高中数学人教A版必修二（同步练习）第一章 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

第一章 1．3 空间几何体的表面积与体积1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积课时分层训练1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为(  )A．22         B．20C．10D．11解析：选A 所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(  )A．1∶2B．1∶C．1∶D.∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.3．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是(  )A.πB.πC.πD.π解析：选B 由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为××π×12×＝π.4．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(  ) A．7B．6C．5D．3解析：选A 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.5．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(  )A.B.C.D.解析：选C ∵VC－A′B′C′＝VABC－A′B′C′＝，∴VC－AA′B′B＝1－＝.6．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．解析：因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9.答案：97．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，∴r＝1，∴圆锥的高h＝＝，则圆锥的体积V＝πr2h＝π.答案：π8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a＝________.解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V ＝3×＝3，所以a＝.答案：9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体．(1)画出该几何体的三视图；(2)求出该几何体的表面积．解：(1)如图所示．(2)过C作CE垂直AD延长线于E点，作CF垂直AB于F点．由已知得DE＝2，CE＝2，∴CF＝4，BF＝5－2＝3.∴BC＝＝5.∴下底圆面积S1＝25π，台体侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，锥体侧面积S3＝π×2×2＝4π，故表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋4)π.10．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE ＝h′.∵S侧＝2S底，∴·3a·h′＝a2×2.∴a＝h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋2＝h′2.∴h′＝2，∴a＝h′＝6.∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(  )A．48B．64C．16D．96解析：选B 设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.2．已知高为3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B－AB1C的体积为(  )A.B.C.D.解析：选D VB－AB1C＝VB1－ABC＝S△ABC×h＝××3＝.3．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(  )A．4πSB．2πSC．πSD.πS 解析：选A 底面半径是，所以正方形的边长是2π＝2，故圆柱的侧面积是(2)2＝4πS.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )A.B.C.D.解析：选A 由三视图可知，该几何体是正三棱柱的一部分，如图所示，其中底面三角形的边长为2，故所求的体积为×22×2－××22×1＝.5．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________．解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝.答案：6．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3. 解析：由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组合而成的，它们有共同的底面，且底面半径为1，圆柱的高为2，每个圆锥的高均为1，所以体积为2×π×12×1＋π×12×2＝(m3)．答案：π7．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.答案：88．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝(22＋4)cm2，所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．