江西省赣州市2021届高三上学期期末考试文科数学答案

赣州市 2020～2021 学年度第一学期期末考试高三文科数学参考答案 1 赣州市 2020~2021 学年度第一学期期末考试 高三数学（文科）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D D B C B A C B C B 二、填空题 13.0 或1； 14. 1 3 ； 15. 1 ； 16.1366或写成 64 2 3  . 三、解答题 17.解（1）因为 cos (2 )cosa B c b A  由正弦定理得sin cos (2sin sin )cosA B C B A  ………………………………………2 分 即sin cos sin cos 2sin cosA B B A C A  所以sin 2sin cosC C A ……………………………………………………………………3 分 因为在 ABC 中sin 0C  所以 1cos = 2A …………………………………………………………………………………4 分 因为 0 πA  所以 π 3A  ……………………………………………………………………………………6 分 （2）由 2AB AC AM    两边平方得 2 2 2 2 4AB AC AB AC AM        ………………8 分 因为 3b  ， 13 2AM  所以 2 2 1 139 2 3 42 2c c             ……………………………………………………9 分 解得 1c  或 4c   （舍去）………………………………………………………………10 分 所以 ABC 的面积为 1 3 3 33 12 2 4S      …………………………………………12 分 18.解（1）证明：因为 ABC 内接于圆O 且 AB 为直径 所以 BC AC …………………………………………………………………………………1 分 在矩形 BCDE 中有 BC DC 且 AC 与 DC 相交于点C …………………………………2 分 所以 BC  面 ADC ……………………………………………………………………………3 分 而 BC ∥ ED 所以 ED  面 ADC ……………………………………………………………………………4 分 因此面 ADE  面 ADC ………………………………………………………………………6 分 1 赣州市 2020～2021 学年度第一学期期末考试高三文科数学参考答案 2 （2）解：由题知 EB BC ，面 BCDE  面 ABC 且面 BCDE  面 ABC BC 所以 EB  面 ABC ……………………………………………………………………………7 分 所以 EB AB …………………………………………………………………………………8 分 又因为 45EAB   所以 2EB AB  ……………………………………………………………………………9 分 同理 AC  面 BCDE …………………………………………………………………………10 分 在 Rt ABC 中 2 22 1 3BC    ，所以矩形 BCDE 的面积为 2 3 …………………11 分 因此该简单组合体的体积 1 2 32 3 13 3V     …………………………………………12 分 19.解（1）由图可知，第三组和第六组的频数为100 0.8 0.2 16   人 第五组的频数为100 1.2 0.2 24   人 所以前四组的频数和为100 (24 16 =60  ） 人……………………………………………1 分 而前四组的频数依次成等比数列 故第一组的频数为 4 人，第二组的频数为8 人，第四组的频数为32 人…………………2 分 所以中位数落在第四组，设为 x ， 因此有 4.6 50 (4 8 16) 0.2 32 x     （或1.6( 4.6) 0.22x   ）……………………………3 分 解得 =4.7375x 所以中位数是 4.74 ……………………………………………………………………………4 分 （2）因为 2 2 100 (40 20 30 10) 50 50 70 30K        …………………………………………………5 分 所以 2 100 4.76221K   ………………………………………………………………………6 分 所以 2 3.841K  ………………………………………………………………………………7 分 因此在犯错的概率不超过 0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系……………………8 分 （3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 6 人中年级名次在1 100 名和 101 1000 名的分别有 2 人和 4 人…………………………………………………………9 分 从 6 人中任意抽取 2 人的基本事件共15个…………………………………………………10 分 至少有1人来自于1 100 名的基本事件有 9 个……………………………………………11 分 所以至少有1人的年级名次在1 100 名的概率为 9 3 15 5P   ……………………………12 分 2 赣州市 2020～2021 学年度第一学期期末考试高三文科数学参考答案 3 20.解（1） 2 2 2 2 ( 1)e 1 1 ( 1)e 1( ) ( ) x xx x xf x k kx x x x x          即 2 ( 1)(e )( ) xx kf x x    ……………………………………………………………………1 分 当 2ek  时 2 2 ( 1)(e e )( ) xxf x x    …………………………………………………………2 分 令 ( ) 0f x ≥ 得 0 1x ≤ 或 2x≥ …………………………………………………………3 分 即 ( )f x 在 (0,1]和[2, ) 上单调递增，在 (1,2) 上单调递减………………………………4 分 所以 ( )f x 的极小值为 2(2) e ln 2f   ………………………………………………………5 分 极大值为 2(1) e ef   …………………………………………………………………………6 分 （2）由于 2 ( 1)(e )( ) xx kf x x    ， (1,2)x ……………………………………………7 分 因为函数 ( )f x 在区间 (1,2) 上单调 所以 ( ) 0f x ≥ 或 ( ) 0f x ≤ 在区间 (1,2) 上恒成立………………………………………9 分 即 e 0x k ≥ 或 e 0x k ≤ 在区间 (1,2) 上恒成立…………………………………………10 分 因此 ek ≤ 或 2ek ≥ …………………………………………………………………………11 分 所以 k 的取值范围为 2( ,e] [e , )  ……………………………………………………12 分 21. 