新教材人教版高中数学必修第二册分层作业8《平面向量数乘运算的坐标表示》(含解析)

课时分层作业(八) 平面向量数乘运算的坐标表示(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(  )A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)B [只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a.]2．若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x的值为(  )A.         B．－C．2D．－2A [由a∥b得－x2＋2＝0，得x＝±.当x＝－时，a与b方向相反．]3．已知a＝(sinα，1)，b＝(cosα，2)，若b∥a，则tanα＝(  )A.B．2C．－D．－2A [∵b∥a，∴2sinα－cosα＝0，即tanα＝.]4．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(k,2)．若(3a－b)∥c，则实数k的值为(  )A．－8B．－6C．－1D．6B [由题意得3a－b＝(3，－1)，因为(3a－b)∥c，所以6＋k＝0，k6 ＝－6.故选B.]5．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于(  )A．30°B．45°C．60°D．75°B [由a∥b，可得(1－sinθ)(1＋sinθ)－＝0，即cosθ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.]二、填空题6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________. [由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则＝(4,6)．又与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，解得λ＝.]7．若三点A(1，－3)，B，C(x,1)共线，则x＝________.9 [∵＝，＝(x－1,4)，∥，∴7×4－×(x－1)＝0，∴x＝9.]8．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．或 [由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.由⇒又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B或.]6 三、解答题9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)求a＋3b的坐标；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？[解] (1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(1,0)＋(6,3)＝(7,3)．(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，解得k＝－，所以ka－b＝，a＋3b＝(7,3)，即k＝－时，ka－b与a＋3b平行，方向相反．10．已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.[证明] 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．因为＝，所以＝，所以(x1＋1，y1)＝，故E.因为＝，所以＝，6 所以(x2－3，y2＋1)＝，故F.所以＝.又因为4×－×(－1)＝0，所以∥.[等级过关练]1．已知向量a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，c＝(x,3)，若∥c，则x＝(  )A．－1   B．－2   C．－3   D．－4C [向量a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，c＝(x,3)，则b＝a－(a－b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴(2a＋b)＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)，∵(2a＋b)∥c，∴－3－x＝0，∴x＝－3，故选C.]2．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)，若p∥q，则角C为(  )A.B.C.D.C [因为p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)，且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b·b＝0，即c2＝a2＋b2，所以角C为.故选C.]3．向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b平行，则m等于(  )A．－2B．2C.D．－D [∵ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，6 ∴－(2m－1)＝4(3m＋2)⇒m＝－，选D.]4．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．m≠ [＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，＝－＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m,1－m)，由于点A，B，C能构成三角形，则与不共线，则3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠.]5．已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE.[证明] 建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x，y)，这里y＞0，于是＝(1,1)，＝(x－1，y)．∵∥，∴1×y－(x－1)×1＝0⇒y＝x－1.①∵AC＝OC＝CE，∴CE2＝OC2⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2.②由y＞0，联立①②解得即E.AE＝OE＝＝＋1.设F(t,0)，则＝(1－t,1)，＝.6 ∵F，C，E三点共线，∴∥.∴(1－t)×－×1＝0，解得t＝－1－.∴AF＝OF＝1＋，∴AF＝AE.6