补 角互 补 ②有公共顶点 ; ③没有公共边 ①两条直线相交形成的角； ①两条直线相交而成； ②有公共顶点 ; ③有一条公共边 ①都是两条直线相交而成的角； ③都是成对出现的 ②都有一个公共顶点； ②两直线相交时， 对顶角只有两对 邻补角有四对 ①有无公共边 再见 5.1.2 垂线 第 1 课时 学习目标 1 ．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。 2 ．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。 3 ．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。重点 : 垂线的定义及性质。难点 : 垂线的画法 1 、一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个， 而补角则可以有 个。 一 两 无数 复习导入 2 、右图中∠ AOC 的对顶角是 , 邻补角是 . ∠DOB ∠AOD 和∠ COB 1 A C B D E 2 ) O ) 3 、若∠ 1 与∠ 2 是对顶角，∠ 1=16 0 ，则∠ 2=______ 0 ； 若∠ 3 与∠ 4 是邻补角，则∠ 3+∠4 =______ 0 4 、若∠ 1 与∠ 2 为对顶角，∠ 1 与∠ 3 互补，则∠ 2+∠3= 0 5 、如图 1 ，∠ 2 与∠ 3 互为邻补角，∠ 1=∠2 ，则∠ 1 与∠ 3 的关系为 。 图 1 16 180 180 互补 归纳填空 角的 名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对 顶 角 邻 补 角 对顶 角相 等 邻补 角互 补 ② 有公共顶点 ; ③ 没有公共边 ① 两条直线相交形成的角； ① 两条直线相交而成； ② 有公共顶点 ; ③ 有一条公共边 ① 都是两条直线相交而成的角； ③ 都是成对出现的 ② 都有一个公共顶点； ② 两直线相交时， 对顶角只有两对 邻补角有四对 ① 有无公共边 两条直线相交 一般情况 对顶角：相等 邻补角：互补 特殊情况 B A C D O 1 2 3 4 在相交线的模型中 , 固定木条 a, 转动木条 b, 当 α =90 °时 ,a 与 b 垂直 . 当 b 的位置变化时 ,a 、 b 所成的角 α 也会发生变化 . 当 α ≠90 °时 ,a 与 b 不垂直，叫斜交 . 两条直线相交 斜交 垂直 垂直是相交的特殊情况 ） α a b b b b b ） α 观察与思考 1. 垂直定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线 互相垂直 ，其中一条直线叫另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫 垂足 。 例如、如图， a 、 b 互相垂直 ,O 叫垂足 .a 叫 b 的垂线， b 也叫 a 的垂线。 b a O 从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。 一、垂直的定义 日常生活中 , 两条直线互相垂直的情形很常见 , 说出图 5.1-6 中的一些互相垂直的线条 . 你能再举出其他例子吗 ? 围棋盘的横线和竖线 铅垂线和水平线 b a O A B C D O A B O A M B N 图 1 图 4 图 3 图 2 b a 1 ）图形： O α 2 ）文字： a 、 b 互相垂直 , 垂足为 O 3 ） 符号： a⊥b 或 b⊥a, 若要强调垂足， 则记为 ： a⊥b, 垂足为 O 2. 垂直的表示： A B C D O 书写形式： 如图，当直线 AB 与 CD 相交于 O 点， ∠AOD=90 °时， AB ⊥ CD ，垂足为 O 。 ① 判定： ∵∠ AOD=90 °（已知） ∴AB ⊥ CD （垂直的定义） 书写形式： 反之，若直线 AB 与 CD 垂直，垂足为 O ，那么， ∠AOD=90 °。 ② 性质： ∵ AB ⊥ CD （已知） ∴ ∠AOD=90 ° （垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90 ° ) 3. 垂直的书写形式： 练习 1. 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（ ） （ A ）有一个角为 90° （ B ）有两个角相等 （ C ） 有三个角相等 （ D ）有四个角相等 （ E ）有四对邻补角 （ F ）有一对对顶角互补（ G ）有一对邻补角相等 （ H ）有两组角相等 A C D F G O A B C D ） （ 1 3 4 2 ） （ 练一练 如图，已知直线 AB 、 CD 都经过 O 点， OE 为射线， 若∠ 1 ＝ 35°, ∠2 ＝ 55° ，则 OE 与 AB 的位置关系 是 . C D A B O E 1 2 切记： 要证垂直必先想到直角（ 90° ） 联想数学 练习 2 ： OE⊥AB A C E B D O 1 ∴ ∠EOB=90 ° ( 垂直的定义 ) ∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD =90 ° +55 ° =145 ° ( 解 : ∵ AB ⊥ OE （已知） ∵ ∠BOD= ∠1=55 ° 二、例题 例 1 如图，直线 AB 、 CD 相交于点 O ， OE⊥AB ， ∠1=55°, 求 ∠EOD 的度数 . （对顶角相等） 1. 在小学学段我们曾 通过折纸的方法， 得到两条垂线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？ 想一想 做一做 2. 如图 (5) ：直线 a 上有一点 A ，经过点 A ，你能折出几条与 a 垂直的直线？如图 (6) ：直线 a 外有一点 B, 经过点 B ，你能折出几条与 a 垂直的直线？ 想一想 做一做 过点 A 、 B 分别可以做直线 a 的几条垂线呢？ 问题： 怎么样画垂线？ 垂线的画法 问题： 这样画 l 的垂线可以画几条？ 1 放、 2 靠、 3 画线、 l O 如图，已知直线 l, 作 l 的垂线。 工具：直尺、三角板 A 无数条 1. 垂线的画法： l A 如图，已知直线 l 和 l 上 的一点 A , 作 l 的垂线 . B 4 画线 : 沿着三角板的另一直角边画出垂线 . 1 放 : 放直尺 , 直尺的一边要与已知直线重合 ; 3 移 : 移动三角板到已知点 ; 2 靠 : 靠三角板 , 把三角板的一直角边靠在直尺上 ; 则所画直线 AB 是过点 A 的直线 l 的垂线 . 1. 垂线的画法： l A 如图，已知直线 l 和 l 外 的一点 A , 作 l 的垂线 . B 4 画线 : 沿着三角板的另一直角边画出垂线 . 1 放 : 放直尺 , 直尺的一边要与已知直线重合 ; 3 移 : 移动三角板到已知点 ; 2 靠 : 靠三角板 , 把三角板的一直角边靠在直尺上 ; 则所画直线 AB 是过点 A 的直线 l 的垂线 . 请同学们画一下 1. 垂线的画法： 结论 : 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 . 能作一条 , 而且只能作一条 . 问题 : 过已知直线 l 和 l 上 ( 或外 ) 的一点 A , 作 l 的垂线 , 可以作几条 ? 注意 : 过一点画已知线段 ( 或射线 ) 的垂线 , 就是画这条线段 ( 或射线 ) 所在直线的垂线 . 