解（1）由题知 2p  所以 2: 4M x y ………………………………………………………………………………1 分 设直线 :AB 1y kx  ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 联立 2 1 4 y kx x y     得 2 4 4 0x kx   所以 1 2 1 2 4 4 x x k x x      ……………………………………………………………………………2 分 对 2 4 xy  求导得 2 xy  3 赣州市 2020～2021 学年度第一学期期末考试高三文科数学参考答案 4 所以直线 AN 的斜率为 1 2AN xk  所以直线 1 1 1: ( )2 xAN y y x x   即 2 1 1: 2 4 x xAN y x  ……①………………………3 分 同理直线 2 2 2: 2 4 x xBN y x  ……②………………………………………………………4 分 联立①和②得 1 2 1 2 22 14 x xx k x xy        ……………………………………………………………5 分 所以点 N 的坐标为 (2 , 1)k  ，即点 N 在定直线 1y   上…………………………………6 分 （2）由（1）知点 N 为 CD 的中点…………………………………………………………7 分 取 AB 的中点 E ，则 2 AC BDEN  由题知 AC BD AB  所以 2AB EN 所以 22 2 2 2ABN AEN BEN EN CN EN DN EN CN AB CNS S S             …………8 分 而 ,2 2 2 2ACN BDN AC CN AF CN BD DN BF CNS S         若存在点 N 满足题意 则 2 BDN ACN ABNS S S    即 2BF AF AB  ……………………………………………………………………………9 分 所以 2 1 2 12( 0) 0x x x x     即 2 12x x  ………③……………………………………10 分 又因为 1 2 1 2 4 4 x x k x x      ………④ 将③代入④解得 2 4k   …………………………………………………………………11 分 由（1）知 N (2 , 1)k  即 N 2( , 1)2   经检验，存在 N 2( , 1)2   满足题意………………………………………………………12 分 4 赣州市 2020～2021 学年度第一学期期末考试高三文科数学参考答案 5 22.解：（1）由 2 2 2 2 x m t y t      得 x m y  即 0x y m   ……………………………2 分 由 2cos  得 2 2 cos   则曲线C 的直角坐标方程为 2 2 2x y x  ，即 2 22 0x x y   …………………………4 分 （2）把 2 2 2 2 x m t y t      代入 2 22 0x x y   ， 得  2 22 2 2 0t m t m m     …………………………………………………………5 分 由    2 22 2 4 2 0m m m      得1 2 1 2m    …………………………6 分 设点 ,A B 对应的参数分别为 1 2,t t ，则 2 1 2 2t t m m   ……………………………………7 分 因为 2 1 2 2 1PA PB t t m m      ，所以 2 2 1m m   ………………………………8 分 当 2 2 1m m  时，且 1 2m   （舍） 当 2 2 1m m   时， 1m  所以综上 1m  ………………………………………………………………………………10 分 （2）方法二 由 2 2 0 2 0 x y m x x y        得  2 22 2 2 0x m x m    …………………………………………5 分 由  2 22 2 8 0m m     得1 2 1 2m    ………………………………………6 分 设点    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 2 2 12 mx x m    ， 2 1 2 2 mx x  …………………7 分 因为    1 2 2 22 2 1 2PA PB x m y x m y         2 2 1 22 2x m x m   ， 所以   2 1 2 1 2 1 22 2PA PB x m x m x x m x x m        所以   2 2 22 1 2 12 mPA PB m m m m m        …………………………………8 分 当 2 2 1m m  时，且 1 2m   （舍） 5 赣州市 2020～2021 学年度第一学期期末考试高三文科数学参考答案 6 当 2 2 1m m   时， 1m  综上 1m  ……………………………………………………………………………………10 分 23.解：（1）当 1a  时， ( ) 2 1 2 1f x x x    14 , 2 1 12, 2 2 14 , 2 x x x x x                      ≤ ≤ ………………2 分 ∵ ( ) 4f x ≥ ，当 1 2x   时， 4 4x ≥ ，∴ 1x ≤ ………………………………………3 分 当 1 2x  时，4 4x≥ ，∴ 1x≥ ………………………………………………………………4 分 所以 ( ) 4f x ≥ 的解集为   , 1 1,   …………………………………………………5 分 （2）由任意 1x R ，都存在 2x R ，使得  1 2( )f x g x 得：    | ( ) | ( )y y f x y y g x   ……………………………………………………………6 分 又因为 ( ) 2 1 2f x x x a    ≥ 2 1 (2 ) 1x x a a     ……………………………7 分 1( ) 2g x x x    1 2 4x x    ≥ …………………………………………………………8 分 所以 1 4a ≥ …………………………………………………………………………………9 分 所以 5a ≤ 或 3a≥ ………………………………………………………………………10 分 6