2023中考数学一轮复习测试卷5.3《矩形菱形和正方形》(含答案)
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2023中考数学一轮复习测试卷5.3《矩形菱形和正方形》(含答案)

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资料简介
2023中考数学一轮复习测试卷5.3《矩形菱形和正方形》一、选择题如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为()A.31°B.28°C.62°D.56°矩形的对角线一定具有的性质是(  )A.互相垂直B.互相垂直且相等C.相等D.互相垂直平分如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是(  )A.        B.6        C.4         D.5Rt△ABC中,∠C=90°,锐角为30°,最短边长为5cm,则最长边上的中线是(  )A.5cmB.15cmC.10cmD.2.5cm如图,已知菱形ABCD,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(  )A.16B.12C.24D.18如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对菱形的周长为20cm,它的一条对角线长为6cm,则其面积为(  )cm2.A.6      B.12    C.18    D.24如图,在菱形ABCD中,E是AB边上一点,且∠A=∠EDF=60°. 有下列结论:①AE=BF;②△DEF是等边三角形;③△BEF是等腰三角形;④∠ADE=∠BEF.其中结论正确的个数是(  )A.3      B.4     C.1    D.2如图,菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC=8,BD=6,过点D作DE⊥AB,垂足为E,则DE的长是(  )A.2.4 B.4.8 C.7.2 D.10我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为()A.20B.24C.D.二、填空题已知一个菱形的边长为2,较长对角线长为2,则这个菱形的面积是______.如图,M,N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连结AC交BN于点E,连结DE交AM于点F,连结CF,若正方形的边长为6,则线段CF的最小值是________.如图,菱形ABCD中,点O是对角线AC、BD的交点,已知AB=5,OB=3,则菱形ABCD的面积是. 如图,MN是⊙O的直径,矩形ABCD的顶点A、D在MN上,顶点B、C在⊙O上,若⊙O的半径为5,AB=4,则BC边的长为.三、解答题如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是CD的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.(1)求证:△ADE≌△FCE;(2)若∠DCF=120°,DE=2,求BC的长.四、综合题小敏思考解决如下问题:原题:如图1,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:AP=AQ.(1)小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E,F分别在边BC,CD上,如图2.此时她证明了AE=AF,请你证明.(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图3,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明.(3)如果在原题中添加条件:AB=4,∠B=60°,如图1,请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案(根据编出的问题层次,给不同的得分).在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C,D重合),连结BE. 【感知】如图1,过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.求证:(1)BE=FG;(2)连结CM,若CM=1,则FG的长为2.【应用】如图3,取BE的中点M,连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连结EG,MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为________.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12.点D在直线CB上,以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G.(1)如图,点D在线段CB上,四边形ACDE是正方形.①若点G为DE的中点,求FG的长.②若DG=GF,求BC的长.