垂线的性质（ 1 ） ① 过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ ） . A B C D C 练一练 练习 3. E E E 注意 : 画线段 ( 或射线 ) 的垂线时 , 有时要将线段延长 ( 或将射线反向延长 ) 后再画垂线 . ② 、 练一练 练习 5 、 点 O 是直线 AB 上的一点， OC 是射线， OE 平分 ∠ AOC ， OF 平分 ∠ BOC ，试确定 OE 与 OF 的位置关系．并说明理由． A B O C E F 1 2 练一练 1 、垂线的定义 2 、垂线的画法 3 、垂线的性质（ 1 ） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 一、放；二、靠；三、移；四、画 小结： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线 互相垂直 ，其中一条直线叫另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫 垂足 。 5 .1.2 垂线 第 2 课时 学习目标 1. 经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动 , 进一步发展空间观念 , 培养学生用几何语言准确表达的能力。 2. 了解垂线段的概念 , 了解垂线段最短的性质 , 体会点到直线的距离的意义 , 并会度量点到直线的距离。 1. 垂直定义 ：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 b a 用“⊥”和直线字母表示垂直 O α 2. 垂直的表示： 例如、如图， a 、 b 互相垂直 , 垂足为 O ，则记为： a⊥b 或 b ⊥ a, 若要强调垂足，则记为： a⊥b, 垂足为 O. 一、复习 A B C D O 书写形式： 如图，当直线 AB 与 CD 相交于 O 点， ∠ AOD=90 ° 时， AB ⊥ CD ，垂足为 O 。 ∵∠ AOD=90 ° （已知） ∴ AB ⊥ CD （垂直的定义） 书写形式： 反之，若直线 AB 与 CD 垂直，垂足为 O ，那么， ∠ AOD=90 ° 。 ∵ AB ⊥ CD （已知） ∴ ∠ AOD=90 ° （垂直的定义） 应用垂直的定义： ∠ AOC= ∠ BOC= ∠ BOD=90 ° 3. 垂直的书写形式： l A 如图，已知直线 l 和 l 上 的一点 A , 作 l 的垂线 . B 3 画线 : 沿着三角板的另一直角边画出垂线 . 2 移 : 移动三角板到已知点 ; 1 靠 : 靠三角板 , 把三角板的一直角边靠在直尺上 ; 则所画直线 AB 是过点 A 的直线 l 的垂线 . 垂线的画法复习： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 . 注意 : 过一点画已知线段 ( 或射线 ) 的垂线 , 就是画这条线段 ( 或射线 ) 所在直线的垂线 . 垂线的性质（ 1 ） : P 请你画图，并用尺量一下，看看哪一条线段最短？ 此问题就是 “直线外一点与已知直线上各点所连的线段中 , 有没有最短的线段 ?” 由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做 垂线段 。 P l A 要找 垂线段 ， 先把 点 来看。 过点画垂线， 点足 垂线段。 例如：如图， PA⊥l 于点 A ， 线段 PA 叫做点 P 到直线 l 的垂线段 . 垂线段的概念： 垂线段 是 垂线 上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足。 A B P D 特别强调 : 直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 ，叫做点到直线的距离。 P l A 例如：如图， PA⊥l 于点 A ， 垂线段 PA 的 长度 叫做点 P 到直线 l 的距离 . 例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示 ? l P A 解 : 过 P 点作 PA⊥l 于点 A ，垂线段 PA 的长度就是该同学的跳远成绩 . 点到直线的距离： 2. 如图 , ∠ACB=90 0 , CD⊥AB, 线段 AC 、 BC 、 CD 中最短的是 ( ) (A) 、 AC (B) 、 BC 、 (C) 、 CD (D) 、不能确定 1 、已知点 A ，与点 A 的距离是 5cm 的直线可画 ( ) A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 无数条 D A B C D C 例 1 、选择题： B D ∵ BO⊥AC 于 O 点 （已知） ∵∠ ABC=90°( ) ∠ 1=60° （ ） 已知 ∴∠ AB O =30° 解： （已知） ∴∠ BOC=90° ∴∠ BOD=30° （余角定义） （余角定义） 已知 （垂直定义） 又 ∵ ∠ 2=∠1=60° 例 2 、 如图 ,∠ABC=90 ° ,∠1=60 ° , 过 B 作 AC 的垂线 BO, 垂足是 O, 过 O 作 BC 的垂线 , 垂足是 D, 若∠ 1= ∠2, 求∠ ABO, ∠BOD. 1 2 A C O ） ) D B C A E 已知：如图 AD ＜ AE ＜ AC ＜ AB 能说 AD 的长是 A 到 BC 的距离吗？ 答：不能。 想一想： 解： ∵ AC⊥BC 于 C( 已知） ∴ AC ＜ AB （ 垂线段最短 ） 又∵ CD⊥AD 于 D( 已知） ∵ DE⊥BC 于 E( 已知） ∴ CD ＜ AC （ 垂线段最短 ） ∴ DE ＜ CD （ 垂线段最短 ） ∴ AB ＞ AC ＞ CD ＞ DE 例 3 、如图： AC⊥BC 于 C,CD⊥AB 于 D,DE⊥BC 于 E, 试比较四条线段 AB 、 AC 、 DC 和 DE 的大小。 C A D E B 例 6 、 1. 如图，点 M 、 N 分别在直线 AB 、 CD 上，用三角板画图， 1) 过 M 点画 CD 的垂线交 CD 于 F 点 ,2)M 点和 N 点的距离是线段 ____ 的长， 3)M 点到 CD 的距离是线段 ____ 的长。 MN MF ∴直线 MF 为所求垂线。 A B C D M F A B C D E F G M · · 问题 1 ： 长方体的顶点 A 处有一只蚂蚁想爬到点 C 处，请你帮它画出爬行的最佳路线。并说明理由。 问题 2 ： 若 A 处的蚂蚁想爬到棱 BC 上，你认为它的最佳路线是什么？ 问题 3 ： 若蚂蚁在点 M 处，想爬到棱 BC 上，请你设计一条最佳路线。 ┏ N 拓展应用 2 1 、垂线段的定义 2 、点到直线的距离 3 、垂线的性质（ 2 ） 垂线段最短 小结： 从直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 , 叫做点到直线的距离 . 由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做 垂线段 。 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角 学习目标 1. 理解三线八角中没有公共顶点的角的位置关系 ，知道什么是同位角、内错角、同旁内角 . 2. 通过比较、观察、掌握同位角、内错角、同旁内角的特征，能正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角 . 重点 : 同位角、内错角、同旁内角的识别。