江西省红色七校（分宜中学、会昌中学等）2021届高三第二次联考数学（理）试题 Word版含答案

江西省红色七校 2021 届高三第二次联考理科数学试题 (分宜中学、会昌中学、莲花中学、、任弼时中学、瑞金一中、遂川中学) 命题人：分宜中学谢平、遂川中学袁林 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合  1A x Z x    ，集合  2log 2B x x  ，则 A B ∩ （） A. 1 4x x   B. 0 4x x  C. 0,1,2,3 D. 1,2,3 2.若 z C 且 2 2 1z i   ，则 1 2z i  的最小值是（） A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知数据  1 1,x y ，  2 2,x y ，…，  10 10,x y 满足线性回归方程 y bx a  ，则“ 0 0,x y 满足线性回归 方程 y bx a  ”是“ 1 2 10 0 10 x x xx     ， 1 2 10 0 10 y y yy     ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件 4.已知直线 m ，n 平面 ， ， ，有如下四个命题：① m  ，m ∥ ，则  ；②若 m  ，m n∥ ， n  ，则  ；③若 n  ， n  ， m  ，则 m  ；④ m  ， m n ，则 n ∥ . 其中真命题的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 5.  22 1 2x x  的展开式中， 3x 的系数为（） A.200 B.120 C.80 D.40 6.在各项均为正数的等比数列 na 中， 1 11 6 8 3 132 25a a a a a a   ，则 1 13a a 的最大值是（） A.25 B. 25 4 C.5 D. 2 5 7.已知 0.40.8a  ， 3 5logb  ， 5 8logc  ，则（） A. a b c  B.b c a  C. c b a  D. a c b  8.函数   2sin 2 6f x x      的图象向左平移 12  个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到  g x 的图 象，若    1 2 9g x g x  ，且 1x ，  2 2 ,2x    ，则 1 22x x 的最大值为（） A.17 4  B. 35 6  C. 25 6  D. 49 12  9.若关于 x 的方程 22 2 2x xx e ae a x a    （ e 为自然对数的底数）有且仅有 6 个不等的实数解，则 实数 a 的取值范围是（） A. 2 ,2 1 e e     B. ,e  C. 1,e D. 2 1, 2 1 e e      10.在三菱锥 P ABC 中， PA  底面 ABC ， AB AC ， 6AB  ， 8AC  ， D 是线段 AC 上一点，且 3AD DC ，三菱锥 P ABC 的各个顶点在球O 表面上，过 D 作球O 的截面，若所截面的面积的最大值 与最小值之差为16 ，则球O 的表面积为（） A. 72 B.86 C.112 D.128 11.已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）上一点 A 关于原点的对称点为点 B ，F 为其右焦点，若 AF BF ， 设 ABF   ，且 ,6 4        ，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是（） A. 2 ,12       B. 2 , 3 12      C. 2 3,2 2       D. 3 6,3 3       12.对于任意的正实数 x ， y 都有 2 lny y xx e x me     ≤ 成立，则实数 m 的取值范围为（） A. 1 ,1e      B. 2 1 ,1e      C. 2 1 ,ee      D. 10, e      二、填空题 13.实数 x ，y 满足约束条件 2 0 1 0 0 x y x y y      ≥ ≤ ≥ ，若目标函数 z ax by  （ 0a  ， 0b  ）的最大值为 4，则 ab 的最大值为 . 14.已知数列  na 的前 n 项和  *2 1 Nn nS a n   ，设 21 logn nb a  ，则数列 1 1 n nb b        的前 n 项和 nT  . 15.已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于 A ， B 两点，设 直线 AC ， BC 的斜率分别为 1k ， 2k ，当 1 2 1 2 2 ln lnk kk k   最小时，双曲线的离心率为 . 16.设直线 1l ， 2l 分别是函数   lnf x x ，（ 1x  ）图象上点 1P ， 2P 处的切线， 1l 与 2l 垂直相交于点 P ， 且 1l ， 2l 分别与 y 轴相交于点 A ， B ， PAB 的面积的取值范围是 . 三、解答题 17. ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c 且满足 2a  ，  cos 2 cosa B c b A  . （1）求角 A 的大小； （2）求 ABC 周长的范围. 18.如图，四边形 ABCD 是矩形，平面 MCD  平面 ABCD ，且 4MC MD CD   ， 4 2BC  ，N 为 BC 中点. （1）求证： AN MN ； （2）求二面角 A MN C  的大小. 19.某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产——腊排骨，并通过该网购平台 销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.2019 年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随 机抽取了 100 户，统计了他们 2019 年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五 组： 1,3 ， 3,5 ， 5,7 ， 7,9 ， 9,11 ，统计结果如下表所示： 所获纯利润（单位：万元）  1,3  3,5  5,7  7,9  9,11 农户户数 10 15 45 20 10 （1）据统计分析可能认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润 Z （单位：万元）近似地服从 正态分布  2,N   ，其中  近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 2 22 1s   .