人教版高中数学选择性必修第一册1.1《空间向量及其运算》导学案(含答案)

1.1空间向量及其运算1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；2.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；3.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.重点：理解空间向量的概念难点：掌握空间向量的运算及其应用一、温故知新1.平面向量的概念名称定义备注向量既有又有的量。向量的大小叫做向量的长度或模平面向量是自由向量零向量长度等于0的向量，其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量与非零向量共线的单位向量为平行向量(或共线向量)方向的向量0与任一向量平行（或共线）相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为2.向量的线性运算（1）加法：是指求两个向量和的运算；法则（几何意义）：三角形法则、平行四边形法则。（2）减法：是指求与的相反向量的和的运算叫做与的差；法则（几何意义）：三角形法则。（3）数乘：是指求实数与向量的积的运算；法则（几何意义）：①；②当时，与的方向； ③当时，与的方向；④四时，=.3.共线向量定理向量与共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数λ，使得。4.平面向量基本定理如果是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量，一对实数使，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底。结论：（1）若向量，不共线，则的等价条件是；（2）三终点A,B,C共线ó存在实数使得=，且5.两个向量的夹角（1）定义：一直两个非零向量，作，则∠叫做与的夹角。（2）范围：夹角的取值范围是。①当与同向时，=；②反向时，=；③当与垂直时，=，并记作⊥。6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件（1）与的夹角是锐角ó·0且与不共线；（2）与的夹角是钝角ó·0且与不共线。7.平面向量的数量积（1）定义：·=，规定·=；（2）坐标表示：·=，其中；（3）运算律①交换律：·=；②结合律·=；③数乘：·=.（4）在方向上的投影是；（5）·的几何意义：数量积·等于的模||与在的方向上的投影的乘积。8.向量数量积的性质设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则（1）==；（2）⊥ó；（3）·=；（4）|·|≤||·||. 一、情境导学章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始。二、探究新知知识点一 空间向量的概念思考1. 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为__________.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫_______，记为0单位向量______的向量叫单位向量相反向量与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二 空间向量的加减运算及运算律思考2. 下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算. ＝＋＝a＋b＝－＝a－b＝＋＝＋＝a＋b(2)空间向量加法交换律a＋b＝b＋a空间向量加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)知识点三 空间向量的数乘运算思考3. 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝____.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