难点 : 较复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的识别。 复习： 1.平面上两条直线有哪两种位置关系 ? （ 平行 和 相交 ） 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 两条直线相交有几个角? （ 4个 ） 3. 两条直线与第三条直线相交呢 ？ （ 8个 ） 4. 你能找出这8个角的关系吗？ ∠1与∠3，∠2与∠4， ∠5与∠7，∠6与∠8 分别是 对顶角 。 5. 这些角还有其它的关系吗 A C B D E F 如图：1、怎样描述这三条直线的位置关系？ 直线 AB、CD 被 EF 所截 2、在两个交点处形成几个角？这些角有哪些与我们学过的有关？ 7 1 2 3 4 5 6 8 观察 截线 被截直线 观察 F 问题：1、观察∠1与∠5的位置关系 ①在直线 EF 的同侧 ②分别在直线 AB、CD 的同方向 A C B D E 1 2 3 4 5 6 7 8 1 5 同位角： ⑶图中还有其它的同位角吗？若有，请你找出来 . ① 5 1 ② 6 2 ③ 3 7 同位角是 F 形状 8 4 ④ F 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A B E A C B D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 观察 问题：2、观察∠3与∠5的位置关系 ①在直线 AB、CD 的之间 ②在直线 EF 的两侧 3 5 内错角： ⑵ 图中还有其它的内错角吗？若有，请你找出来 . 1 3 7 5 2 4 8 6 D C A B E 7 2 5 4 7 2 5 4 内错角是 Z 形状 A C B D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 观察 问题3：观察∠4与∠5的位置关系 ①在直线 AB、CD 的之间 ②在直线 EF 的同侧 4 5 同旁内角： 活动 3 认识同旁内角 ⑵ 图中还有其它的同旁内角吗？若有，请你找出来 . 1 3 7 5 2 4 8 6 D C A B E 同旁内角是 U 形状 5 2 7 4 7 4 5 2 两条直线被第三条直线所截， “方位相同的（左上，左下，右上，右下，） ”的角叫做 同位角 ；位于 “内部，两侧” 的角是 内错角 ； “内部，同侧” 的角是 同旁内角 ，简称三线八角。 形如字母“ U” 在截线同侧 夹在两条被截线之间 同旁内角 形如字母“ Z” ( 或反置 ) 在截线两侧 ( 交错 ) 夹在两条被截线之间 内错角 形如字母“ F” ( 或倒置 ) 在截线同侧 在被截线同一方 同位角 图形结构特征 位 置 特 征 角的名称 课堂练习 识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角。 1 2 （1） 同位角 1 2 （2） 1 2 （3） 1 2 （4） 1 2 （5） a b c 1 2 (6) 1 2 (7) 1 2 (8) 1 2 1 2 (9) (10) 同位角 同位角 同位角 同位角 内错角 同旁内角 2、下列各图中 与 哪些是同位角？哪些不是？ 1 2 ( ) 1 2 （ ） （ ） 1 2 （ ） 1 2 例 1 ： 如图，直线 DE 截直线 AB ， AC ，构成 8 个角。 指出所有的同位角、内错角和同旁内角。 被截线 同位角 内错角 同旁内角 ∠ 2 和 ∠ 5 ∠ 1 和 ∠ 8 ∠ 3 和 ∠ 6 ∠ 4 和 ∠ 7 ∠ 4 和 ∠ 5 ∠ 1 和 ∠ 6 ∠ 1 和 ∠ 5 ∠ 4 和 ∠ 6 截线 课堂练习： 1、如图，（1） 和 是直线_____与直线____被直线______所截形成的__________。 （2） 和 是直线_____与直线____被直线______所截形成的_________。 4 3 2 1 A B C D 内错角 BD BC AD BD CD AB 内错角 1 4 A B C D 2 3 A B D C (1) （2） 例 2 如图：直线 DE,BC 被直线 AB 所截 . （ 1 ）∠ 1 与∠ 2 ， ∠ 1 和 ∠ 3 ， ∠ 1 和 ∠ 4 各是什么角？ （ 2 ）如果∠ 1=∠4 ，那么∠ 1 与∠ 3 相等吗？∠ 1 与∠ 3 互补吗？为什么？ 4 3 2 1 F E D C B A 能力挑战 : 看图填空 （ 1 ）若 ED ， BF 被 AB 所截，则 ∠ 1 与 _____ 是同位角。 ∠2 能力挑战 : 看图填空 （ 2 ）若 ED ， BC 被 AF 所截，则 ∠ 3 与 _____ 是内错角。 ∠4 能力挑战 : 看图填空 （ 3 ） ∠ 1 与 ∠ 3 是 AB 和 AF 被 _____ 所截构成的 _______ 角。 DE 内错 能力挑战 : 看图填空 （ 4 ） ∠ 2 与 ∠ 4 是 _____ 和 _____ 被 BC 所截构成的 ______ 角。 AB AF 同位 小 结 1、这节课研究的是两条直线被第三条直线所截形成的不同顶点处的两个角之间的位置关系，即同位角、内错角、同旁内角。 2、同位角、内错角、同旁内角的特点： 与被截直线的关系 与截线的关系 同位角 内错角 同旁内角 被截直线的 同一方向 被截直线 之间 被截直线 之间 截线的 同旁 截线的 两旁 截线的 同旁 5.2.1 平 行 线 学习目标 1. 了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系 , 知道平行公理以及平行公理的推论 .2. 会用符号语言表示平行公理推论 , 会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线 . 重点 : 探索和掌握平行公理及其推论 . 难点 : 对平行线本质属性的理解 , 用几何语言描述图形的性质 . 问题 1 ： 分别将木条 a ， b 与木条 c 钉在一起 , 并把它们想象成在同一平面内两端可以无限延伸的三条直线 , 顺时针转动 a （ 1 ） 直线 a 与直线 b 的交点位置将发生什么变化 ? （ 2 ） 在这个过程中 , 有没有直线 a 与 b 不相交的位置 ? 平行概念： 同一平面内 , 不相交的两条直线叫做平行线． 我们通常用 “ //” 表示平行 记作： AB ∥ CD 记作： m ∥ n C D B A · · · · m n 读作：　“　 m 平行于 n ” 　　 读作：　“ AB 平行于 CD” 　 （１） 如果没有“ 同一平面内 ”，不相交的两条直线平行吗？你能在生活中找出例子嘛？ （２）定义中的“ 直线 ”能改成“线段或射线”吗？ A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 问题 2 ： 同一平面内 , 两条直线存在哪些位置关系 ? 问题 3 ： 平行线在生活中很常见 , 你能举出一些例子吗 ? 相交和平行 问题 4 ： 如何画平行线呢？给一条直线 a ， 你能画出直线 a 的平行线吗？ · A B P 如何画平行线 ? 一、放 二、靠 三、移 四、画 A B 可以画多少条平行线呢？ 无数条 问题 5 ： 过点 B 画直线 a 的平行线，能画出几条？ （三）平行公理及其推论 平行 公理 ： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 问题 6 ： 再过点 C 画直线 a 的平行线，它和前面过点 B 画出的直线平行吗 ? （三）平行公理及其推论 平行 公理推论 ： 如果两条直线都与第三条直线平行 , 那么这条直线也互相平行． 