题型5与函数的对称性相关的零点问题【方法点拨】1.若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m.2.对于具有对称性的函数零点问题，要注意检验充分性，以防增解.【典型题示例】例1若函数存在个零点，则所有这些零点的和等于_____________.【答案】【解析】设，则为奇函数，其图象关于坐标原点对称所以的图象关于点（1,0）对称，故其与x轴的交点也关于点（1,0）对称所以的所有零点的和等于.例2设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（）A．0B．7C．14D．21【答案】D【分析】根据函数值之和求自变量之和，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心.函数可以视为由与构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移,比如，引入函数，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称.
【解析】∵是公差不为0的等差数列，且∴∴∴例3已知函数有唯一零点，则a=（）A．B．C．D．1【答案】C【分析】如果利用导数研究的零点，就会小题大做，容易陷入困难.由函数与方程思想，函数的零点满足.设，显然是由函数向右平移一个单位而得到，易知是偶函数且在上是增函数.故关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，.设，显然关于直线对称，顶点为.若，则函数关于直线对称，且在上是减函数，在上是增函数，最大值为，.若的图象与的图象有一个公共点A，根据对称性必有另一个公共点B.所以，不合题意；若，函数关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，最小值为.若的图象与的图象只有一个公共点，必有，得.【解析】，令
则易知是偶函数，所以图象关于直线对称，欲使有唯一零点，必有，即，所以.【解析二】 x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，当g′(x)＝0时，x＝1，当x0，函数g(x)单调递增，当x＝1时，函数g(x)取得最小值g(1)＝2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数取得最小值－1，作出－ag(x)与h(x)的大致图象如图所示.若－a>0，结合选项A，a＝－时，函数h(x)和－ag(x)的图象没有交点，排除选项A；当－a0时，f(x)=lnx－ax，若函数f(x)恰有5个零点，则实数a的取值范围是.2.若函数的零点有且只有一个，则实数.3.若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为．4.已知函数，，则函数零点的个数所有可能值构成的集合为．5.函数的图象与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（）A.2B.4C.6D.86.已知函数满足，若函数与图象的交点为则（）A.0B.mC.2mD.4m7.已知实数x、y满足，则的值是.8.圆与曲线相交于点四点，为坐标原点，则_______.9.已知函数，函数有唯一零点，则实数的值为______.10.函数的所有零点之和为().A0B.2C.4D.6
【答案与提示】1.【答案】（0，e）【提示】分离函数，问题即为x>0时，h(x)=lnx与g(x)=ax的图象恰有2个交点，利用导数求出当a=e时，相切为临界值.2.【答案】【提示】同例4，利用f(x)=0，求得，而当时，不满足题意，应舍去.3.【答案】m=2【提示】发现f(x)是偶函数，故得到f(0)=0，立得m=2或m=－4，难点在于对m=－4的取舍问题.思路有二，一是“分离函数”，利用“形”助数；二是利用导数知识，只需当x＞0时，函数恒增或恒减即可.4.【答案】{0,1,2,4}【提示】见例3.5.【答案】B【提示】根据对称性易得答案.6.【答案】B【分析】该题设计抽象函数关于点成中心对称，函数由奇函数向上平移一个单位得到，也关于点成中心对称，因而两函数图象的交点为也关于点成中心对称，，考虑倒序相加法，可得，，故.7.【答案】2020【提示】两边取自然对数得设，则易得其为上的单增奇函数所以，
故.8.【答案】【分析】注意发现圆与一次分式函数的图象均关于点(−3,2)对称，利用三角形中线的向量表示，将所求转化即可.【解析】由圆方程，可得，圆心坐标为(−3,2)，其对称中心为(−3,2).在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如右图所示：数形结合可知，圆和函数都关于点M(−3,2)对称，故可得其交点A和C，B和D都关于点M(−3,2)对称.故，所以.9.【答案】或10.【答案】A
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