初中-数学-说课稿-竞赛讲座 11三角运算及三角不等式

竞赛讲座11――三角运算及三角不等关系三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的统称），对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形），有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。由于三角公式很多，并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目的性与简单性。三角运算一．三角运算的常规思考三角运算主权涉及3个主要变形：角、函数名称、运算方式。其中的难点与关键在角。大量的三角运算技巧都与角的处理有关。遇到一个三角问题，从角、函数名称、运算方式这3个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。特别地，对于证明题，从找条件与结论的差异入手，并向着消除差异的方向前进，常能成功。例1．已知都是钝角，且，，求例2．设为锐角，且，求证：。 二．三角变换与方程数学公式（或条件等式）本身就是一个等量关系，视公式（或等式）中的数学对象为已知值或未知值就成为一个方程。例3．已知（），求，。三．三角变换与构造法通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题例5．求的值。例6．求值：例7．已知： 求证：对任意，恒有。例8求满足等式的锐角。四．三角法引进三角函数，进行三角变形去解决其他代数、几何问题。例9．已知，求证：。例10．在△中，为形内一点，、、为到三边、、的距离，求证： 例11．求函数的值域。三角不等关系这是一个与三角恒等变形密切相关的问题，主要包括两个方面：三角不等式与三角最值。这两个方面在处理方法上在同小异，并互为所用。一．三角不等式的证明证明三角不等式注意3点：（1）三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有关性质和证明方法在这里都用得上。（2）三角不等式又有自己的特点——含三角函数，因而，三角函数的单调性、有界性（或极值），正负区间，图像特征都是处理三角不等式的锐利武器。（3）三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式，无论在结构上还是在证法上都有特别之处，需要加倍注意。例12．若，求证：例13．已知，证明：，并讨论等号成立的条件。 例14．已知，能否以，，的值为边长，构成三角形。例15．在△中，角、、的对边为、、，求证：。例16．在锐角△中，求证（1）；（2）二．三角最值的求解例17．求函数的最大值、最小值例18．求的最小值，其中 例19．求函数的最值。例20．设，且，求乘积的最大值和最小值。习题1．=。2．=。3．若，求的取值范围。4．在△中，的最大值为。5．设为个实数，则时，则的最小值为。6．函数的值域为。7．对任意实数，求的最大值。 8．在矩形中，为对角线上一点，且，于，于，求证：。9．任给13个互不相等的实数，求证其中至少有两个实数满足。10在△中，求证：；；。11．设为锐角，求证：12．对，求证：。