人教B版数学高中必修第三册课件8.1.3 向量数量积的坐标运算

第八章8.1.3向量数量积的坐标运算 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.掌握向量数量积的坐标表示,会进行向量数量积的坐标运算.2.能利用向量数量积的坐标运算解决有关长度、角度、垂直等相关问题. 基础落实•必备知识全过关 知识点向量数量积的坐标表示1.由向量坐标的定义可知,存在单位正交基底{e1,e2},使得a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,因此a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2e1·e1+x1y2e1·e2+y1x2e2·e1+y1y2e2·e2=x1x2+y1y2,从而a·b=.x1x2+y1y2 4.a⊥b的充要条件是a·b=0,因此a⊥b⇔.x1x2+y1y2=0 名师点睛(1)公式a·b=|a||b|cos与a·b=x1x2+y1y2都是求两向量的数量积,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=|a||b|cos求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解. 过关自诊1.(多选题)(2022山东青岛大学附属中学高一期中)已知向量a=(1,3),b=(1,-2),c=(-2,4),则下列结论正确的是()A.b∥cB.|a+c|=50C.(a+b)⊥bD.= 答案AC 答案ACD 3.已知a=(3,-1),b=(1,-2),求a·b,|a|,|b|,. 重难探究•能力素养全提升 探究点一向量数量积的坐标运算【例1】已知向量a=(3,-1),b=(1,-2).(1)求(a+b)2;(2)求(a+b)·(a-b).分析利用a·b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))等基本公式计算. 解(1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.(2)(方法一)∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5.(方法二)∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),∴(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5. 规律方法向量数量积运算的途径及注意点(1)进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征建立平面直角坐标系,并写出相应点的坐标即可求解. 变式探究本例中,若存在向量c满足a·c=-1,b·c=3,试求c. 变式训练1 探究点二利用向量数量积解决长度和夹角问题【例2】已知向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c,求b,c及b与c的夹角. 规律方法利用向量数量积的坐标表示求向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.(3)求夹角的余弦值cosθ.(4)求角.由向量夹角的范围及cosθ求θ的值. 答案A解析设b=(x,y),由a=(-2,-1),a·b=10,可得-2x-y=10.①a-b=(-2-x,-1-y), 变式训练2(2022江西高一期中)已知a=(x,1),b=(4,-2).(1)当a⊥b时,求|2a-b|;(2)若a和b的夹角为钝角,求x的取值范围. 探究点三利用向量数量积的坐标运算求解几何问题【例4】已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:BE⊥CF. 证明以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1). 规律方法向量法证明平面几何中BE⊥CF的方法 变式训练3 素养培优向量中的数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,使抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.向量中的数形结合思想应关注以下几点:(1)向量的几何表示.(2)向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征.(3)向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征. 答案C 解析建立如图所示的平面直角坐标系,使得点D在原点处,点A在y轴上,则A(0,2).规律方法建立平面直角坐标系,将所求问题转化为向量的数量积的坐标运算求解. 学以致用•随堂检测全达标 1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且3a·b=4,则x=()答案C解析3a·b=3(2x-6x)=-12x=4,所以x=-. 答案C 3.(2022江苏高一期中)已知向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是()A.a·b=1B.a∥bC.|a|=|b|D.(a-b)⊥b答案D解析因为向量a=(2,0),b=(1,1),可得a·b=2×1+0×1=2,所以A不正确;由2×1-0×1≠0,所以a与b不共线,所以B不正确;由|a|=2,|b|=,所以|a|≠|b|,所以C不正确;由(a-b)·b=a·b-b2=2-2=0,所以(a-b)⊥b,所以D正确.故选D. 4.(2022江苏二模)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a⊥b,若(a+b)⊥(a-λb),则实数λ的值为()答案C解析因为a⊥b,所以a·b=0,依题意(a+b)·(a-λb)=|a|2-λ|b|2-(λ-1)a·b=4-λ=0,则λ=4,故选C. 5.已知向量a=(2,4),b=(-2,2),若c=a+(a·b)b,则|c|=,cos=. 答案-6 7.设向量a=(1,-1),b=(3,-4),x=a+λb,λ为实数,试证明:使|x|最小的向量x垂直于向量b. 本课结束