实质是：平行具有传递性 如果 b ∥ a ， c ∥ a ，那么 b ∥ c. 1 、判断正误： （ 1 ）两条不相交的直线叫做平行线。 （ 2 ）有且只有一个公共点的两直线 是相交直线。 （ 3 ）在同一平面内的两条直线一定 平行。 （ 4 ）一个平面内的两条直线，必把 这个平面分为四部分。 （ × ） （ √ ） （ × ） （ × ） 2 、下列语句中，正确的个数是 （ ） （ 1 ）不相交的两条直线是平行线 （ 2 ）同一平面内，两直线的位置关系有两种，即相交或平行 （ 3 ）若线段 AB 与 CD 没有交点则 AB//CD （ 4 ）若 a//b,b//c, 则 a 与 c 不相交 （ A)1 个 （ B ） 2 个 （ C ） 3 个 （ D ） 4 个 B 3 、下列说法正确的是（　　　） Ａ、一条直线的平行线有且只有一条 Ｂ、经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 Ｃ、经过一点有两条直线与某一直线平行 Ｄ、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 Ｄ 3 、如图，长方体的各棱中，与 A Ａ １ 平行的条数有（　　） Ａ、１　　Ｂ、２　　　　Ｃ、３　　　Ｄ、４ A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Ｃ 5 、如图所示， （１）过ＢＣ上任意一点Ｐ画 ＡＢ的平行线交ＡＣ于Ｔ； （２）过Ｃ画ＭＮ //AB ； （ 3 ）直线 PT ， MN 是何种位置关系？试说明理由。 A B C P 4 、已知直线 a 与 b 都经过点 P ，并且 a//c,b//c, 那 么 a 与 b 必重合，这是因为 1 ．平面内两条直线有哪些位置关系？ 2 ．平行公理及其推论的内容是什么？ （四）归纳小结 5.2.2 平行线的判定 学习目标 1 、使学生掌握平行线的四种判定方法，并初步运用它们进行简单的推理论证。 2 、初步学会简单的论证和推理，认识几何证明的必要性和证明过程的严密性。重点 : 在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导难点 : 定理形成过程中的逻辑推理及其书面表达。 复习回顾 : 2. 过直线外一点与一条直线平行的直线只有一条． 1. 两条直线不相交，就叫平行线． 3. 如果直线 、 都和 平行， 那么 、 就平行． 一、判断 : 103 引入新课 1. 在同一平面内不相交的两条 直线是平行线，你有办法 测定两条直线是平行线吗？ 104 一、放 二、靠 三、推 四、画 平行线的画法： “推平行线法”： 回忆所学 b 2 1 a c 1 2 a b c （ 1 ）画图过程中， 什么角始终保持相等？ （ 2 ） 直线 a ， b 位置关系如何？ 同位角相等 ∠ 1=∠2 两直线平行 a∥b 探索新知 c a b 1 2 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简单地说： 同位角相等，两直线平行。 ∵ ∠ 1=∠2 （已知） ∴ a∥b （同位角相等，两直线平行 ） 如图： 【符号语言】 平行线的判定方法一 要判断直线 a //b ，你有办法了吗 ? 火眼金睛 ， 请找出图中的平行线 C A D B E F 如果∠ ADE=∠ABC, 则＿＿∥ ＿＿ 如果∠ ACD=∠F, 则＿＿∥ ＿＿ 如果∠ DEC=∠BCF, 则＿＿∥ ＿＿ DE BC CD BF DE BC 108 A C E F 2 3 B 1 D １． 如图，∠ 1=∠2=55° ，∠ 3 等于多少度？直线 AB ， CD 平行吗？说明你的理由． 知识应用 109 变式 2 ： 如图，∠ 1=55° ，∠ 2=125° ，∠ 3 等于 多少度？直线 AB ， CD 平行吗？说明你的理由． 知识应用 变式 1 ： 如图，∠ 1=∠2=55° ，∠ 3 等于多少度？直线 AB ， CD 平行吗？说明你的理由． E F 2 C A 3 B 1 D 变式 1 C A E F 2 3 B 1 D 变式 2 110 简单说成 : 内错角相等，两直线平行 . 两条 直线被 第三条 直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 . 符号语言：如图 ∵ ∠ 3=∠4 （已知） ∴ a∥b （内错角相等，两直线平行） 3 4 a b c 平行线的判定方法二 交流与发现： 如图， ∠ 1 与∠ 2 互补 ，直线 a 与直线 b 平行吗？为什么？ 由此，又得到怎样的方法去判定两条直线平行呢？ （第 2 题） 1 2 b 3 a c ∴ AB∥CD （同旁内角 互补 ，两直线平行） 同旁内角 互补 ，两直线平行。 ∵ ∠ 1+∠2=180 ° 符号语言： 1 2 A B C D a 两条 直线被 第三条 直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 . 平行线的判定方法三 1.同位角相等 ，两直线平行。 3.同旁内角 互补 ，两直线平行 。 2.内错角相等 ，两直线平行。 平行线的判定方法 概括： 114 判定两条直线平行的方法 文字叙述 符号语言 图形 相等 两直线平行 ∵ ( 已知 ) ∴a∥b 相等 两直线平行 ∵ ( 已知 ) ∴a∥b 互补 两直线平行 ∵ . ( 已知 ) ∴a∥b 同位角 内错角 同旁内角 ∠ 1=∠2 ∠ 3=∠2 ∠ 2+∠4=180° a b c 1 2 3 4 115 装修工人正在向墙上钉木条，如果木条 b 与墙壁的边缘垂直，那么木条 a 与墙壁的边缘所夹的角为多少度时，才能使木条 a 与木条 b 平行？ 1 2 ? 当∠ 2=90 ° 时， ∠ 1=∠2 ， 根据 同位角相等，两直线平行 ； 木条 a 与木条 b 平行。 应用拓展 学以致用 1. 已知：如图， a⊥c,b⊥c 。求证： a∥b 。 1 2 a b c 结论： 在同一平面内， 垂直于同一条直线的 两条直线互相平行 。 2 . 如图， AD 平分∠ BAC ， ∠ 1=∠3 ， 能推出 AB ∥ CD 吗？说明理由。 3. 如图，已知 ∠ MCA = ∠ A ， ∠ DEC = ∠ B ， 那么 D E ∥ MN 吗？为什么？ A E B C D N M （第 3 题） 2 1 3 B C D A （第 2 题） 加油啊！推理就像走楼梯，要一步一步的逐层递进！ 2 1 3 B C D A （第2题） 2 . 解： ∵ AD 平分∠ BAC （已知） ∴ ∠ 1=∠2 （角平分线的定义） 又 ∵ ∠ 1 = ∠3 （已知） ∴ ∠ 2 = ∠3 （等量代换） ∴ AB ∥ CD （内错角相等，两直线平行。） A E B C D N M （第3题） ∴ AB ∥ MN （内错角相等，两直线平行。） 3 . 解： ∵ ∠ MCA = ∠ A（已知） 又 ∵ ∠ DEC = ∠ B（已知） ∴ AB ∥ DE （同位角相等，两直线平行。） ∴ DE ∥ MN （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。） 注意哦！ 推理时 可别忘了写上重要的 理由 哦！ 1. 如果∠ A ＝∠ 3 ，那么 　 ∥ , （　 ） 2. 如果∠ 2 ＝∠ E ，那么 　 ∥ , 　　 （　 ） 3. 如果∠ A+∠ABE ＝ 180 0 ，那么 ∥ , 　 （ 　　　　 ） 4. 如果∠ 2 ＝ 　　 ，那么 DA∥EB （　　　　　　 ） 5. 如果∠ DBC ＋ 　 ＝ 180 0 ，那么 DB∥EC （　　　　　　 ） A B C D E 1 2 3 AD BE 同位角 相等 , 两直线平行 . BD CE 内错角 相等 , 两直线平行 . AD BE 同旁内角互补 , 两直线平行 . ∠ D 内错角相等 , 两直线平行 . ∠ C 同旁内角互补 , 两直线平行 . 