黑龙江省实验三部2020-2021学年第一次线上教学质量检测数学（理）试题

2021年实验三部第一次线上教学质量检测 高三数学（理）试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则（）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数，则（）‎ A.2 B.5 C.10 D.18‎ ‎3.己知，都是正数，则“”是“”的（）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎4，被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为﹔当，时，最大数据传输速率记为，则（）‎ A.1 B. C. D.3‎ ‎5.双曲线的两条渐近线的夹角为（）‎ 13‎ A.30° B.60° C.90° D.120°‎ ‎6.函数在的图象大致为（）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若，则的展开式中常数项为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数，则在区间上（）‎ A.既有最大值，又有最小值 B.有最大值，没有最小值 C.有最小值，没有最大值 D.既没有最大值，也没有最小值 ‎10，已知，是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为（）‎ 13‎ A. B.6 C. D.8‎ ‎11.已知数列是首项为1，公差为1的等差效列，设，，则满足的最小正整数是（）‎ A.12 B.11 C.10 D.9‎ ‎12.若函数，则满足恒成立的实数的取值范围为（）‎ A. B.‎ C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，第小题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量，，且，则实数______________.‎ ‎14.春节是中国的传统佳节，春节贴“福”字，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿.小实同学购买了，，三种类型的福字，其中种福字4个，种福字5个，种福字1个，现从中随机抽取4个福字，则，，三种福字各至少被抽取一个的情况种数为_____________.‎ ‎15.已知正方体的棱长为2，点是棱的中点，点，在平面内，若，，则的最小值为______________.‎ ‎16.设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论：‎ 13‎ ‎①函数不具有性质；‎ ‎②函数具有性质；‎ ‎③若函数具有性质，则 ‎④若函数具有性质，则.‎ 其中，正确结论的序号是______________.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.在中，内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，为边上一点，且，求的长.‎ ‎18.某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.‎ ‎（1）通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于90分的人数；‎ ‎（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为，求的分布列及数学期望.‎ 13‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，，.‎ ‎19.如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎20.如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.‎ ‎21.已知，.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ 13‎ ‎（2）记，若函数存在两个零点，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，答题卡上在所选题目对应题号后面的方框内打勾.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）射线：与曲线交于两点，，并与曲线交于点，求的取值范围.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若函数的最小值为3，且，，证明：.‎ 2021年实验三部第一次线上教学质量检测 高三数学（理）答案 一、选择题 DCBCB ADCBD CA 二、填空题 ‎13. -2‎ ‎14. 70‎ 13‎ ‎15.‎ ‎16.①③‎ 三.解答题 ‎17.【解析】（1）∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）∵，，∴.由，得，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴.则为等边三角形，且边长为2，‎ ‎∴在中，，，，‎ 由余弦定理可得.‎ ‎18.【解析】（1）∵学生笔试成绩服从正态分布，其中，，‎ ‎∴‎ ‎∴估计笔试成绩不低于90分的人数为人 13‎ ‎（2）的取值分别为0，3，5，8，10，13，则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎19.【解析】‎ 13‎ ‎（1）取的中点，连接，.因为是等边三角形，所以，在与中，，，‎ 所以，可得因为是直角三角形，‎ 所以是斜边，可得，所以，所以，‎ 所以，，又因为，‎ 所以平面.又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）由题知，点是的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，‎ 则即令，则，‎ 所以平面的一个法向量.‎ 设平面的一个法向量为 13‎ 则即，令则 所以平面的法向量为.‎ 所以 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.【解析】（1）由题意得解得，，∴，‎ 因此，椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，‎ 联立消去并整理得，‎ ‎，‎ 由韦达定理得，.‎ 易知点、，‎ 直线的斜率为，直线的方程为，‎ 直线的斜率为，直线的方程为，‎ 13‎ 由，可得，‎ 其中，‎ ‎∴，解得.‎ 因此，点在定直线上.‎ ‎21.1.【详解】（1）因为，所以，得，‎ 当时，；当时，.‎ 所以函数的单调减区间为：；增区间为：.‎ ‎（2）由得，.‎ 则，‎ 令得，.设，由（1）知，在上是单调增函数.‎ 当时，由得，，‎ 所以，所以在上是单调增函数，至多1个零点，不符，舍去.‎ 当时，因为，，‎ 由零点存在性定理，，在上是单调增函数且连续，‎ 所以存在唯一，使得，即.‎ 13‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增.‎ 因为存在两个零点，所以，即，从而.‎ 所以.‎ 因为在上是单调增函数，且，所以，‎ 由（1）可知，在是单调递增，‎ 所以.又，，‎ 而，易得，，‎ 所以，‎ 由零点存在性定理知，函数在上存在唯一一个零点，在上存在唯一一个零点，‎ 此时函数存在两个零点，所以的取值范围为.‎ ‎22.【解析】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线的极坐标方程，‎ ‎（2）由得 所以，‎ 13‎ 由得又因为 所以.‎ ‎23.【解析】（Ⅰ）当时，，‎ 故不等式可化为：或或，‎ 解得：或.所求解集为.‎ ‎（Ⅱ）因为.又函数的最小值为3，，所以，解得，即，‎ 由柯西不等式得，所以.‎ 13‎