(2)已知BC=9,是否存在点D,使得△DFG是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由. 2023中考数学一轮复习测试卷5.3《矩形菱形和正方形》(含答案)参考答案一、选择题答案为:D答案为:C.B A答案为:A.C答案为:D.答案为:A.B答案为:B二、填空题答案为:2答案为:3-3答案为:24.答案为:6.三、解答题(1)证明:∵点E是CD的中点,∴DE=CE,∵AB∥CF,∴∠BAF=∠AFC,在△ADE与△FCE中,,∴△ADE≌△FCE(AAS);(2)解:由(1)知CD=2DE,∵DE=2,∴CD=4,在Rt△ABC中,点D为AB的中点, ∴AB=2CD=8,AD=CD=AB.∵AB∥CF,∴∠BDC=180°-∠DCF=180°-120°=60°,∴∠DAC=∠ACD=∠BDC=×60°=30°,∴在Rt△ABC中,BC=AB=×8=4.四、综合题(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD.∵∠EAF=∠B,∴∠EAF+∠C=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°.∵AE⊥BC,∴AF⊥CD,在△AEB和△AFD中,∴△AEB≌△AFD,∴AE=AF.(2)证明:由(1)得∠PAQ=∠EAF=∠B,AE=AF,∴∠EAP=∠FAQ,在△AEP和△AFQ中,∴△AEP≌△AFQ,∴AP=AQ.(3)解:答案不唯一.已知:AB=4,∠B=60°,求四边形APCQ的面积.解:如图,连结AC,BD交于O.∵∠ABC=60°,BA=BC,∴△ABC为等边三角形.∵AE⊥BC,∴BE=EC.同理,CF=FD,∴四边形AECF的面积=×四边形ABCD的面积,由(2)得四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积,OA=AB=2,OB=AB=2, ∴四边形ABCD的面积=×2×2×4=8,∴四边形APCQ的面积=4.解:【感知】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠BCE=∠ABC=90°,∴∠ABE+∠CBE=90°.∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,∴∠BAF=∠CBE.在△ABF和△BCE中,∴△ABF≌△BCE(ASA).【探究】证明:(1)如图,过点G作GP⊥BC于P.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°,∴四边形ABPG是矩形,∴PG=AB,∴PG=BC.同感知的方法得∠PGF=∠CBE,在△PGF和△CBE中,∴△PGF≌△CBE(ASA),∴BE=FG.(2)由(1)知,FG=BE,如图,连结CM.∵∠BCE=90°,点M是BE的中点,∴BE=2CM=2,∴FG=2.【应用】9解:(1)①在正方形ACDE中,DG=GE=6.在Rt△AEG中,AG==6.∵EG∥AC,∴△ACF∽△GEF,∴=,∴==,∴FG=AG=2. ②如图1中,正方形ACDE中,AE=ED,∠AEF=∠DEF=45°.图1∵EF=EF,∴△AEF≌△DEF,∴∠1=∠2,设∠1=∠2=x.∵AE∥BC,∴∠B=∠1=x.∵GF=GD,∴∠3=∠2=x.在△DBF中,∠3+∠FDB+∠B=180°,∴x+(x+90°)+x=180°,解得x=30°,∴∠B=30°,∴在Rt△ABC中,BC==12.(2)在Rt△ABC中,AB===15.如图2中,当点D在线段BC上时,此时只有GF=GD.图2∵DG∥AC,∴△BDG∽△BCA.设BD=3x,则DG=4x,BG=5x,∴GF=GD=4x,则AF=15-9x.∵AE∥CB,∴△AEF∽△BCF,∴=,∴=,整理得x2-6x+5=0,解得x=1或5(舍去),∴腰长GD=4x=4.如图3中,当点D在线段BC的延长线上,且直线AB,CE的交点在AE上方时,图3此时只有GF=DG,设AE=3x,则EG=4x,AG=5x, ∴FG=DG=12+4x.∵AE∥BC,∴△AEF∽△BCF,∴=,∴=,解得x=2或-2(舍去),∴腰长DG=4x+12=20.如图4中,当点D在线段BC的延长线上,且直线AB,EC的交点在BD下方时,图4此时只有DF=DG,连结DF,过点D作DH⊥FG.设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,DG=4x+12,∴FH=GH=DG·cos∠DGB=(4x+12)×=,∴GF=2GH=,∴AF=GF-AG=.∵AC∥DG,∴△ACF∽△GEF,∴=,∴=,解得x=或-(舍去).∴腰长GD=4x+12=.如图5中,当点D在线段CB的延长线上时,此时只有DF=DG,作DH⊥AG于H.图5设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,DG=4x-12,∴FH=GH=DG·cos∠DGB=,∴FG=2FH=, ∴AF=AG-FG=.∵AC∥EG,∴△ACF∽△GEF,∴=,∴=,解得x=或-(舍去),∴腰长DG=4x-12=.综上所述,等腰△DFG的腰长为4或20或或.

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