第五章5.1.2数据的数字特征
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.会求样本的最值、平均数、中位数、百分位数及众数.2.会求样本的极差、方差与标准差.3.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数学建模能力.
基础落实•必备知识全过关
知识点1最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值,最值反映的是这组数最极端的情况.一般地,最大值用max表示,最小值用min表示.
过关自诊某个比赛的计分规则为:当评委亮分后,其成绩先去掉一个最高分,再去掉一个最低分,然后计算剩下分数的平均值.这是为了()A.减少计算量B.避免故障C.剔除异常值D.活跃赛场气氛答案C解析因为在该比赛的评分中使用的是平均分,记分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量公平.
知识点2平均数
名师点睛平均数的特征平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平,任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,尤其是一组数据中的最大值和最小值.
过关自诊一组数据x1,x2,…,xn的平均数为3,则2x1,2x2,…,2xn的平均数为()A.3B.6C.5D.2答案B
知识点3中位数、百分位数1.中位数:一般地,有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置.如果一组数有奇数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n+1,则称xn+1为这组数的中位数;如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n,则称为这组数的中位数.2.百分位数:一般地,当数据个数较多时,可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点.一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有p%的数据不大于该值,且至少有(100-p)%的数据不小于该值.直观来说,一组数的p%分位数指的是,将这组数按照从小到大的顺序排列后,处于p%位置的数.
名师点睛1.中位数就是50%分位数.2.按照定义可知,p%分位数可能不唯一.3.实际应用中,除了中位数外,经常使用的是25%
过关自诊1.如何确定p%分位数?提示p%分位数的确定方法:设一组数按照从小到大排列后为x1,x2,…,xn,计算i=np%的值,如果i不是整数,设i0为大于i的最小整数,取为p%分位数;如果i是整数,取为p%分位数.特别地,规定:0分位数是x1(即最小值),100%分位数是xn(即最大值).
2.某班8名学生的体重(单位:kg)分别是:42,48,40,47,43,58,47,45,则这组数据的最大值是,中位数是,25%分位数是.答案584642.5解析将所给数据按从小到大的顺序排列是40,42,43,45,47,47,48,58.这组数据的最大值是58.因为这组数据共8个,处于中间位置的是第4个数和第5
知识点4众数一组数据中,某个数据出现的次数称为这个数据的频数,出现次数最多的数据称为这组数据的众数.过关自诊一组数据8,-1,0,4,,4,3的众数是.答案4
知识点5极差、方差与标准差1.极差:一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.2.方差:如果x1,x2,x3,…,xn的平均数为,则方差可用求和符号表示为3.标准差:方差的算术平方根称为标准差.4.方差的性质:如果a,b是常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2.
名师点睛应用标准差及方差的注意点1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.2.标准差、方差的取值范围为[0,+∞).标准差、方差为0时,样本各数据都相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性.3.因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般采用标准差.
过关自诊某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则:(1)命中环数的平均数为;(2)命中环数的标准差为.
答案(1)7(2)2
重难探究•能力素养全提升
探究点一求最值、平均数、众数【例1】某公司员工的月工资情况如表所示:(1)该公司员工月工资的最值、平均数和众数分别是多少?(2)你认为用员工月工资的最值、平均数和众数中的哪个数来代表该公司员工的月工资更合理?月工资/元10000800060005000员工/人1258月工资/元400030001500员工/人20122
解(1)该公司员工月工资的最大值为10000元,最小值为1500元,众数为4000元.平均数为×(10000×1+8000×2+6000×5+5000×8+4000×20+3000×12+1500×2)=4300(元),(2)用众数,因为最大值为10000元有且只有一个,最小值1500元有且只有两个,无法代表该公司员工的月工资,平均数受到最大值的影响,也无法代表该公司员工的月工资,每月拿4000元的员工最多,众数代表该公司员工的月工资最合理.
