8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一二三一、圆柱、圆锥、圆台的表面积1.思考(1)如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积?提示圆柱的侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母线).设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长.
一二三(2)如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积?提示圆锥的侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形面积为×2πrl=πrl,∴S圆锥侧=πrl,S圆锥表=πr(r+l),其中r为圆锥底面半径,l为母线长.
一二三(3)如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积?
一二三(4)圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?提示如图所示.
一二三2.填空
一二三3.做一做(1)圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为,表面积为.(2)如图,圆锥的底面半径为1,高为,则圆锥的侧面积为.(3)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于.答案:(1)24π32π(2)2π(3)67π
一二三二、圆柱、圆锥、圆台的体积1.思考(1)圆台是由圆锥截得的,已知圆台的上、下底面半径分别为r',r,高是h,你能应用圆锥的体积公式推导圆台体积公式吗?
一二三(2)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?(3)棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,棱台和圆台都是台体,请写出统一的柱体,锥体和台体体积公式.
一二三(4)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系怎么样?提示如图.
一二三2.做一做右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体,下部是圆柱,其轴截面是边长为4的正方形;上部为圆锥,其高为3,则该几何体的体积为.答案:20π解析:圆柱的底面半径是2,高为4,圆锥底面半径是2,高为3,则V=π×22×4+×π×22×3=20π.
一二三三、球的表面积和体积1.思考(1)球是如何旋转得到的?提示以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球.(2)改变这个半圆的大小,所得球的大小是怎么变化的?提示半圆半径的大小决定了球的大小,半径越大,球就越大,即球的表面积和体积就越大.
一二三(3)球的表面无法像柱、锥、台体一样展成平面图形,怎样求出球的表面积和体积呢?就目前我们已有的知识水平还解决不了,我们不妨先记住公式,做到熟练运用.设球的半径为R,则它的体积V=πR3,表面积S=4πR2.观察这两个公式,它们都有什么特点?提示这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R唯一确定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次函数,并且表面积为半径为R的圆面积的4倍.2.做一做已知球的表面积是16π,则该球的体积为.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练圆柱、圆锥、圆台的表面积例1如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟1.解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下:(1)得到空间几何体的平面展开图;(2)依次求出各个平面图形的面积;(3)将各平面图形的面积相加.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究在上题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解:以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图.其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练圆柱、圆锥、圆台的体积例2已知等边三角形的边长为2,将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为.分析将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是由两个底面半径为,高为1的圆锥组成的组合体,利用圆锥的体积公式可得结果.答案:2π
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解析:将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个组合体,如图,该组合体由两个同底的圆锥组成,两个圆锥的底面半径为,高为1,体积为反思感悟求圆柱、圆锥、圆台的体积问题,一是要牢记公式,然后观察空间图形的构成,是单一的旋转体,还是组合体;二是注意旋转体的构成,以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质,从而找出公式中需要的各个量,代入公式计算.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练球的表面积和体积例3△ABC的三个顶点在球O的表面上,且AB=4,AC=2,BC=6.球心O与BC中点的连线长为4.求球的表面积与体积.分析由三边长知△ABC是直角三角形,斜边中点为△ABC外接圆圆心,则可求球半径.解:因为AB=4,AC=2,BC=6,所以AB2+AC2=BC2,即△ABC为直角三角形.所以平面ABC截球所得截面是以BC为直径的圆.由已知球心O与截面圆心的距离为4,反思感悟因为球的表面积与体积都是球半径的函数,所以在解答这类问题时,设法求出球的半径是解题的关键.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练2若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练与球有关的组合体例4各棱长均为的四面体内有一内切球,求该球的体积.分析等体积法→内切球的半径→球的体积
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探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟与球有关的组合体一般有两类,一是与球内接的组合体,在此类组合体中,球心与多面体顶点的连线是半径;二是与球外切的组合体,在这一类组合体中,球心与各切点的连线是半径.在解答与球有关的组合体问题时,要注意这些半径的应用.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究求本例所给四面体外接球的表面积.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练转化与化归思想在球的接、切问题中的应用典例在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.【审题视角】过正方体的对角面作一截面,在这个截面中用正方体的棱长、球半径的关系求解;或将球补为一个整球,利用球内接长方体求解.
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探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解法二将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,则这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,得方法点睛球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来分析解决问题.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练1.直径为6的球的表面积和体积分别是()A.36π,144πB.36π,36πC.144π,36πD.144π,144π答案:B解析:球的半径为3,表面积S=4π·32=36π,体积V=π·33=36π.
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练2.已知圆锥的底面直径与高都是4,则该圆锥的侧面积为()答案:C
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练3.圆台上底半径为2,下底半径为6,母线长为5,则圆台的体积为()答案:B
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练4.(2018全国Ⅰ卷,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()答案:B解析:过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以5.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为.答案:4R
探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练6.一个正方体的外接球、正方体、正方体的内切球的表面积之比为.答案:3π∶6∶π
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