.直线的倾斜角与斜率 撰稿：赵代立 责编：丁会敏一、目标认知学习目标： 1．了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围； 2．理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是时的直线没有斜率； 3．已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)； 4．掌握经过两点和的直线的斜率公式：()； 5．熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.重点： 1．直线的倾斜角和斜率的概念； 2．两条直线平行和垂直的条件.难点： 1．直线斜率存在与不存在的分类讨论. 2．两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题.二、知识要点梳理知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角. 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 要点诠释： 1.要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角. 2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. 3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合. 4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有惟一的倾斜角和它对应. 5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线 的位置..
.知识点二：直线的斜率 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 要点诠释： 1.当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0； 2.直线与x轴垂直时，=90°，k不存在. 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式. 要点诠释： 1.对于上面的斜率公式要注意下面五点： (1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直； (2)k与P1、P2的顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交 换； (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； (4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合； (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： (1)由、点的坐标求的值； (2)已知及中的三个量可求第四个量； (3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求； (4)证明三点共线.知识点四：两直线平行 设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即. 因此，若，则.
.. 反之，若，则. 要点诠释： 1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.知识点五：两直线垂直 设两条直线的斜率分别为.若，则. 要点诠释： 1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.三、规律方法指导 1．由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时， 直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜 率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变 化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较 倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 2．直线的斜率可用于直线的平行(重合)、垂直等位置关系的判断，直线倾斜角的范围、大小的判断、 求解及直线方程的求解等． 3．我们在判断两直线的平行与垂直时，往往先判断直线的斜率是否存在，然后再根据具体情况进行判 断； 4．判断两直线平行时，易忽略两直线重合的情况，需特别注意； 5．平行、垂直的判断中，斜率不存在的情况易忽略致错，需特别注意.经典例题透析类型一：倾斜角与斜率的关系.
. 1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围； 思路点拨： 已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围 解析： ∵， ∴． 总结升华： 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立. 举一反三： 【变式】 （2010山东潍坊，模拟）直线的倾斜角的范围是 A． B． C． D． 【答案】B 解析：由直线， 所以直线的斜率为． 设直线的倾斜角为，则． 又因为，即.
.， 所以．类型二：斜率定义 2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率. 思路点拨： 本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率. 解析： 如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°， ∴kAB=tan150°=kAC=tan30°= 总结升华： 在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角. 举一反三： 【变式1】 如图，直线的斜率分别为，则() A． B． C． D． 【答案】 由题意，，则 本题选题意图：对倾斜角变化时，如何变化的定性分析理解.∴选B.类型三：斜率公式的应用 3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．.
. 思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析： 且， 经过两点的直线的斜率， 即． 即当时，为锐角，当时，为钝角． 总结升华： 本题求出，但的符号不能确定，我们通过确定的符号来确定的符号.当时，，为锐角；当时，，为钝角. 举一反三： 【变式1】 过两点，的直线的倾斜角为，求的值． 【答案】 由题意得： 直线的斜率， 故由斜率公式， 解得或． 经检验不适合，舍去. 故． 【变式2】 为何值时，经过两点(-，6)，(1，.
.)的直线的斜率是12． 【答案】 ， ． 即当时，，两点的直线的斜率是12． 4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 思路点拨： 如果过点AB，BC的斜率相等，那么A，B，C三点共线. 解析： ∵A、B、C三点在一条直线上， ∴kAB=kAC． 总结升华： 斜率公式可以证明三点共线，前提是他们有一个公共点且斜率相等. 举一反三： 【变式1】 已知，，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？ 【答案】 经过，两点直线的斜率． 经过，两点的直线的斜率． 所以，，三点在同一条直线上． 【变式2】 已知直线的斜率，，，是这条直线上的三个点，求和.
.的值． 【答案】 由已知，得 ；． 因为，，三点都在斜率为2的直线上， 所以，． 解得，．类型四：两直线平行与垂直 5．四边形的顶点为，，，，试判断四边形的形状． 思路点拨： 证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角. 解析： 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率． ，，，，即四边形为平行四边形． 又，，即四边形为矩形． 总结升华： 证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为-1. 举一反三： 【变式1】 已知四边形的顶点为，，，，求证：四边形.
.为矩形． 【答案】 由题意得边所在直线的斜率． 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 则；． 所以四边形为平行四边形， 又因为， ， 即平行四边形为矩形． 【变式2】 已知，，三点，求点，使直线，且． 【答案】 设点的坐标为，由已知得直线的斜率； 直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率． 由，且得解得，． 所以，点的坐标是． 【变式3】 （2011浙江12）若直线与直线互相垂直，则实数=__________． 【答案】 因为直线与直线互相垂直，所以，所以．.
.学习成果测评基础达标： 1、下列说法中正确的是() A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角. B．直线的倾斜角的取值范围是第一或第二象限角. C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为180°. D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率. 2、（2011山东外国语学校二模）已知函数（）的图象的一段圆弧（如图所示）， ，则()． A． B. C. D．前三个判断都不正确 3、过点M(-2，a)，N(a，4)的直线的斜率为，则a等于（）． A．-8 B．10 C．2 D．4 4、（2011山东外国语学校二模8）将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与重合，则与点 重合的点是()． A． B． C． D． 5、（2010山东青岛，模拟）设直线与轴的交点是P，且倾斜角为，若将此直线绕点P.
.按逆时针方 向旋转45°，得到直线的倾斜角为，则（）． A． B． C． D． 6、直线的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则的斜率为() A．1 B． C． D． 7、（2010辽宁沈阳，模拟）若直线经过点和且与经过点（-2，1），斜率为 的直线垂直，则实数的值为________． 8、已知点P(3，2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为___________. 9、经过点(，1)，(-3，4)，经过点(1，)，(-1，)，当直线与平行时， 求的值． 10、已知，，三点，试判断的形状．能力提升： 11、如图，若图中直线的斜率分别为k1，k2，k3，则() .
. A．k1
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