2022高中数学人教A版必修2 3.2.1直线的点斜式方程 教案

3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程整体设计教学分析直线方稈的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的•从一次函数尸kx+b(kHO)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题一一求直线的方程问题.在引入过程屮，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.在推导直线方程的点斜式时，根据总线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.三维目标1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；培养学牛思维的严谨性和相兀合作意识，注意学牛语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨岀的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围，培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.点难点教奉重丄：引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨岀的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的慕础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范悟I.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.方程y二kx+b与直线1之间存在着什么样的关系？让学生边冋答，教师边适当板书.它们Z间存在着一一对应关系，即(1)直线1上任意一点P(x.,yi)的坐标是方程y二kx+b的解.(2)(xi,yj是方程y=kx+b的解=＞点P(x】,y】)在直线1上.这样好像直线能用方稈表示，这节课我们就来学习、研究这个问题一一直线的方程(宣布课题).思路2.在初中，我们己经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：一次函数y二kx+b的图象是一条直线，它是以满足y二kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.由于函数式尸kx+b也可以看作二元一次方程，所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).推进新课新知探究提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线1的斜率k且1经过点P.(X】,y.),如何求直线1的方程？③方程导岀的条件是什么？④若直线的斜率k不存在，则直线方程怎样表示？⑤k二~—与y-yFk(x-X!)表示同一直线吗？⑥已知直线1的斜率kK1经过点(0,b),如何求直线1的方程？讨论结果:①确定一条直线需要两个条件：乩确定一条直线只需知道k、b即可；b.确定一条直线只需知道直线1上两个不同的己知点.②设P(X,y)为1上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式，得k二，化简，得y-Y1=k(x- x-x}X])・②方程导出的条件是直线1的斜率k存在.©a.x=0；b.x=x).⑤启发学生回答:方程2=表示的直线1缺少一个点匕(xby,),而方程y—y^k(x—xJ表示的X-Xj直线1才是整条直线.⑥y二kx+b.应用示例思路1例1一条直线经过点P.(-2,3)，倾斜角a=45°,求这条直线方程,并画出图形.解:这条直线经过点P.(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程，得y-3=x+2,即x-y+5=0,这就是所求的直线方程，图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用，要求学生熟练掌握，并具备一定的作图能力.变式训练求直线尸-J亍(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解：设直线y=-V3(x-2)的倾斜角为a，则tana=-也,又・.・aG[0°,180°),・•・a=120°.・••所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°・・・・直线方程为x=2.例2如果设两条直线h和12的方程分别是li：y=k1X+b„l2:y=k2x+b2,试讨论：(1)当h〃12时，两条直线在y轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？(2)h丄12的条件是什么？活动:学生思考:如果ag,则tanai=tana2-定成立吗？何时不成立?由此可知:如果h〃12,当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果且kLk2,则h与L的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明a1=a2得岀tanaFtana2的依据.解：(1)当直线h与12有斜截式方程li：y=klx+bi,l2:y=k2x+b2时，直线l/Lok】％且⑵1】丄hok.k2=-l.变式训练判断下列直线的位置关系：(1)li：y=—x+3,12:y=—x-2;22/、53(2)l):y=—x,l2：y=-—x.35答案：(1)平行；(2)垂直.思路2例1己知直线L：y=4x和点P(6,4),过点P引一直线1与h交于点Q,与x轴正半轴交于点R,当△OQR的面积最小时，求直线1的方程. 活动：因为直线1过定点P(6,4),所以只要求出点Q的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线1的方程.解：因为过点P(6,4)的直线方程为x二6和y—4二k(x—6),当1的方程为x二6时，△OQR的面积为S二72；6k—46/—474十一16当1的方程为y—4二k(x—6)时，有璃,0),Q(,———),kk£一4丄…斗切“16k_424R—168(3比一2)2此时△OQR的面积为S=-XX=—.2kk-4k(k_4)变形为(S-72)k2+(96-4S)k-32=0(SH72).因为上述方程根的判别式A20,所以得S240.当且仅当k二一1时，S有最小值40.因此,直线1的方程为y-4=-(x-6),即x+y—10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取口变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际悄况进行启发和指导.变式训练如图2,要在土地ABCDE上划出一块长方形地面(不改变方向)，问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积(精确到1m2)(单位：m).y\E100D6()800»Lr.c人"170图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB上任取一点P分别向CD、DE作垂线，划得一矩形土地.Xx2兀TAB方程为一+——=1,则设P(x,20-——)(0WxW30),302032兀则S矩形二(100-X)[80-(20-—)]3250(x-5)2+6000+一(0WxW30),33当x二5时，y=—,即P(5,聖)时，(S矩形)狀二6017的).33例2设ZXABC的顶点A(l,3),边AB、AC上的中线所在直线的方程分别为x-2y+l=0,y二1,求AABC中AB、AC各边所在直线的方程.活动:为了搞清AABC中齐有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设AC的中点为F,AC边上的中线BF：y=l. AB边的中点为E,AB边上中线CE：x-2y+l=0.7774-1斤+3设C点坐标为(m,11),则尺(,).22A2+3又F在AC中线上，则一=1,2An=-1.又C点在中线CE上，应当满足CE的方程，则m-2n+l=0.・・・m二一3.・・・C点为(一3,-1).设B点为(a,1),则AB中点E(土,注)，即E(凹，2).222又E在AB中线上，则—^-4+1=0.Aa=5.2・・・B点为(5,1).由两点式，得到AB,AC所在直线的方程AC：x-y+2=0,AB：x+2y-7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.变式训练已知点M(1,0),N(-1,0)，点P为直线2x-y-l=0±的动点，贝ij|PM|2+|PN|2的最小值为何？解：TP点在直线2x-y-l二0上，・•・设P(xo,2xo-l)......2、，12、12APM2+PN2=lO(xo--)2+——2——•555・••最小值为5知能训练课木木节练习1、2、3、4.拓展提升己知直线y二kx+k+2与以A(0,一3)、B(3,0)为端点的线段相交，求实数k的取值范闱. 活动:此题要首先画出图形4,帮助我们找寻思路，仔细研究直线y二kx+k+2,我们发现它可以变为y—2二k(x+l),这就可以看出，这是过(一1,2)点的一组直线.设这个定点为P(-l,2).解：我们设PA的倾斜角为a1,PC的倾斜角为a,PB的倾斜角为a2,且a!