规律方法1.最值和众数的求法在样本数据中出现次数最多的数据即众数,最大的数是最大值,最小的数是最小值.2.求平均数的步骤(1)求和:数据x1,x2,…,xn的和为x1+x2+…+xn.(2)求平均数:和除以数据的个数n,即x1,x2,…,xn的平均数为(x1+x2+…+xn).
变式训练1某校在一次考试中,甲、乙两班学生的数学成绩(均为整数)统计如下:请用平均数与众数评估这两个班的数学成绩.数学成绩/分5060708090100人数甲班161211155乙班351531311
探究点二求中位数、百分位数【例2】已知一组数据8,6,4,7,11,6,8,9,10,5,则该组数据的中位数是.答案7.5解析已知数据从小到大排列为4,5,6,6,7,8,8,9,10,11,共10个数,所以中位数
规律方法1.求中位数的一般步骤(1)把数据按从小到大的顺序排列.(2)找出排列后位于中间位置的数据,即中位数.若中间位置有两个数据,则求出这两个数据的平均数作为中位数.
2.求百分位数的一般步骤(1)排序:按照从小到大的顺序排列:x1,x2,…,xn.(2)计算:求i=np%的值.(3)求值:
探究点三极差、方差与标准差的计算和应用【例3】(1)若数据a1,a2,a3,a4的方差为3,则数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1的方差是()A.6B.8C.10D.12(2)甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位:吨/公顷)如下:则甲、乙两种水稻产量的极差分别为、.(3)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8
答案(1)D(2)0.41.4(3)解析(1)因为数据a1,a2,a3,a4的方差s2=3,所以数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1的方差是22·s2=22×3=12.(2)甲种水稻产量的极差为10.2-9.8=0.4.乙种水稻产量的极差为10.8-9.4=1.4.
变式探究在本例(3)的数据中增加一个数“8”,方差是多少?与原数据的方差相比有什么变化?
【例4】某厂准备在甲、乙两位工人中选派一名工人参加省活动技能大赛,为此安排甲、乙两位工人在厂实习基地现场进行加工直径为30mm的零件测试,两人各加工10个零件,甲、乙两人加工这10个零件的数据(单位:mm)如下表所示:(1)若只考虑平均数与完全符合要求的个数,你认为谁的成绩更好?(2)计算甲、乙两个人的方差,结合平均数与方差,你认为谁的成绩更好?编号12345甲30.030.030.029.930.0乙30.229.830.230.229.8编号678910甲30.029.929.930.130.2乙29.830.129.930.030.0
规律方法标准差(方差)的两个作用(1)判断数据的离散程度.标准差(方差)较大,说明数据的离散程度较大;标准差(方差)较小,说明数据的离散程度较小.(2)在实际应用中,常常把平均数与方差或标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差来确定稳定性.
变式训练2某校高二年级在一次数学竞赛选拔赛中,由于甲、乙两人的成绩相同,从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据如下:求两人比赛成绩的平均数以及方差,并且分析成绩的稳定性,从中选出一位参加数学竞赛.甲127138130137135131乙133129138134128136
学以致用•随堂检测全达标
1.有一批种子,对于一粒种子来说,它发芽的天数是不确定的.从中抽取98粒种子,下表是不同发芽天数的种子数的记录:统计每粒种子发芽天数得到一组数据,估计这批种子发芽天数的中位数是()A.2B.3C.3.5D.4发芽天数1234567种子数82622241242
答案B解析将这98粒种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列,可得种子的发芽天数的正中间两粒的数据都是3,所以中位数为=3,故选B.
答案B
3.(多选题)某市举办“口语易”英语口语竞赛,12位评委对某选手评分具体如下(满分10分):7.0,7.5,7.8,7.8,8.2,8.3,8.5,8.7,9.1,9.2,9.9,10,则下列说法正确的是()A.75%分位数为9.1B.中位数为8.3C.极差为3D.去掉最高分和最低分,不会影响到这位同学的平均得分
答案CD
4.设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为.答案1
本课结束
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