25.5相似三角形的性质（2）教学目标【知识与能力】1.了解相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.2.能应用相似三角形的性质进行有关周长、面积的计算.【过程与方法】1.经历相似三角形性质的推理过程,进一步深化对相似三角形的认识.2.通过探究、讨论、猜想、证明,让学生经历探索相似三角形性质的过程,体会探索研究问题的思路和方法.3.经历探索相似三角形性质的过程,提高分析问题和解决问题的能力及归纳总结能力.【情感态度价值观】1.经历观察、引导、实践、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力.2.在学习和探究过程中,体验由特殊到一般的认知规律,通过学生之间的合作交流,在合作中体验成功的喜悦,树立学习的自信心.教学重难点【教学重点】相似三角形的性质定理的探索及应用.【教学难点】相似三角形性质的归纳推理.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:1.相似三角形有哪些判定方法?2.相似三角形有什么性质?【师生活动】 学生独立思考回答,教师点评.导入二:
【课件展示】 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地.由于马路的拓宽,绿地被削去一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边BC的长由原来的30米变为18米.那么被削去的部分的面积有多少?你能解决这个问题吗?【教师活动】 教师展示课件,导出课题.[导入语] 通过今天的学习,我们利用相似三角形的性质可以解决有关周长、面积的问题.二、新知构建： [过渡语] 上节课我们探究了相似三角形的对应线段比等于相似比,那么相似三角形的周长比、面积比与相似比有什么关系呢?让我们一起去探究.一起探究 相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系思路一活动一:根据图上标出的数据,回答下列问题:【思考】(1)根据图中数据易知两个直角三角形相似,相似比是多少?(2)计算这两个三角形的周长,它们的周长比与相似比有什么关系?(3)计算两个三角形的面积,它们的面积比与相似比有什么关系?【师生活动】 学生独立完成后回答教师提出的问题.活动二:(1)猜想1:任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系?(2)你能证明猜想1的结论吗?(3)猜想2:任意相似三角形的面积比与相似比有什么关系?(4)你能证明猜想2的结论吗?【师生活动】 学生思考后,小组合作交流,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助有困难的学生,并点评学生的解答,规范学生的证明格式,师生共同归纳相似三角形的性质.【课件展示】相似三角形的性质定理:相似三角形的周长比等于相似比.相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.求证:CΔABCCΔA'B'C'=k,SΔABCSΔA'B'C'=k2.
证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,∴ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=k,ADA'D'=k.∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.∴CΔABCCΔA'B'C'=AB+BC+ACA'B'+B'C'+A'C'=kA'B'+kB'C'+kA'C'A'B'+B'C'+A'C'=k,SΔABCSΔA'B'C'=12BC·AD12B'C'·A'D'=BCB'C'·ADA'D'=k2.活动三:你能用几何语言描述上述相似三角形的性质吗?【师生活动】 学生独立思考回答,教师点评,课件展示正确结论.【课件展示】 如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,则CΔABCCΔA'B'C'=k,SΔABCSΔA'B'C'=k2.思路二【课件展示】 如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.(1)ΔABC的周长和ΔA'B'C'的周长的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由.(2)ΔABC的面积和ΔA'B'C'的面积的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由.【师生活动】 教师给学生足够的时间思考、小组合作交流,共同探索相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系及证明思路,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生探究出结论后,完成证明过程,教师对学生的展示进行点评,师生共同归纳相似三角形的性质.【课件展示】相似三角形的性质定理:相似三角形的周长比等于相似比.相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.求证:CΔABCCΔA'B'C'=k,SΔABCSΔA'B'C'=k2.
证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,∴ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=k,ADA'D'=k,∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.∴CΔABCCΔA'B'C'=AB+BC+ACA'B'+B'C'+A'C'=kA'B'+kB'C'+kA'C'A'B'+B'C'+A'C'=k,SΔABCSΔA'B'C'=12BC·AD12B'C'·A'D'=BCB'C'·ADA'D'=k2.追加思考:你能用几何语言描述上述相似三角形的性质吗?【师生活动】 学生独立思考回答,教师点评,课件展示正确结论.【课件展示】 如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,则CΔABCCΔA'B'C'=k,SΔABCSΔA'B'C'=k2.[设计意图] 思路一让学生经历由特殊到一般的探究过程,通过计算、观察、猜想、证明等数学活动,让学生经历知识的形成过程,有助于理解掌握相似三角形的性质;思路二主要通过小组合作交流,探究相似三角形的性质,培养学生的合作意识,严格地推理论证性质定理,培养了学生严谨的学习态度,同时培养了学生的归纳总结能力.例题讲解 [过渡语] 我们探究了相似三角形的性质,应用这些性质可以直接解决一些有关问题,我们一起尝试解决下列问题. (教材86页例2)如图所示,在ΔABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点.求:(1)ΔDEF的周长与ΔABC的周长之比.(2)ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比.〔解析〕 由三角形的中位线定理可以得到ΔDEF三边与ΔABC三边之间的数量关系,根据相似三角形的判定定理可得两个三角形相似,且相似比为1∶2,由相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方,可得结论.【师生活动】 学生在教师的引导分析下回答问题,然后独立完成解答,小组成员交流答案,
小组代表板书过程,教师点评,规范学生书写过程.【课件展示】解:∵D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC,且DE=12AB,EF=12BC,DF=12AC.∴DEAB=EFBC=DFAC=12.∴ΔDEF∽ΔABC.∴ΔDEF的周长与ΔABC的周长之比为1∶2,ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比为1∶4.[设计意图] 通过经历对例题的探究过程,加深学生对相似三角形的性质的理解和掌握,达到巩固知识的目的,提高学生应用意识,增强学习数学的自信心,培养学生分析问题、解决问题的能力.[知识拓展] 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和面积的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等等.三、课堂小结：相似三角形的性质:(1)相似三角形的对应边成比例;(2)相似三角形的对应角相等;(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;(4)相似三角形的周长比等于相似比;(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
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