培优点五导数的应用1．利用导数判断单调性例1：求函数的单调区间【答案】见解析【解析】第一步：先确定定义域，定义域为，第二步：求导：，第三步：令，即，第四步：处理恒正恒负的因式，可得，第五步：求解，列出表格2．函数的极值例2：求函数的极值．【答案】的极大值为，无极小值【解析】令解得：，的单调区间为：的极大值为，无极小值．
3．利用导数判断函数的最值例3：已知函数在区间上取得最小值4，则___________．【答案】【解析】思路一：函数的定义域为，．当时，，当时，，为增函数，所以，，矛盾舍去；当时，若，，为减函数，若，，为增函数，所以为极小值，也是最小值；①当，即时，在上单调递增，所以，所以（矛盾）；②当，即时，在上单调递减，，所以；③当，即时，在上的最小值为，此时（矛盾）．综上．思路二：，令导数，考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得，因此可假设，，分别为函数的最小值点，求出后再检验即可．
对点增分集训一、单选题1．函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的导数为，令，得，∴结合函数的定义域，得当时，函数为单调减函数．因此，函数的单调递减区间是．故选A．2．若是函数的极值点，则（）A．有极大值B．有极小值C．有极大值0D．有极小值0【答案】A【解析】因为是函数的极值点，所以，，，．当时，；当时，，因此有极大值，故选A．3．已知函数在上单调递减，且在区间上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数在上单调递减，所以对于一切恒成立，得，，又因为在区间上既有最大值，又有最小值，
所以，可知在上有零点，也就是极值点，即有解，在上解得，可得，，故选C．4．函数是上的单调函数，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若函数是上的单调函数，只需恒成立，即，．故选C．5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，其定义域为，即，，则函数为奇函数，故排除C、D，，则函数在定义域内单调递减，排除B，故选A．6．函数在内存在极值点，则（）A．B．C．或D．或【答案】A
【解析】若函数在无极值点，则或在恒成立．①当在恒成立时，时，，得；时，，得；②当在恒成立时，则且，得；综上，无极值时或．∴在在存在极值．故选A．7．已知，，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】因为，函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，只需，即解得或，故选D．8．函数在定义域内可导，其图像如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（）A．B．C．D．
【答案】A【解析】由图象知和上递减，因此的解集为．故选A．9．设函数，则（）A．在区间，内均有零点B．在区间，内均无零点C．在区间内有零点，在区间内无零点D．在区间内无零点，在区间内有零点【答案】D【解析】的定义域为，在单调递减，单调递增，，当在区间上时，在其上单调，，，故在区间上无零点，当在区间上时，在其上单调，，，故在区间上有零点．故选D．10．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】，，函数既有极大值又有极小值，
有两个不等的实数根，，，则或，故选D．11．已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数，求导，的两个极值点分别在区间与内，由的两个根分别在区间与内，，令，转化为在约束条件为时，求的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），目标函数转化为，由图可知，在处取得最大值，在处取得最小值，可行域不包含边界，的取值范围．本题选择A选项．
12．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”，已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∵函数在区间上为“凹函数”∴，∴在上恒成立，即在上恒成立．∵在上为单调增函数，∴，∴，故选D．二、填空题13．函数在区间上的最大值是___________．【答案】8【解析】，已知，当或时，，在该区间是增函数，当时，，在该区间是减函数，故函数在处取极大值，，又，故的最大值是8．14．若函数在，上都是单调增函数，则实数的取值集合是______．【答案】【解析】，，函数在，上都是单调增函数，
则，即，解得，，即，解得，则实数的取值集合是，故答案为．15．函数在内不存在极值点，则的取值范围是___________．【答案】或【解析】函数在内不存在极值点在内单调函数或在内恒成立，由在内恒成立，，即，同理可得，故答案为或．16．已知函数，①当时，有最大值；②对于任意的，函数是上的增函数；③对于任意的，函数一定存在最小值；④对于任意的，都有．其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）【答案】②③【解析】由函数的解析式可得：，当时，，，单调递增，且，据此可知当时，，单调递增，函数没有最大值，说法①错误；当时，函数，均为单调递增函数，则函数是上的增函数，说法②正确；当时，单调递增，且，
且当，据此可知存在，在区间上，，单调递减；在区间上，，单调递增；函数在处取得最小值，说法③正确；当时，，由于，故，，说法④错误；综上可得：正确结论的序号是②③．三、解答题17．已知函数（1）讨论函数在上的单调性；（2）证明：恒成立．【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）见解析．【解析】（1），当时，恒成立，所以，在上单调递增；当时，令，得到，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证法一：由（1）可知，当时，，特别地，取，有，即，所以（当且仅当时等号成立），因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增．所以，当时，，即在上恒成立．因此，有，又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立．证法二：记函数，则，可知在上单调递增，又由，知，在上有唯一实根，且，则，即（*），当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，结合（*）式，知，所以，则，即，所以有恒成立．18．已知函数，其导函数为．（1）当时，若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围；（2）设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．
【答案】（1）或；（2）不存在，见解析．【解析】（1）当时，，，，，由题意得，即，令，则，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，当时，，当时，，则或时，在上有且只有一个零点．（2）由，得，假设存在，则有，即，，，，即，，，令，则，两边同时除以，得，即，
令，，令在上单调递增，且，对于恒成立，即对于恒成立，在上单调递增，，对于恒成立，不成立，同理，时，也不成立，不存在实数使得成立．
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