(通用版)高考数学选填考点压轴题型4《具有关于某点对称的函数的最值性质》(含答案详解)

题型4具有关于某点对称的函数的最值性质【方法点拨】1.若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0.2.关于某一点中心对称的函数在对称区间上的最值的解决方法同上，可以使用图象变换，转化为奇函数在对称区间上的最值问题.一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝2n.【典型题示例】（x＋1）2＋sinx例1设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝x2＋1________.【答案】2【分析】本题解法较多，利用函数的奇偶性应当最为简单.将函数解析式适当作如下变形，22xsinx(x1)2xsinx2xsinxf(x)1，设g(x)f(x)1，显然22x21x1x1g(x)为奇函数，由题意知其最大值、最小值一定存在，根据函数图象的对称性，最大值与最小值互为相反数，其和为0，所以，本题应填2.【解析】显然函数f(x)的定义域为R，（x＋1）2＋sinx2x＋sinxf(x)＝＝1＋，x2＋1x2＋12x＋sinx设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，x2＋1∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2答案：2.点评:1.本题欲求最大值与最小值的和，上述解法没有运用常规的求最值的基本工具，如：求导、基本不等式、单调性、反解等，而是充分利用函数的性质——奇偶性，舍弃解析式其外 在的“形”转而研究函数的“性”，这种策略和方法在解题中经常涉及.由于考生受定势思维的影响，此类题目多为考生所畏惧.2.发现函数隐藏的单调性、对称性是解决此类问题之关键，对于单调奇函数有下列性质：若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.更一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m.2例2已知函数fxln1xx1，fa5，则fa________．【答案】322【解析】因为fxf(x)ln1xx1ln1xx122ln1xx1xx+2ln1+22所以fafa2fa253,故答案为：3.x120202019例3已知a0，设函数f(x)，xa,a的最大值、最小值分别为x20201M、N，则M+N的值为.【答案】4039【分析】研究函数的对称性，利用函数g(x)f(x)a（其中f(x)是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为2a.x1x1202020192020202011【解析】f(x)=2020xxx2020120201202011设g(x)f(x)2020x2020111则g(x)g(x)()1xx20201202011所以g(x)的图象关于点(0,)对称24039所以f(x)的图象关于点(0,)对称2故M+N的值为4039.. 【巩固训练】1lg1.已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg2)＋f2＝()A.－1B.0C.1D.22．已知定义在R上的函数fx3sinx2x1，则在5,5上fx的最大值与最小值之和等于（）A．0B．1C．2D．3xsinx13.已知函数fxxR的最大值为M，最小值为m，则Mm的值为x1（）A．0B．1C．2D．3x124.已知函数f(x)sinx在区间[k,k]的值域为[m,n]，则mn的值为_______.x212(x1)cosxsinx5.已知函数f(x),在区间1,1上的最大值为M最小值为N则2xcosx1MN＝_____. 【答案与提示】1.【答案】D【解析】令g(x)＝ln(1＋9x2－3x)，x∈R，则g(－x)＝ln(1＋9x2＋3x)，因为g(x)＋g(－x)＝ln(1＋9x2－3x)＋ln(1＋9x2＋3x)＝ln(1＋9x2－9x2)＝ln1＝0，所以g(x)是定义在R上的奇函数.1lg又lg1＝－lg2，所以g(lg2)＋g2＝0，211lglg所以f(lg2)＋f2＝g(lg2)＋1＋g2＋1＝2.2．【解析】根据题意，设gxfx13sinx2x，x5,5，有gx3sinx2x3sinx2xgx，即函数ygx为奇函数，其图象关于原点对称，则gxgx0，maxmin则有fx1fx1fxfx20，变形可得maxminmaxminfxfx2，所以，当x5,5时，函数yfx的最大值与最小值之和等maxmax于2.故选：C．xsinx1sinx3.【解析】fx=1-xR，x1x1sinx令gxxR，即fx1g(x),x1而gx是在R上的奇函数，设其最大值为N,最小值为n，由奇函数性质可得N+n=0，所以Mm2，故选择C4.【答案】2【分析】本题的难点在于发现函数内隐藏的奇偶性、对称性.2x12x12x12x1【解析】因为f(x)sinxsinxsinx1xxx212121x21设g(x)sinx，则g(x)为定义在R上的单调递增函数x21所以f(x)在区间[k,k]单增，且关于点（0,1）对称 所以mn=2.5.【答案】2222xsinx(x1)cosxsinxx2x1cosxsinx【解析】f(x)1.22x2cosx1xcosx1xcosx12xsinx令g(x)2xcosx12x+sinxg(x)g(x),且x1,1,g(x)为奇函数,2xcosx1设其最大值为a,则其最小值为a,∴函数f(x)的最大值为a1,最小值为a1a1M,MN2.故答案为:2.a1N