苏科版八下数学 反比例函数(基础)知识讲解_20190524133905
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苏科版八下数学 反比例函数(基础)知识讲解_20190524133905

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资料简介
反比例函数(基础) 责编:康红梅 【学习目标】 1. 理解反比例函数的概念和意义,能根据问题的反比例关系确定函数解析式. 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象,初步掌握反比例函数的图象和性质. 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式,进一步理解反比例函数的图象和性质. 4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题. 【要点梳理】 【高清课堂 反比例函数 知识要点】 要点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反 比例.即 xy k ,或表示为 ky x  ,其中 k是不等于零的常数. 一般地,形如 ky x  ( k为常数, 0k  )的函数称为反比例函数,其中 x是自变量, y 是函数,自变量 x的取值范围是不等于 0 的一切实数. 要点诠释:(1)在 ky x  中,自变量 x是分式 k x 的分母,当 0x  时,分式 k x 无意义, 所以自变量 x的取值范围是 ,函数 y的取值范围是 0y  .故函 数图象与 x轴、 y轴无交点. (2) ky x  ( )可以写成 ( )的形式,自变量 x的指数是 -1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件. (3) ky x  ( )也可以写成 的形式,用它可以迅速地求出反比 例函数的比例系数 k,从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法,由于反比例函数 ky x  中,只有一个待 定系数 k,因此只需要知道一对 x y、 的对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出 k的值, 从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是: (1)设所求的反比例函数为: ky x  ( 0k  ); (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式,得到关于待定系数的方程; (3)解方程求出待定系数 k的值; (4)把求得的 k值代回所设的函数关系式 ky x  中. 要点三、反比例函数的图象和性质 1、 反比例函数的图象特征: 反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、 四象限;反比例函数的图象关于原点对称,永远不会与 x轴、 y轴相交,只是无限靠近两坐 标轴. 要点诠释:(1)若点( a b, )在反比例函数 ky x  的图象上,则点( a b , )也在此图象 上,所以反比例函数的图象关于原点对称; (2)在反比例函数 ( k为常数, 0k  ) 中,由于 ,所以 两个分支都无限接近但永远不能达到 x轴和 y轴. 2、画反比例函数的图象的基本步骤: (1)列表:自变量的取值应以 O 为中心,在 0 的两侧取三对(或三对以上)互为相反 数的值,填写 y值时,只需计算右侧的函数值,相应左侧的函数值是与之对应的相反数; (2)描点:描出一侧的点后,另一侧可根据中心对称去描点; (3)连线:按照从左到右的顺序连接各点并延伸,连线时要用平滑的曲线按照自变量 从小到大的顺序连接,切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠 近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交; (4)反比例函数图象的分布是由 k的符号决定的:当 0k  时,两支曲线分别位于第 一、三象限内,当 0k  时,两支曲线分别位于第二、四象限内. 3、反比例函数的性质 (1)如图 1,当 0k  时,双曲线的两个分支分别位于第一、三象限,在每个象限内,y 值随 x值的增大而减小; (2)如图 2,当 0k  时,双曲线的两个分支分别位于第二、四象限,在每个象限内, y 值随 x值的增大而增大; 要点诠释:反比例函数的增减性不是连续的,它的增减性都是在各自的象限内的增减情 况,反比例函数的增减性都是由反比例系数 k的符号决定的;反过来,由双曲线所在的位置 和函数的增减性,也可以推断出 k的符号. 要点四:反比例函数 ( )中的比例系数 k的几何意义 过双曲线 x ky  ( 0k  ) 上任意一点作 x轴、 y轴的垂线,所得矩形的面积为 k . 过双曲线 x ky  ( 0k  ) 上任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点和原点,所得三角形 的面积为 2 k . 要点诠释:只要函数式已经确定,不论图象上点的位置如何变化,这一点与两坐标轴 的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【典型例题】 类型一、反比例函数的定义 1、下列函数:①y=2x,②y= ,③y=x﹣1,④y= .其中,是反比例函数的有( ). A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C; 【解析】 解:①y 是 x 正比例函数; ②y 是 x 反比例函数; ③y 是 x 反比例函数; ④y是 x+1的反比例函数. 