(通用版)高考数学选填考点压轴题型43《椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比》(含答案详解)

题型43椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比【方法点拨】1.设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足.2.长短弦公式:如下图,长弦,短弦（其中是焦参数，即焦点到对应准线的距离，是直线与轴的夹角，而非倾斜角）.说明：（1）公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.（2）双曲线也有类似结论.FxABO【典型题示例】例1已知椭圆方程为，AB为椭圆过右焦点F的弦，则的最小值为  ．【答案】【解析】由，得，，则椭圆的离心率为，右准线方程为 如图，过作于，则，①设的倾斜角为，则，②联立①②，可得，同理可得，．令，，，．．当且仅当，即时上式取等号．的最小值为．故答案为：． 例2（2021·江苏南京盐城二调·7）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为A．4B．C．D．2【答案】D【解析】，，．例3已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A，B两点．若＝3，则k＝________.【答案】【解析】如右图，设l为椭圆的右准线，过A、BxDFBBBAyOB/A/ 分别向l作垂线AA/、BB/，A/、B/分别是垂足，过B作AA/垂线BD，D是垂足设BF=t，AF=3t则，中，故又k>0，所以. 【巩固训练】1.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的离心率为________．2.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且＝2，则C的离心率为________．3.已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于．（公众号：钻研数学）4.已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为  A．，B．C．，D． 【答案与提示】1.【答案】【解析】如右图，设直线AB的倾斜角为则，所以由|AF1|＝3|F1B|、长短弦公式得：，化简得：代入得：，即解之得：（负值已舍），所以.2.【答案】3.【答案】4.【答案】C【解析】延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，， 由，且，，由，所以，整理得，其中，，由，不重合，所以，，解得，所以，椭圆的离心率的取值范围，．