1.填空（认真思考） 121 自我测试 ２ . 已知∠ 3=45 ° ，∠ 1 与∠ 2 互余，试说明 ？ 解：∵∠ 1=∠2 （对顶角相等） ∠ 1+∠2=90°( 已知 ) ∴∠1=∠2=45° ∵ ∠ 3=45 ° ( 已知 ) ∴∠ 2=∠3 ∴ AB∥CD( 内错角相等，两直线平行 ) 1 2 3 A B C D AB//CD 3. 如图：已知 ∠ 1=75 o , ∠2 =105 o 问： AB 与 CD 平行吗？为什么？ A C 1 4 2 3 B D 5 同位角相等 内错角相等 同旁内角 互补 两直线平 行 判定 数量关 系 位置关系 小结 平行线的判定示意图 5.3.1 平行线的性质 学习目标 1. 使学生理解平行线的性质，能初步运用平行线的性质进行有关计算． 2. 通过本节课的教学，培养学生的概括能力和“观察－猜想－证明”的探索方法，培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力． 3. 培养学生的主体意识，向学生渗透讨论的数学思想，培养学生思维的灵活性和广阔性．重点 : 平行线性质的研究和发现过程是本节课的重点．难点 : 正确区分平行线的性质和判定是本节课的难点． 复习回顾 两直线平行 1 、 同位角相等 2 、内错角相等 3 、同旁内角互补 平行线的 判定 方法 : 反过来 , 如果两条直线平行 , 同位角 、 内错角 、 同旁内角各有什么关系呢 ? 根据右图，填空： ① 如果 ∠1 ＝ ∠ C ， 　那么＿＿ ∥ ＿（　　　　　 　 　） ② 如果 ∠1 ＝ ∠ B 那么 ＿＿ ∥ ＿ （　　 　　 ） ③ 如果 ∠2 ＋ ∠ B ＝ 180° ， 那么 ＿＿ ∥ ＿＿ （ 　　 ） AB CD EC BD 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 EC BD 同旁内角互补 , 两直线平行 角的关系 线的关系 思考： 条件和结论反过来，成立吗？ 条件是 ____ 、 结论是 ____ ？ ( 角 / 线的关系 ) 判定 由“ 角 ”定“ 线 ” 条件： a∥b ，探索同位角的关系 1. 画两条平行线 a // b ，然后画一条截线 c 与 a 、 b 相交，标出如图的角 . 任选一组同位角、内错角或同旁内角，度量这些角，把结果填入下表： 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 a b c 1 3 2 4 8 5 7 6 发现： ________________________ 同位角相等 探究一 1. 任意一条直线去截平行线 a 、 b 所得的同位角都相等（ ） 2. 任意一条直线去截两条 不平行的 直线 a 、 b 所得的同位角都相等（ ） 发现性质： 两条 _____ 线被第三条直线所截，同位角 _______ . 平行 相等 思考判断 平行线的性质 1 ： 结论 两条 _____ 线被第三条直线所截，同位角 _______ . ∴ ∠1=∠2. ∵ a∥b, 简写为： _______________________ 符号语言 : b 1 2 a 平行 相等 两直线平行，同位角相等 . 判定：任意两条线被第三条直线所截，同位角都 相等吗？（ ） 猜想：两直线平行，内错角 _____, 同旁内角 _____ 相等 互补 性质发现 如图：已知 a//b, 那么  2 与  3 相等吗？ 利用平行线的性质 1 ，说明理由 ? 解 ∵a∥b( 已知 ), ∴∠1=∠2( 两直线平行 , 同位角相等 ). 又 ∵ ∠1=∠3( 对顶角相等 ), ∴ ∠2=∠3( 等量代换 ). 探究二 b 1 2 a c 3 平行线的性质 2 ： 结论 两条 _____ 线被第三条直线所截，内错角 _______ . ∴ ∠2=∠3. ∵ a∥b, 简写为： _______________________ 符号语言 : 平行 相等 两直线平行，内错角相等 . 判定：任意两条线被第三条直线所截，内错角都 相等吗？（ ） b 1 2 a c 3 性质发现 解： ∵a//b （已知） , 如图 , 已知 a//b , 那么  2 与  4 有什么关系呢？利用 平行线的性质 1 ， 说明理由 ? b 1 2 a c 4 ∴  1=  2 （两直线平行， 同位角相等） . ∵  1+  4=180° （邻补角定义） , ∴  2+  4=180° （等量代换） . 探究三 平行线的性质 3 ： 结论 两条 _____ 线被第三条直线所截，同旁内角 _______ . ∴  2+  4=180° ∵ a∥b, 简写为： _______________________ 符号语言 : 平行 互补 两直线平行，同旁内角互补 . b 1 2 a c 4 性质发现 快速口答： 当 a∥b 时 ,∠1 与 ∠2 有什么关系 ? 依据？ a b 1 2 a b 1 2 b a 1 2 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ）  1+  2=180° 两直线平行，同旁内角互补 . （ 2 ）  1=  2 两直线平行，内错角相等 . （ 3 ）  1=  2 两直线平行，同位角相等 . 平行线的性质： 由 ______, 定 _____ 线 角 a b c 1 2 3 4 50° 两直线平行，同位角相等 . 50° 两直线平行，内错角相等 . 130° 两直线平行，同旁内角互补 . 变式 1: 已知 ∠3 =∠4 ， ∠1=47°, 求 ∠2 的度数？ ∴∠ 2= 47 （ ） 解： ∵ ∠3 =∠4( ) ∴ a∥b ( ) 又 ∵∠ 1 = 47 0 ( ) c 1 2 3 4 a b d 两直线平行，同位角相等 同位角相等,两直线平行 已知 已知 A B C D 115° 100° 变式 2: 如图，是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得 ∠A=115° ， ∠D=100° 。已知梯形的两底 AD//BC ，请你求出另外两个角的度数。 解 : ∵AD ∥BC ∴ ∠A 和 ∠B 互补（两直线平行，同旁内角互补） ∠D 和 ∠C 互补 （两直线平行，同旁内角互补）又 ∵ ∠A=115° ， ∠D=100° ∴ ∠B=180°-∠A=180°-115°=65° ∠C=180°-∠D=180°-100°=80° 即梯形另外两个角的度数是： 65° ， 80° 。 5. 如图在四边形 ABCD 中 , 已知 AB∥CD, ∠B = 60 0 . ① 求 ∠C 的度数 ; ② 由已知条件能否求得 ∠A 的度数 ? A B C D 解 : ① ∵ AB∥CD( 已知 ), ∴ ∠B + ∠C= 180 0 ( 两直线平行 , 同旁内角互补 ). ∴∠C = 180 0 - ∠B =120 0 ② 根据题目的已知条件 , 无法求出 ∠A 的度数 . 施展你的才能 B 变式 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 2. 线的关系 角的关系 判定 性质 平行线的性质和平行线的判定方法的 区 别 与 联 系 小结 1. 平行线的性质 平行线的性质： 由“ ____ ” 定“ ____ ” 由“ ____ ” 定“ ____ ” 3. 平行线的判定： 线 角 角 线 （ ） （ ） 5.3.2 命题、定理、证明 学习目标 1 、掌握命题的概念 , 并能分清命题的组成部分 .2 、经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解。 