故选:C. 【总结升华】本题考查了反比例函数的定义,重点是将一般 ( 0ky k x  ≠ )转化为 y=kx﹣1 (k≠0)的形式. 类型二、确定反比例函数的解析式 2、(2016春•大庆期末)已知 y与 x成反比例,且当 x=﹣3时,y=4,则当 x=6时,y 的值为 . 【思路点拨】根据待定系数法,可得反比例函数,根据自变量与函数值的对应关系,可得答 案. 【答案】﹣2. 【解析】 解:设反比例函数为 y= , 当 x=﹣3,y=4 时,4= ,解得 k=﹣12. 反比例函数为 y= . 当 x=6时,y =﹣2, 故答案为:﹣2. 【总结升华】本题考查了反比例函数的定义,利用待定系数法求函数解析式是解题关键. 举一反三: 【变式】已知 y与 x成反比,且当 6x   时, 4y  ,则当 2x  时, y值为多少? 【答案】 解:设 ky x  ,当 6x   时, 4y  , 所以 4 6 k   ,则 k=-24, 所以有 24y x   . 当 2x  时, 24 12 2 y     . 类型三、反比例函数的图象和性质 3、在函数 2 1ay x    ( a为常数)的图象上有三点( 1 1x y, ),( 2 2x y, ),( 3 3x y, ), 且 1 2 30x x x   ,则 1 2 3y y y, , 的大小关系是( ). A. 2 3 1y y y  B. 3 2 1y y y  C. 1 2 3y y y  D. 3 1 2y y y  【答案】D; 【解析】 解:因为 2 21 ( 1) 0k a a       ,所以函数图象在第二、四象限内,且在第二、四象限 内, y随 x的增大而增大.因为 1 2x x ,所以 1 2y y .因为 3 3( , )x y 在第四象限,而 1 1( , )x y , 2 2( , )x y 在第二象限,所以 3 1y y .所以 3 1 2y y y  . 【总结升华】已知反比例函数 ky x  ,当 k>0, x>0 时, y随 x的增大而减小,需要强 调的是 x>0;当 k>0, x<0 时, y随 x的增大而减小,需要强调的是 x<0.这里不能 说成当 k>0, y随 x的增大而减小.例如函数 2y x  ,当 x=-1 时, y=-2,当 x=1 时, y=2,自变量由-1到 1,函数值 y由-2 到 2,增大了.所以,只能说:当 k>0时, 在第一象限内, y随 x的增大而减小. 举一反三: 【变式 1】已知 2( 3) my m x   的图象是双曲线,且在第二、四象限, (1)求m的值. (2)若点(-2, 1y )、(-1, 2y )、(1, 3y )都在双曲线上,试比较 1y 、 2y 、 3y 的大小. 【答案】 解:(1)由已知条件可知:此函数为反比例函数,且 2 1 3 0 m m       ,∴ 1m  . (2)由(1)得此函数解析式为: 2y x   . ∵ (-2, 1y )、(-1, 2y )在第二象限,-2<-1,∴ 1 20 y y  . 而(1, 3y )在第四象限, 3 0y  . ∴ 3 1 2y y y  【高清课堂 反比例函数 例 5】 【变式 2】对于函数 y= ,下列说法错误的是( ) A. 它的图象分布在一、三象限; B. 它的图象与坐标轴没有交点; C. 它的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形; D. 当 x<0时,y的值随 x的增大而增大. 【答案】D; 解:A、k=2>0,图象位于一、三象限,正确; B、因为 x、y均不能为 0,所以它的图象与坐标轴没有交点,正确; C、它的图象关于 y=﹣x成轴对称,关于原点成中心对称,正确; D,当 x<0时,y的值随 x的增大而减小, 故选:D. 类型四、反比例函数综合 4、已知点 A(0,2)和点 B(0,-2),点 P 在函数 1y x   的图象上,如果△PAB 的面积 是 6,求 P点的坐标. 【思路点拨】由已知的点 A、B 的坐标,可求得 AB=4,再由△PAB 的面积是 6,可知 P 点到 y轴的距离为 3,因此可求 P的横坐标为±3,由于点 P 在 1y x   的图象上,则由横 坐标为±3可求其纵坐标. 【答案与解析】 解:如图所示,不妨设点 P 的坐标为 0 0( , )x y ,过 P 作 PC⊥ y轴于点 C. ∵ A(0,2)、B(0,-2), ∴ AB=4. 又∵ 0| |PC x 且 6PABS △ , ∴ 0 1 | | 4 6 2 x  ,∴ 0| | 3x  ,∴ 0 3x   . 又∵ 0 0( , )P x y 在曲线 1y x   上,∴ 当 0 3x  时, 0 1 3 y   ;当 0 3x   时, 0 1 3 y  . ∴ P 的坐标为 1 13, 3 P      或 2 13, 3 P      . 【总结升华】通过三角形面积建立关于 0x 的方程求解,同时在直角坐标系中,点到坐标轴 的距离等于相应坐标的绝对值. 举一反三: 【变式】已知:如图所示,反比例函数 ky x  的图象与正比例函数 y mx 的图象交于 A、B, 作 AC⊥ y轴于 C,连 BC,则△ABC 的面积为 3,求反比例函数的解析式. 【答案】 解:由双曲线与正比例函数 y mx 的对称性可知 AO=OB, 则 1 3 2 2AOC ABCS S △ △ . 设 A 点坐标为( Ax , Ay ),而 AC=| Ax |,OC=| Ay |, 于是 1 1 1 3| | | | 2 2 2 2AOC A A A AS AC OC x y x y      △ , ∴ 3A Ax y   , 而由 A A ky x  得 A Ax y k ,所以 3k   , 所以反比例函数解析式为 3y x   .

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