翼教版初中数学八年级上册教案17.4 直角三角形全等的判定

17.4直角三角形全等的判定教学目标【知识与能力】1.探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单应用.2.会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等.3.会利用基本作图完成:已知一直角边和斜边作直角三角形.【过程与方法】1.使学生经历探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.2.培养学生观察、类比、猜测的思维能力.【情感态度价值观】1.充分调动学生的积极性、主动性,增强学生的自信心.2.培养团队协作的风格,养成独立思考、勇于探索真理、追求真理的习惯.3.培养学生动手、动脑,发现问题、解决问题的能力.教学重难点【教学重点】探究直角三角形全等的条件.【教学难点】灵活运用直角三角形全等的条件进行证明.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:师:三角形全等的判定方法有哪些?生甲:SSS(三边对应相等的两个三角形全等).生乙:ASA(两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等).生丙:SAS(两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等).生丁:AAS(两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等).师:有哪些边角的组合不能判定两个三角形全等?你能通过画图说明理由吗?学生讨论,教师举例.【课件1】 如图所示,举反例说明SSA不能判定两个三角形全等. 师:SSA不能作为定理的根本原因是什么?生:是AC不能固定,能够左右摆动.师:要是我们能使AC只有一种情况,就能证明全等了,应如何办呢?生:过A作BC的垂线,则AC就只有一种情况.如图所示.师:很好,本节课我们就学习两个直角三角形全等的判定.板书课题.[设计意图] 巩固旧知识,有利于新知识的学习,通过抢答可以提高课堂气氛.导入二:【课件2】 问题:1.判定两个三角形全等的方法:    、    、    、    . 2.如图所示,RtΔABC中,直角边是    、    ,斜边是    . 3.如图所示,AB⊥BE于B,DE⊥BE于E,(1)若∠A=∠D,AB=DE,则ΔABC与ΔDEF    (填“全等”或“不全等”),根据    (用简写法); (2)若∠A=∠D,BC=EF,则ΔABC与ΔDEF    (填“全等”或“不全等”),根据    (用简写法);  (3)若AB=DE,BC=EF,则ΔABC与ΔDEF    (填“全等”或“不全等”),根据    (用简写法); (4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF则ΔABC与ΔDEF    (填“全等”或“不全等”),根据    (用简写法). [设计意图] 学生填空,回顾所学判定三角形全等的方法,使学生系统地把握前面所学的知识,并为后续问题的探究做铺垫.导入三:【课件3】快来吧,本节将带我们一起探索判定直角三角形全等的方法,领略推理证明的数学奥秘,上面的问题就很容易解决了.[设计意图] 通过生动的情境导入,让学生产生学习的兴趣,从而能积极地投入到本节课的学习之中.二、新知构建：活动一:“斜边、直角边”判定定理的探究思路一 [过渡语] 直角三角形是三角形中比较特殊的图形,那么两个直角三角形具备怎样的条件能够全等呢?【课件4】 舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.(1)你能帮他想个办法吗?(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?方法一:测量斜边和一个对应的锐角(AAS);方法二:测量没被遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS).工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗?[设计意图] 在问题中总结三角形全等的判定方法,说明所有判定方法都适合直角三角形全等的判定.引出作为特殊三角形的直角三角形有特殊的判定方法.教师说明:我们已经知道三边对应相等的两个三角形全等.由勾股定理可知两边对应相等的两个直角三角形,其第三边一定相等.从而这两个直角三角形一定全等.因此斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.怎样利用勾股定理证明这个命题呢? 指导学生画出图形,写出已知、求证.【课件5】 已知:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.求证:ΔABC≌ΔA'B'C'.证明:在ΔABC和ΔA'B'C'中,∵∠C=90°,∠C'=90°,∴BC2=AB2-AC2,B'C'2=A'B'2-A'C'2(勾股定理).∵AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.∴ΔABC≌ΔA'B'C'(SSS).归纳:直角三角形全等的判定定理:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.[知识拓展] 对于两个直角三角形,满足一边一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了,如果满足斜边和一直角边分别相等,这两个直角三角形也全等.三角形全等的各个条件中,一个必要的条件是至少有一条边对应相等.思路二我们已经知道,对于两个三角形,如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相等,那么这两个三角形一定全等,如果有“角角角”分别对应相等,那么不能判定这两个三角形全等,这两个三角形的大小可以不同.