3 、初步培养不同几何语言相互转化的能力。重点 : 命题的概念和区分命题的题设与结论难点 : 区分命题的题设和结论 预习提示：预习课本 20-22 页，回答下列问题 ： 1 、对一件事情 的语句，叫做命题。 2 、命题由 和 组成。 是已知事项，＿＿ 是由已知事项推出的事项。 3 、命题常可以写成 的形式。“ ”后接的部分是题设，“ ”后面接的部分是结论。 4 、 叫真命题 叫假命题， 叫定理。 5 、在很多情况下，一个命题的正确性要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫做 。 6 、判断一个命题是假命题，只需要 ，它符合命题的题设，但不满足结论。 作出判断 题设 结论 题设 结论 如果 ……, 那么 …… 如果 那么 题设成立，结论一定成立的命题 题设成立，不能保证结论一定成立的命题 经过推理证实的真命题 举反例 证明 问题 1 　 请同学读出下列语句 （ 1 ）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行； （ 2 ）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （ 3 ）对顶角相等； （ 4 ）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 像这样判断一件事情的语句，叫做命题（ proposition ） . 命题的概念 2 、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。 如：画线段 AB=CD 。 判断一件事情的语句叫做 命题 。 注意： 1 、 只要对一件事情作出了 判断 ，不管正确与否，都是 命题 。 如：相等的角是对顶角。 问题 2 　 判断下列语句是不是命题？ （ 1 ）你饭吃了吗？（ ） （ 2 ）两点之间，线段最短。（ ） （ 3 ）请画出两条互相平行的直线。 （ ） （ 4 ）过直线外一点作已知直线的垂线。 （ ） （ 5 ）如果两个角的和是 90 º ，那么这两个角互余。（ ） （ 6 ）对顶角不相等。（ ） √ √ √ 命题是由 题设 和 结论 两部分组成。 题设 是已知事项， 结论 是由已知事项推出的事项 。 两直线平行 ， 同位角相等。 题设 结论 数学中的命题常可以写成“ 如果 … ， 那么 … ”的形式． “如果”后接的部分是 题设 ， “那么”后接的部分是 结论 ． 注意： 添加“如果”、“那么”后， 命题的意义不能改变 ，改写的 句子要完整 ， 语句要通顺 ，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语， 下列命题中的题设是什么？结论是什么？ ② 如果 a ＞ b ， b ＞ c ，那么 a=c . 题设是 ： ① 如果两个角是邻补角，那么 这两个角 互补 结论是 ： 题设是 ： 结论是 ： 两个角是邻补角 这两个角 互补 a ＞ b ， b ＞ c a=c 下列命题中的题设是什么？结论是什么？ 如果 两个角是对顶角 ，那么 这两个角相等 . 题设是 ： ③ 对顶角相等． 结论是 ： 题设是 ： 结论是 ： ④ 同位角相等 . 如果 两个角是同位角， 那么 这两个角相等 . 两个角是对顶角 这两个角相等 两个角是同位角 这两个角相等 问题 5 　 下列语句是命题吗？如果是，请将它们改 写成“如果 …… ，那么 …… ”的形式 . （ 1 ）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （ 2 ）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； （ 3 ）互为相反数的两个数相加得 0 ； （ 4 ）同旁内角互补； （ 5 ） 同角的补角相等 . 如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补； 如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式； 如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得 0 ； 如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补； 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立。 正确的命题叫 真命题 ，错误的命题叫 假命题 。 （ 5 ）若 a=b ，则 2a = 2b ． （ 9 ）内错角相等． （ 4 ）两点可以确定一条直线． （ 1 ）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直． （ 2 ）一个角的补角大于这个角． 判断下列命题的真假． （ 7 ）两点之间线段最短． （ 3 ）相等的两个角是对顶角． （ 8 ）同角的余角相等． （ 6 ）锐角和钝角互为补角． 真命题 假命题 假命题 真命题 真命题 假命题 真命题 真命题 假命题 练一练 数学中 有些命题的正确性是 人们在长期 实践中总结 出来的， 并把它们 作为判断其他命题真假的原始依据 ， 这样的 真命题叫做 公理。 有些命题可以从公理或其他真命题出发，用 逻辑推理 的方法判断它们是正确的，并且可以 进一步作为判断其他命题真假的依据， 这样的 真命题叫做 定理。 经过两点有且只有一条直线。 2 、线段公理： 连接两点的所有连线中，线段最短。 1 、直线公理： 3 、平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 如 : 平行线判定定理； 平行线性质定理； 同角的补角相等。 公理举例： 经过两点有且只有一条直线。 2 、线段公理： 两点的所有连线中，线段最短。 4 、平行线判定公理： 同位角相等，两直线平行。 5 、平行线性质公理： 两直线平行，同位角相等。 1 、直线公理： 3 、平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 1 、垂线的性质： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 2 、平行公理的推论： 1 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条 2 直线也互相平行。 ②垂线段最短。 定理举例： 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 6 、平行线的判定定理： 7 、平行线的性质定理： 两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。 定理举例： 许多情况下，一个命题的 正确性 需要经过 推理 ，才能作出判断，这个推理的过程叫 证明 已知：如图，直线 b∥c, a⊥b. 求证： a⊥c 1 2 b c a ∵a⊥b ∴∠1=90°. 又 b∥c （ 两直线平行，同位角相等 ） . ∴a⊥c. 证明： （ 已知） （垂直的定义） （ 已知） ∴∠1=∠2. ∴∠2=∠1=90° （ 等量代换 ） . （ 垂直的定义 ） . 你能将已知中的一个条件和结论交换，写出已知、求证，并证明吗？ 已知：如图，直线 a⊥b, a⊥c. 