若该县有 1 万户农户在 该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润 Z 在区间 1.9,8.2 内的户数.（每区间数据用该区间的中间 值表示）. （2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有 8 次抽奖 机会，每次抽奖的中奖率均为 1 2 .每一次抽奖，若中奖，则可继续下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每 次中奖的奖金都为 1024 元.求参与调查的某农户所获奖金 X 的数学期望. 参考数据：若随机变量 X 服从正态分布  2,N   ，则   0.6827P X      ≤ ，  2 2 0.9545P X      ≤ . 20.已知椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的一个焦点与抛物线 E ： 23 12x y 的焦点相同， A 为椭圆C 的右顶点，以 A 为圆心的圆与直线 by xa  相交于 P ，Q 两点，且 0AP AQ   ， 3OP OQ  . （1）求椭圆C 的标准方程和圆 A 的方程； （2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于 M ， N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率 1k ， k ， 2k 成等比数 列，记以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为 1S ， 2S ，试探究 1 2S S 的值是否为定值，若是，求出此值； 若不是，说明理由. 21.已知函数    2ln 1 sin 1f x x x    ，函数   1 lng x ax b x   （ a ，b R ， 0ab  ） （1）讨论  g x 的单调性； （2）证明：当 0x≥ 时，   3 1f x x ≤ ； （3）证明：当 1x   时，    2 sin2 2 xx xx ef    . 22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 0 0 cos sin x x t y y t        （t 为参数，  0,  ）.以坐标原点为极 点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 8cos 3       . （1）化圆 C 的极坐标方程为直角坐标标准方程； （2）设点  0 0,P x y ，圆心  0 02 ,2C x y ，若直线l 与圆C 交于 M 、 N 两点，求 PM PN PN PM  的最大值. 23.已知函数  f x x x a   . （1）若存在 x 使得不等式   3 1f x a ≤ 成立，求实数 a 的取值范围； （2）若不等式   3 1f x a ≤ 的解集为 , 3b b  ，求实数 a ，b 的值. 江西省红色七校 2021 届高三第二次联考理科数学答案 一、选择题：1-5：DABCD；6-10：BBDDC；11-12BD 二、填空题：13.2 14. 1 n n  15. 3 16. 0,1 17.解：（1）由已知，得 cos cos 2 cosa B b A c A  . 由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cosA B B A C A  . 即  sin 2sin cosA B C A  ，因为  sin sinA B C  . 所以sin 2sin cosC C A .因为sin 0C  ，所以 1cos 2A  ， 因为 0 A   ，所以 3A  . （2）由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   ，得 2 24bc b c   即 2 3 4b c bc   .因为 2 2 b cbc      ≤ 所以   2 23 44b c b c  ≤ ，即 4b c ≤ （当且仅当 2b c  时等号成立） 又∵b c a  ，即 2 4b c  ≤ ，所以 4 6a b c   ≤ ， 即周长的范围为 4,6 . 18.解：（1）证明：取CD 的中点O ，连接OA ， OM ，ON ， ∵ MC MD ，O 为CD 中点，∴ MO CD ， 又∵ MO  平面 BCD ， MO  平面 MCD ，平面 MCD∩平面 BCD CD ， ∴ MO  平面 ABCD ， 则 2 3MO  ， 2 3ON  ， 6OA  ， 2 2 2 24AN BN AB   ， 2 2 2 24AN BN AB   ， 2 2 2 48AM MO OA   ， ∴ 2 2 2MN AN AM  ，∴ AN MN . （2）如图，以O 为原点，OM ，OC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴，CD 的垂直平分线所在直线为 z 轴，建 立空间直角坐标系，则  0, 2,4 2A   0,2,0C ，  2 3,0,0M ，  0,2,2 2N ， ∴  2 3, 2, 2 2NM    ，  2 3,2, 4 2AM   ，  2 3, 2,0CM   设平面 AMN 的法向量  1 1 1 1, ,n x y z ，由 1 1 0 0 AM n NM n         可得 1 1 1 1 1 1 2 3 2 4 2 0 2 3 2 2 2 0 x y z x y z        ，令 1 2z  可得  1 6, 2,2n  .同理可得平面 MNC 的一个法向量  2 1, 3,0n  ∴ 1 2 1 2 1 2 2cos , 2 n nn n n n          由图可知二面角 A MN C  为钝角，故二面角 A MN C  的大小为135 . （1）由题意知： 中间值 2 4 6 8 10 频率 0.1 0.15 0.45 0.2 0.1 样本的平均数为 2 0.1 4 0.15 6 0.45 8 0.2 10 0.1 6.1x            ， 所以  2~ 6.1,2.1Z N ，所以   2 , 1.9,8.2      ，而      1 12 2 22 2P Z P Z P Z                      ≤ ≤  1 0.6827 0.9545 0.81862    . 