2023中考数学一轮复习测试卷5.3《矩形菱形和正方形》(教师版)

2023中考数学一轮复习测试卷5.3《矩形菱形和正方形》一、选择题如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为()A.31°B.28°C.62°D.56°答案为：D矩形的对角线一定具有的性质是(  )A.互相垂直B.互相垂直且相等C.相等D.互相垂直平分答案为：C.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（  ）A．        B．6        C．4         D．5B Rt△ABC中，∠C=90°，锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是（  ）A.5cmB.15cmC.10cmD.2.5cmA如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(  )A.16B.12C.24D.18答案为：A.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有（） A.2对B.3对C.4对D.5对C菱形的周长为20cm，它的一条对角线长为6cm，则其面积为(  )cm2.A.6      B.12    C.18    D.24答案为：D.如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°.有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF.其中结论正确的个数是(  )A.3      B.4     C.1    D.2答案为：A.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=8，BD=6，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长是(  )A.2.4 B.4.8 C.7.2 D.10B我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为()A.20B.24C.D.答案为：B二、填空题已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2，则这个菱形的面积是______.答案为：2如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连结AC交BN于点E，连结DE交AM于点F，连结CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是________. 答案为：3－3如图，菱形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，已知AB=5，OB=3，则菱形ABCD的面积是．答案为：24．如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O的半径为5，AB=4，则BC边的长为．答案为：6．三、解答题如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．(1)证明：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，∵AB∥CF，∴∠BAF=∠AFC， 在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE(AAS)；(2)解：由(1)知CD=2DE，∵DE=2，∴CD=4，在Rt△ABC中，点D为AB的中点，∴AB=2CD=8，AD=CD=AB.∵AB∥CF，∴∠BDC=180°－∠DCF=180°－120°=60°，∴∠DAC=∠ACD=∠BDC=×60°=30°，∴在Rt△ABC中，BC=AB=×8=4.四、综合题小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ.(1)小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2.此时她证明了AE＝AF，请你证明.(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.请你继续完成原题的证明.(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分).(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD.∵∠EAF＝∠B，∴∠EAF＋∠C＝180°， ∴∠AEC＋∠AFC＝180°.∵AE⊥BC，∴AF⊥CD，在△AEB和△AFD中，∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF.(2)证明：由(1)得∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF，∴∠EAP＝∠FAQ，在△AEP和△AFQ中，∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ.(3)解：答案不唯一.已知：AB＝4，∠B＝60°，求四边形APCQ的面积.解：如图，连结AC，BD交于O.∵∠ABC＝60°，BA＝BC，∴△ABC为等边三角形.∵AE⊥BC，∴BE＝EC.同理，CF＝FD，∴四边形AECF的面积＝×四边形ABCD的面积，由(2)得四边形APCQ的面积＝四边形AECF的面积，OA＝AB＝2，OB＝AB＝2，∴四边形ABCD的面积＝×2×2×4＝8，∴四边形APCQ的面积＝4.在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C，D重合)，连结BE.【感知】如图1，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.求证：(1)BE＝FG；(2)连结CM，若CM＝1，则FG的长为2. 【应用】如图3，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG，MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为________.解：【感知】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCE＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBE＝90°.∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠CBE.在△ABF和△BCE中，∴△ABF≌△BCE(ASA).【探究】证明：(1)如图，过点G作GP⊥BC于P.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG＝AB，∴PG＝BC.同感知的方法得∠PGF＝∠CBE，在△PGF和△CBE中，∴△PGF≌△CBE(ASA)，∴BE＝FG.(2)由(1)知，FG＝BE，如图，连结CM.∵∠BCE＝90°，点M是BE的中点，∴BE＝2CM＝2，∴FG＝2.【应用】9在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.①若点G为DE的中点，求FG的长. ②若DG＝GF，求BC的长.(2)已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.解：(1)①在正方形ACDE中，DG＝GE＝6.在Rt△AEG中，AG＝＝6.∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF，∴＝，∴＝＝，∴FG＝AG＝2.②如图1中，正方形ACDE中，AE＝ED，∠AEF＝∠DEF＝45°.图1∵EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠1＝∠2，设∠1＝∠2＝x.∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x.∵GF＝GD，∴∠3＝∠2＝x.在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B＝180°，∴x＋(x＋90°)＋x＝180°，解得x＝30°，∴∠B＝30°，∴在Rt△ABC中，BC＝＝12.(2)在Rt△ABC中，AB＝＝＝15.如图2中，当点D在线段BC上时，此时只有GF＝GD.图2∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA.设BD＝3x，则DG＝4x，BG＝5x，∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x.∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF， ∴＝，∴＝，整理得x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5(舍去)，∴腰长GD＝4x＝4.如图3中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AE上方时，图3此时只有GF＝DG，设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，∴FG＝DG＝12＋4x.∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴＝，∴＝，解得x＝2或－2(舍去)，∴腰长DG＝4x＋12＝20.如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点在BD下方时，图4此时只有DF＝DG，连结DF，过点D作DH⊥FG.设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x＋12，∴FH＝GH＝DG·cos∠DGB＝(4x＋12)×＝，∴GF＝2GH＝，∴AF＝GF－AG＝.∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF，∴＝，∴＝，解得x＝或－(舍去).∴腰长GD＝4x＋12＝. 如图5中，当点D在线段CB的延长线上时，此时只有DF＝DG，作DH⊥AG于H.图5设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x－12，∴FH＝GH＝DG·cos∠DGB＝，∴FG＝2FH＝，∴AF＝AG－FG＝.∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF，∴＝，∴＝，解得x＝或－(舍去)，∴腰长DG＝4x－12＝.综上所述，等腰△DFG的腰长为4或20或或.