求证： b∥c 1 2 b c a 证明： ∵ a⊥b （ 已知） ∴∠ 1=90°. （垂直的定义） 又 a⊥c . （ 已知） ∴∠ 2=90° . （ 垂直的定义 ） ∴∠ 1=∠2. （ 等量代换 ） . ∴ b∥c （ 同位角相等，两直线平行 ） . 这节课你学到了什么？ 1. 命题：判断一件事情的语句叫 命题 。 （ 1 ）命题的结构：命题由 题设 和 结论 两部分构成，常可写成 “如果 … ，那么 …” 的形式。 （ 2 ）正确的命题称为 真命题 ，错误的命题称为 假命题 。 （ 3 ） 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为 举反例 。 2. 定理：经过推理论证为正确的命题叫 定理 。也可作为继续推理的依据 （ 定理都是真命题 ） 。 3. 判断一个命题是真命题，可以从定理出发，用 逻辑推理 的方法证明。 5.4 平移 学习目标 1 、了解平移的概念，会进行点的平移。 2 、理解平移的性质，能解决简单的平移问题重点 : 平移的概念和作图方法 . 难点 : 平移的作图 . 议一议 如何在一张纸上画出一排和课本第 28 页图 5.4-2 形状、大小都一样的雪人呢？ 你画的雪人和书上的一样吗？ 你是怎么画的？ 雪人的形状、大小、位置运动前后是否发生了变化？ 形状 ，大小 ，位置 . 不变 不变 改变 １、雪人甲运动到雪人乙的位置时，雪人甲的鼻尖 A 是怎样运动的？它运动到了什么位置？帽顶 B 呢？纽扣 C 呢？ 移动 想一想 A A′ C B C′ B′ 甲 乙 A 运动到 A′ B 运动到 B′ C 运动到 C′ 想一想 ２、连接几组对应点（ 如： A 与 A ′ ， B 与 B ′ ， C 与 C ′ ）观察得到的线段，它们的位置、长短有什么关系？ A A′ C B C′ B′ A A′ C B C′ B′ 它们平行且相等 请你再作出连接其它对应点的线段， 它们是否仍然平行且相等？ 1 、把一个图形 沿 移动，会得到一个新的图形．新图形与原图形的 。 2 、新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点就是 。连接各组对应点的线段 。 3 、图形的这种移动，叫做 ，简称 。 归纳与总结 整体 某一个方向 形状和大小完全相同 对应点 平行且相等 平移变换 平移 图形的平移不一定是水平的， 也不一定是竖直的。 特别注意： 如左图的鸟的飞行也是平移 一、将线段 AB 平移，使点 A 与点 D 对应。 A B D 一、将线段 AB 平移，使点 A 与点 D 对应。 A B D 1 、连结 AD 。 一、将线段 AB 平移，使点 A 与点 D 对应。 A B D 1 、连结 AD 。 2 、过点 B 作 AD 的平行线。 一、将线段 AB 平移，使点 A 与点 D 对应。 A B D 1 、连结 AD 。 2 、过点 B 作 AD 的平行线。 3 、在平行线上作线段 BC ，使 BC=AD 。 C 一、将线段 AB 平移，使点 A 与点 D 对应。 A B D 1 、连结 AD 。 2 、过点 B 作 AD 的平行线。 3 、在平行线上作线段 BC ，使 BC=AD 。 C 4 、连结 CD 。 二、思考如何将一个三角形进行平移。 A B C A’ 二、思考如何将一个三角形进行平移。 A B C A’ 二、思考如何将一个三角形进行平移。 A B C A’ C’ 二、思考如何将一个三角形进行平移。 A B C A’ C’ B’ 二、思考如何将一个三角形进行平移。 A B C A’ B’ C’ 平移三角形的作法 例 经过平移，三角形 ABC 的顶点 A 移到了点 D ． 画出平移后的三角形 ． A B C 分析： 设顶点 B ， C 分别平移 到了 E ， F ， E F D 解： 如图，过 B ， C 点分别做线段 BE ， CF 使得他们与线段 AD 平行且相等，连接 DE ， DF ， EF 。 三角形 DEF 就是三角形 ABC 平移后的图形． 根据“经过平移，对应点所连的线段平行且相等”，可知线段 BE ， CF 与 AD 平行且相等． 小结：如何进行平移作图。 关键在于按要求作出对应点。 然后，顺次连结对应点即可。 将图中的小船向左平移 6 格 比一比：谁反应快 动动手： 用三角板、直尺画平行线 . P Q D E F A B C 观察 ：线段 AB 与 DE 的位置关系与数量关系 . 直尺 PQ 是倾斜放置，用三角板能否画 出平行线？ AB//DE AB=DE 观察 ：线段 A C 与 D F 的位置关系与数量关系 . AC//DF AC=DF 注意 : 在平移过程中 , 对应线段也可能在一条直线上 ( 如 :BC 与 EF) 平移的性质 1. 平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等； 2. 在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上，如BC与EF； 3. 平移后图形的形状与大小都没有变化； 4. 平移的方向是直尺PQ倾斜放置的方向，平移的距离是BE的长度 . 规律发现 问题： 三角形 ABC 沿着PQ的方向平移到 △ A`B`C` 的位置，除了对应线段平行且相等外，你还发现了什么现象？ B A C P Q A A' B B' C C' AA'//____//____ AA'=____=____ BB' CC' CC' BB' BC 的中点 M 平移到什么地方去了？ M M` R S 几何符号语言： 平移的两个图形形状和大小完全相同 A B C D E F A B C D E F ∵ 三角形 ABC 平移得到 三角 形 DEF ∴AB∥DE ， AC∥DF ， BC ∥EF( 或共线 ) ， AB=DE ， AC=DF ， BC=EF ， AD∥BE∥CF( 或共线 ) ， AD=BE=CF. ②对应线段平行 ( 或在同一直线上 ) 且相等； ③各对应点所连线段平行 ( 或在同一直线上 ) 且相等； 图形平移的基本性质： 例 1 如图所示，经过平移，三角形 ABC 的顶点 C 移到了点 C'. 画出平移后的三角形 A'B'C' 的位置 . 并指出平移的方向和距离 . A B C （1）连接 CC' ； （2）分别过点 B,A 按射线 C C' 的方向作线段 BB',AA' ，使得它们与线段 CC' 平行且相等， 连接 A'C',A'B',B'C', 三角形 A'B'C' 为所求； （3）平移的方向就是点 C 到点 C' 的方向； （4）平移的距离就是线段 CC' 的长度 . 1. 关键在于按要求作出 对应点 ； 2. 然后，顺次连接对应点即可 . 1. 平移前后图形的 形状和大小 完全相同 ; 2 . 对应线段 平行 ( 或在同一直线 上 ) 且相等 ； 平移的概念 平移的性质 平移 作图 平移 3. 各对应点所连线段 平行 ( 或在 同一直线上 ) 且相等 . 小结 第 5 章相交线与平行线复习 相交线 1. 平面内两条直线的位置关系有： ___________. 相交、平行 当两条直线有公共点时，我们就说这两条直线 相交 . 同一平面内，不相交的两条直线互相 平行 . 易错点 ： 同一平面内两条直线的位置关系有相交、垂直、平行三种 两条直线相交 如图，直线 AB 与 CD 相交，则∠ 1 与∠ 2 互为 _______ ；∠ 1 与∠ 3 互为 _________. 1. 邻补角： 有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做 互为邻补角 . 2. 对顶角： 一个角的两边分别为另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫做 对顶角 . 3. 对顶角和邻补角的性质： 对顶角相等；邻补角互补。 