故 1 万户农户中， Z 落在区间 1.9,8.2 内的户数约为10000 0.8186 8186  ； （2）设中奖次数为i ，则i 的可能取值为 0、1、2、3、…、8， 则   1 8 1 ,0 7,21024 1 , 82 i i i P X i i        Z≤ ≤ ， 所以   2 3 7 8 8 1 1 1 1 1 10 1 2 6 7 8 10242 2 2 2 2 2E X                  . 令 2 3 4 8 1 2 3 7 2 2 2 2S      ，① 3 4 8 9 1 1 2 6 7 2 2 2 2 2S      ，② 由①  ②得： 2 7 2 3 4 8 9 9 8 9 9 1 111 1 1 1 1 7 7 1 1 7 1 92 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 S                   ， ∴ 8 91 2S   ， 所以   8 8 8 9 1 11 8 1024 1 1024 10202 2 2E X                   （元）. 所以参与调查的某农户所获奖金 X 的数学期望为 1020 元. 20.解：1.如图，设T 为 P 、Q 的中点，连接 AT ，则 AT PQ ， ∵ 0AP AQ   ，即 AP AQ ， ∴ 1 2AT PQ ，又 3OP OQ  ，所以 OT PQ ，∴ 1 2 AT OT  ，∴ 1 2 b a  . 由已知得 3c  ，所以 2 4a  ， 2 1b  ，∴椭圆C 的方程为 2 2 14 x y  ∵ 2 2 2AT OT OA  ，∴ 2 24 4AT AT  ，∴ 2 55AT  ， ∴ 2 105AP   ，∴圆 A 的方程为 2 2 82 5x y   . 2.设直线l 的方程为 y kx m  （ 0m  ），  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 由 2 2 14 y kx m x y     ，得   2 2 24 8 4 1 0x k x kmx m     ， 由题设知，      2 1 2 1 22 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 kx m kx m km x x my yk k k kx x x x x x         ， ∴   2 1 2 0km x x m   ，∴ 2 2 2 2 8 01 4 k m mk    ，∵ 0m  ，∴ 2 1 4k  ， 则     2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 21 14 4 4 4 4 x xS S OM ON x y x y x x                        2 2 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 31 1 24 4 4 16 2 16 2 16 x xx x x x x x x x                               22 2 2 2 2 22 8 164 3 54 4 11 4 2 16 2 41 4 mk m m mkk                   故 1 2S S 为定值，该定值为 5 4  . 21.解：（1）当 0a  ， 0b  时，  g x 在 0, 上单调递增 当 0a  ， 0b  时，  g x 在 0, b a      上递减，在 ,b a     上递增 当 0a  ， 0b  时，  g x 在 0, 上单调递减 当 0a  ， 0b  时，  g x 在 0, b a      上递增，在 ,b a     上递减。 （2）证明：设     3 1h x f x x   ，则   2 cos 31h x xx     ， ∵ 0x≥ ，∴   0h x ≤ ，∴  h x 在 0, 上单调递减， ∴    0 0h x h ≤ ，得证。 （3）证明：∵1 ln x x ≤ 当 1x   时，  sin2 01 xex   ，则    2 2sin sin1 1 ln 1x xx e x e    ≥ 即：   2 sin1 2ln 1 sin 1xx e x x   ≥ ， 又   22 sin sin2 2 1x xx x e x e    ∴    2 sin2 2 xf x x x e   . 22.（1）圆 C 的极坐标方程为 8cos 4cos 4 3sin3           ， 所以 2 4 3 sin 4 cos      . 因为 2 2 2x y   ， cos x   ， sin y   ，所以 2 2 4 4 3 0x y x y    ， 所以圆C 的直角坐标标准方程为    222 2 3 16x y    ； （2）由（1）知圆C 的圆心的直角坐标为 2,2 3 ，则 0 0 2 2 2 2 3 x y   ，所以 0 0 1 3 x y   ， 所以直线l 的参数方程为 1 cos 3 sin x t y t       （t 为参数，  0,  ）. 将直线l 的参数方程代入   222 2 3 16x y    ，得  2 2 3sin 2cos 12 0t t     ， 设 M 、 N 对应的参数分别为 1t 、 2t ，则 1 2 2 3sin 2cost t     ， 1 2 12t t   ，     2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 12 3sin 2cos 212 12 PM PN PN t t t t t t PN PM PM PN t t t PM t             2 4sin 26         ， 因此，当 3   时， PM PN PN PM  取得最大值10 3 . 23.答案：1.对 x R  ，    f x x x a x x a a     ≥ ， 当且仅当   0x x a ≤ 时取等号，故原条件等价于 3 1a a ≤ ，即 3 1 3 1a a a  ≤ ≤ ，解得 1 2a≥ ， 故实数 a 的取值范围是 1 ,2    2.由 1 知实数 a 的取值范围是 1 ,2    ，故 0a  ， 故   2 , , 0 2 , 0 x a x a f x a a x x a x          ≤ ≤ 的图象如图所示， 由图可知   4 2 3 1 3 2 3 3 1 13 6 ab a a b a a b                