正确分析函数图象
【例 1】如图所示，在 Rt△ABC 中，点 D 为 AC 的中点，动点 P 从点 D 出发，沿着 D→A→B 的路径以每
秒 1 个单位长度的速度运动到点 B，在此运动过程中线段 CP 的长度 y 随着运动时间 x 的函数关系如图 2 所
示，则 BC 的长为（ ）
A. 13 2
3
B. 4 3 C. 4 55
11
D. 14 5
3
A
B
CD
P
O
x
y
2
2+ 11
【答案】C.
【解析】解：由图 2 知，AD=CD=2，当 x=2+ 11 时，CP 的长最小，
即此时 CP⊥AB，AP= 11 ，由勾股定理得：CP= 2 2 5AC AP ,
由∠A=∠BCP，得：cos∠A= cos∠BCP，
即： 11 5
4 BC
,
解得：BC= 4 55
11
,
故答案为：C.
【变式 1-1】如图所示，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴相交于点 A，B，若其对称轴为直
线 x＝2，则 OB﹣OA 的值为 ．
【答案】4．
【解析】解：设 A（x1，0），B（x2，0），x1、x2 是方程 ax2+bx+c＝0 的两个根，
∵抛物线的对称轴是：x＝2，
∴﹣
2
b
a
＝2，
∴ b
a
＝﹣4，
由图可知：x1＜0，x2＞0，
∴OB﹣OA＝x2﹣（﹣x1）
＝x2+x1
＝﹣ b
a
＝4，
故答案为：4．
【变式 1-2】如图 1，正方形 ABCD 在直角坐标系中，其中 AB 边在 y 轴上，其余各边均与坐标轴平行，
直线 l：y＝x﹣5 沿 y 轴的正方向以每秒 1 个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形 ABCD 的
边所截得的线段长为 m，平移的时间为 t（秒），m 与 t 的函数图象如图 2 所示，则图 2 中 b 的值为（ ）
图 1 图 2
A．3 2 B．5 2 C．6 2 D．10 2
【答案】C.
【解析】解：在 y＝x﹣5 中，当 y＝0 时， x＝5；当 x＝0，y＝﹣5，
∴直线 y＝x﹣5 与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，
∴直线 l 与直线 BD 平行，
由图 2 可得，t＝3 时，直线 l 经过点 A，
∴AO＝5﹣3×1＝2，即 A（﹣2，0），
t＝15 时，直线 l 经过点 C，
∴当 t＝9 时，直线 l 经过 B，D 两点，
∴AD＝6，
∴BD＝6 2 ，即 b＝6 2 ，
故答案为：C．
【例 2】如图，已知顶点为(-3，-6)的抛物线 y=ax2+bx+c 经过点(-1，-4)，下列结论：①b2＞4ac；②
ax2+bx+c≥-6；③若点(-2，m)，(-5，n)在抛物线上，则 m＞n；④关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=-4 的两
根为-5 和-1，其中正确的是__________．
【答案】①②④.
【解析】解：由图象知，抛物线与 x 轴有 2 个公共点，∴b2－4ac＞0，即①正确；
抛物线有最低点，当 x=－3 时，y 有最小值－6，即 ax2+bx+c≥-6，故②正确；
抛物线的对称轴为 x=－3，点(-2，m)，(-5，n)在抛物线上，∴mCD，对角线 AC，BD 相交于点 O，动点 P 由点 A 出发，沿 AB→BC→CD 向点 D 运
动．设点 P 的运动路程为 x，△AOP 的面积为 y，y 与 x 的函数关系图象如图②所示，则 AD 边的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D.6
【答案】B.
【解析】解：当 P 点在 AB 上运动时，y 逐渐增大，当 P 点到达 B 点时，y 最大为 3．
∴ 1
2
AB• 1
2
＝3，即 AB•BC＝12．
当 P 点在 BC 上运动时，y 逐渐减小，当 P 点到达 C 点时，y 为 0，此时结合图象可知 P 点运动路径长为
7，
∴AB+BC＝7．
则 BC＝7﹣AB，代入 AB•BC＝12，
得：AB2﹣7AB+12＝0，
解得：AB＝4 或 3，
∵AB＜AD，
∴AB＝3，BC＝4．
即 AD=BC=4，
故答案为：B.
14.在正方形 ABCD 中，点 P 从点 D 出发，沿着 D→A 方向匀速运动，到达点 A 后停止运动，点 Q 从点 D
出发，沿着 D—C—B—A 的方向匀速运动，到达点 A 后停止运动. 已知点 P 的运动速度为 4，图②表示 P、Q
两点同时出发 x 秒后，△APQ 的面积为 y 与 x 的函数关系，则点 Q 的运动速度可能是（ ）
A. 2 B. 3 C. 8 D. 12
图① 图②
【答案】12.
【解析】解：由图②知函数图象有三段，设正方形的边长为 1，
则点 Q 在线段 AB 上时，点 P 仍在运动，设点 Q 的速度为 v，
∴ 2 1 3
4v v
，
∴80；②
5a-b+c=0；③若方程 a(x+5)(x-1)=-1 有两个根 x1，x2，且 x1
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