邻补角 对顶角 垂线、垂线段 1. 垂线： 两条直线相交所成四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 . A O C B D 垂线、垂线段 2. 垂线的性质： 过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直 . 3. 垂线段： 垂线段最短 . 4. 直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 . 叫做这点到这条直线的 距离 。 垂线段最短 P A B C m D 1 、如图，若∠ AOD= 90° ， 直线 AB 、 CD 的位置关系是 E F 2 、若直线 AB⊥CD ，则∠ AOD= 90 ° AB⊥CD 练一练 ∵∠ AO D=90° （已知）， ∴ AB ⊥ CD （垂直的定义）． 这个推理过程可以写成： ∵ AB ⊥ CD （已知）， ∵∠ AO D=90° （垂直的定义） ． 这个推理过程可以写成： 垂直 A O C B D 练一练 已知 P 是直线 l 外一点， A 、 B 、 C 是直线 l 上一点，且 PA=5 ， PB=3 ， PC=2 ，那么点 P 到直线 l 的距离为（ ） A . 等于 2 B. 大于 2 C. 小于或等于 2 D. 小于 2 C 图中能表示点到直线的距离的线段有 ( ) A 2 条 B 3 条 C 4 条 D 5 条 D 练一练 练一练 分别过点 A 、 B 、 C 画对边 BC 、 AC 、 AB 的垂线，垂足分别为 D 、 E 、 F. B A C D E F 三线八角 如图，图中的同位角有： 内错角有： 同旁内角有： ∠ 1 与∠ 5 ， ∠ 2 与∠ 6 ， ∠ 3 与∠ 7 ， ∠ 4 与∠ 8 ∠ 3 与∠ 5 ， ∠ 4 与∠ 6 ∠ 3 与∠ 6 ， ∠ 4 与∠ 5 截线 被截线 被截线 练一练 如图， ∠ 1 与∠ 2 是 _____ 和 _____ 被 _____ 所截形成的 ______ 角？ ∠ 3 与∠ 4 是 _____ 和 _____ 被 _____ 所截形成的 ______ 角？ AD BC AC 内错 AB CD AC 内错 练一练 如图， ∠ 1 与∠ 2 是 _____ 和 _____ 被 _____ 所截形成的 ______ 角？ ∠ 3 与∠ 4 是 _____ 和 _____ 被 _____ 所截形成的 ______ 角？ AD BC CD 同旁内 AB CD BE 同位 平行线 1. 平行公理： 经过直线 外 一点，有且只有一条直线与这条直线平行 . 2. 平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 . 即：如果 b ∥ a ， c ∥ a ，那么 _______. b ∥ c 平行线的判定与性质 平行线的判定 平行线的性质 1 、同位角相等，两直线平行 2 、内错角相等，两直线平行 3 、同旁内角互补，两直线平行 4 、平行于同一条直线的两条直线平行 5 、垂直于同一条直线的两条直线垂直 1 、两直线平行，同位角相等 2 、两直线平行，内错角相等 3 、两直线平行，同旁内角互补 1. 如图，∵∠ D=∠DCF （已知） ∴ _____//___ （ ） 2. 如图，∵∠ D+∠BAD=180° （已知） ∴ ____//____ （ ） AD BC AB DC 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 练一练 3 、 命题 、定理 1. 命题： 判断一件事情的语句，叫做 命题 . 2. 题设、结论： 将命题写成“如果 …… 那么 …… ”的形式，“如果”后面的是 题设 ，“那么”后面的是 结论 . 命题 、定理 3. 真命题、假命题： 若题设成立，则结论也一定成立的命题，是 真命题 . 若题设成立，则结论不一定成立的命题，是 假命题 . 4. 定理： 有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做 定理 . 练一练 （ 1 ）同角的补角相等； （ 2 ）等角的余角相等； （ 3 ）互补的角是邻补角； （ 4 ）对顶角相等； （1）题设：两个角是同一个角的补角； 结论：这两个角相等 . 说出下列命题的题设与结论： （2）题设：两个角相等； 结论：它们的余角也相等 . （3）题设：两个角互补； 结论：它们是邻补角 . （4）题设：两个角是对顶角； 结论：这两个角相等 . 平移 1. 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同 . 2. 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 . 连接各组对应点的线段平行且相等 . 3. 图形的这种移动，叫做 平移变换 ，简称 平移 . 平移的基本性质： ① 对应线段平行（或在同一直线上）且相等； ②对应角相等； ③对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等 . A C B F E D 知识应用： 1 、在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 相交或平行 D. 相交、平行或垂直 C 2 、（ 1 ）图 1 中有几对对顶角？ （ 2 ）若 n 条直线交于一点，共有 ________ 对对顶角？ m n O l 图1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 1 l n 6对 3 、下列说法正确的有 ( ) ① 对顶角相等； ② 相等的角是对顶角； ③ 若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ④ 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等 . A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 B 4 、如图，不能判别 AB∥CD 的条件是（ ） A. ∠B+ ∠BCD=180° B. ∠1= ∠2 C. ∠3= ∠4 D. ∠B= ∠5 B 5 、如图，∠ B=70° ，∠ BEF=70° ，∠ DCE=140° ， CD∥AB ，求∠ BEC 的度数。 E A C F B D 解：∵∠B=∠BEF=70° ∴AB∥EF 又∵CD∥AB ∴CD∥EF ∵∠DCE=140° ∴∠CEF=40° ∴∠BEC=∠BEF -∠CEF =70°-40°=30° 6 、直线 AB 、 CD 相交于点 O ， OE 平分∠ BOD ， OF 平分∠ BOC ，∠ 2 ：∠ 1= 4 ： 1 ， 求∠ AO C的度数 . E A O C B D 1 2 F 解：设∠1=x ∵∠2 ：∠1= 4：1 ∴∠2 =4x ∵OE平分∠BOD ∴∠DOE=∠1=x ∠DOB=2∠1=2x 由∠2+∠DOE+∠1=180° ∴4x+x+x=180° x=30° ∴∠AOC=∠DOB=60° 7 、如图，在长方形 ABCD 中，∠ ADB ＝ 20° ， 现将这一长方形纸片沿 AF 折叠，若使 AB’ ∥BD ， 则折痕 AF 与 AB 的夹角∠ BAF 应为多少度？ B' D A B F C 解：长方形ABCD中，∠BAD=90° ∵∠ADB=20° ∴∠ABD=70° ∵AB'平行BD ∴∠B'AB=180°-∠ABD=110° 由题意可知 ∠BAF=1/2∠B'AB=55° 8 、 ∵ ∵ 说说你的收获！