人教版高中数学选择性必修第二册精练：第四章《数列》（章末测试）（解析版）

第四章数列章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·山东泗水·期中（文））已知数列中，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在数列中，，，则，，，.故选：B.2．（2020·四川阆中中学月考（理））等比数列的各项均为正实数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2·a6＝64，则S5＝（）A．32B．31C．64D．63【答案】B【解析】依题意，即，解得，所以.故选：B3．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）在等比数列中，，则（）A．3B．C．3或D．或 【答案】C【解析】若的公比为，∵，又由，即有或,∴或，故有或故选：C4．（2021·黑龙江校月考（理））在递减等比数列中，是其前项和，若，，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】则，解得或，∵是递减数列，则，∴，（舍去）．∴，．故选：A．5．（2020·重庆高一期末）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，依题意可得，，， ，解得，.故选:A.6．（2020·贵州贵阳·为明国际学校其他（理））已知等比数列的前n项和为，若公比，则数列的前n项积的最大值为（）A．16B．64C．128D．256【答案】B【解析】由，，得，解得，所以数列为8，，2，，，，……，前4项乘积最大为64.故选：B.7．（2020·吉林市第二中学月考）已知等差数列的前n项的和为，且，有下面4个结论：①；②；③；④数列中的最大项为，其中正确结论的序号为（）A．②③B．①②C．①③D．①④【答案】B【解析】由得，，则，，所以，所以，①正确；，故②正确；，故③错误；因为，，故数列中的最大项为，故④错误．故选：B.8．（2020·上海市市西中学月考）已知等差数列的前n项和为，若是一个确定的常数，则数列中是常数的项是（） A．；B．；C．；D．【答案】D【解析】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质，有，故为确定常数，由等差数列前项和公式可知也为确定的常数.故选:D二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．（2020·鱼台县第一中学月考）设是等差数列，为其前项和，且，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．、均为的最大值【答案】ABD【解析】由得，即，又∵，，，故B正确；同理由，得，，故A正确；对C，，即，可得，由结论，显然C是错误的；与均为的最大值，故D正确；故选：ABD.10．（2020·河北邯郸·高三月考）已知数列满足：，当时， ，则关于数列说法正确的是（）A．B．数列为递增数列C．数列为周期数列D．【答案】ABD【解析】得，∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列，∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，所以易知ABD正确，故选：ABD.11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（）A．此人第三天走了二十四里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】BD【解析】由题意，此人每天所走路程构成以为公比的等比数列，记该等比数列为，公比为，前项和为，则，解得，所以此人第三天走的路程为，故A错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多里，故B正确； 此人第二天走的路程为，故C错；此人前三天走的路程为，后三天走的路程为，，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D正确；故选：BD.12．（2019·高二期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由题意可得，则，由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、，因此，正整数的可能取值有、、.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．（2020·山东泗水·期中（文））已知是等比数列，，，则______.【答案】【解析】由题意，等比数列中，，，可得，解得，又由，且， 即数列表示首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为：.14．（2021·黑龙江校月考（理））在各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值是________.【答案】【解析】设等比数列的公比为，由，得，解得(负值舍)，则.故答案为：.15．（2020·吉林市第二中学月考）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________.【答案】10【解析】根据等比数列的前n项和的性质，若Sn是等比数列的和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍是等比数列，得到(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即.解得S3＝10或S3＝90(舍)．故答案为： 16．（2020·四川武侯·成都七中月考）已知等差数列的公差，前项之和为，若对任意正整数恒有，则的取值范围是______.【答案】【解析】因为对任意正整数恒有，所以为最小值，因此，即故答案为：四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．（2020·月考（文））已知在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】设等差数列的公差为，由，可得解得，所以等差数列的通项公式可得;（2）由（1）可得，所以.18．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）已知数列的前项和为，.（1）求证：数列为等差数列； （2）记数列的前项和为，求【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）当时，因为，所以，即首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）得，.当时，.当时，，符合题意，所以.所以，所以.19．（2021·黑龙江月考（理））已知各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即，又，解得或（舍去），， ，又，，，；（2），，两式相减得，则.20．（2020·月考（理））已知数列为等差数列，，，其前项和为，且数列也为等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，，，成等差数列，，解得，，经检验，所以数列为等差数列，.（2），，设数列的前项和为， 则.21．（2020·浙江月考）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）证明：，设的前项的和为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由是，的等差中项得，所以，解得，由，得，解得或，因为，所以.所以.（2），在成立，又有，.22．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期中（理））已知数列中，是的前项和且是与的等差中项，其中是不为的常数.（1）求.（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）；；（2）猜想：；证明见解析【解析】（1）由题意知： 即，当时，，解得.当时，，解得.当时，，解得.（2）猜想：证明：①当时，由（1）知等式成立.②假设当时等式成立，即，则当时，又则，，∴，即所以，即当时，等式成立.结合①②得对任意均成立.