如果有“边边角”分别相等,那么也不能保证这两个三角形全等.那么在两个直角三角形中,当斜边和一条直角边分别对应相等时,也具有“边边角”对应相等的条件,这时这两个直角三角形能否全等呢?【课件6】 如图(1)所示,已知两条线段(这两条线段长不相等),以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边,画一个直角三角形.把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较,所有的直角三角形都全等吗?换两条线段,试试看,是否有同样的结论?步:1.画一线段AB,使它等于4cm; 2.画∠EAB=90°;3.以点B为圆心,以5cm长为半径画弧,交射线AE于点C;4.连接BC.ΔABC即为所求,如图(2)所示.【课件7】 如图所示,在RtΔABC和RtΔA'B'C'中,已知∠ACB=∠A'C'B'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.由于直角边AC=A'C',我们移动其中的RtΔABC,使点A与点A'、点C与点C'重合,且使点B与点B'分别位于线段A'C'的两侧.因为∠ACB=∠A'C'B'=90°,所以∠B'C'B=∠ACB+∠A'C'B'=180°,因此点B,C',B'在同一条直线上,于是在ΔA'B'B中,由AB=A'B'(已知),得∠B=∠B'.由“角角边”便可知这两个三角形全等,于是可得:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等,简记为HL(或斜边、直角边).活动二:例题讲解 [过渡语] 刚才通过同学们的探究,我们已经了解了“斜边、直角边”定理,下面我们就应用这一定理来解决一些问题.【课件8】 已知一直角边和斜边,用尺规作直角三角形.已知:如图所示,线段a,c.求作:ΔABC,使∠C=90°,BC=a,AB=c.分析:首先作出边BC,由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线,由AB=c可以确定点A.作法:如图所示.(1)作线段CB=a.(2)过点C,作MC⊥BC.(3)以B为圆心,c为半径画弧,交CM于点A.(4)连接AB. 则ΔABC即为所求.与同桌所作的进行比较,是否重合.结论:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等.【课件9】 已知:如图(1)所示,点P在∠AOB的内部,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,且PC=PD.求证:点P在∠AOB的平分线上.证明:如图(2)所示,作射线OP.∵PC⊥OA,PD⊥OB.∴∠PCO=∠PDO=90°,在RtΔOPC和RtΔOPD中,∵PC=PD(已知),OP=OP(公共边),∴RtΔOPC≌RtΔOPD(HL).∴∠POA=∠POB.∴OP是∠AOB的平分线,即点P在∠AOB的平分线上.思考:这个命题与角平分线的性质定理有什么区别?通过这道题,你能得到怎样的结论?归纳:角平分线性质定理的逆定理:到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.[设计意图] 利用直角三角形全等的判定定理证明角平分线性质定理的逆定理,理解知识间的必然联系.【课件10】 (补充例题)如图所示,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD.求证BC=AD.〔解析〕 欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有ΔABD和ΔBAC,ΔADO和ΔBCO(O为DB,AC的交点),经过分析,ΔABD和ΔBAC具备全等的条件.证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD.∴∠C与∠D都是直角. 在RtΔABC和RtΔBAD中,AB=BA,AC=BD,∴RtΔABC≌RtΔBAD(HL).∴BC=AD.想一想:你能用几种方法判定两个直角三角形全等?直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”.【课件11】 练一练:1.如图所示,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由.学生独立思考完成,教师点评.2.如图所示,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?下面是三名同学解决第2题的思考过程,你能明白他们的意思吗?(1)BC=EF,AC=DF,∠CAB=∠FDE=90°→RtΔABC≌RtΔDEF→∠ABC=∠DEF→∠ABC+∠DFE=90°.(2)有一条直角边和斜边对应相等,所以RtΔABC与RtΔDEF全等.所以∠ABC=∠DEF,所以∠ABC+∠DFE=90°.(3)在RtΔABC和RtΔDEF中,BC=EF,AC=DF,所以AB=DE,因此这两个直角三角形是全等的,所以∠ABC=∠DEF,所以∠ABC+∠DFE=90°.说明:这个问题涉及的推理比较复杂,可以通过全班讨论,共同解决这个问题,但不需要每个学生自己独立说明理由,只要求学生能看懂这三位同学的思考过程就可以了.三、课堂小结：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).直角三角形首先是三角形,所以一般三角形全等的判定方法都适合它.同时, 直角三角形又是特殊的三角形,有它的特殊性,“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法,所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.