新教材人教版高中数学必修第二册教案：6.3.1《平面向量基本定理》

格致课堂【新教材】6.3.1平面向量基本定理教学设计（人教A版）本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入已知平面内一向量是该平面内两个不共线向量b，的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？ 格致课堂根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：=要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=.注意：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量.四、典例分析、举一反三题型一正确理解向量基底的概念例1例1 设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(  )A．①②B．①③C．①④D．③④【答案】B【解析】①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件） 格致课堂考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e1，e2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(  )A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e2＋e1【答案】B.【解析】∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴两个向量共线，不能作为基底．题型二用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.【答案】＝a－b，＝a＋b.【解析】由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b.所以＝＋＝－＝a－b，＝＋＝a＋b.解题技巧：(用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，. 格致课堂1、【答案】＝ke2.＝e1＋(k－1)e2.＝e2.【解析】法一：∵＝e2，＝k，∴＝k＝ke2.∵＋＋＋＝0，∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.又＋＋＋＝0，且＝－，＝，∴＝－－－＝－＋＋＝e2.法二：同法一得＝ke2，＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC，由＝(＋)得＝(＋＋＋)＝(＋)＝e2.题型三平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．【答案】AP∶PM＝4，BP∶PN＝.【解析】设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2. 格致课堂故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得∴＝，＝，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得． 跟踪训练三1．在△ABC中，＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示.【答案】＝a＋b．【解析】如图，取AE的三等分点M，使AM＝AE，连接DM，则DM//BE.设AM＝t(t＞0)，则ME＝2t.又AE＝AC，∴AC＝12t，EC＝9t，∴在△DMC中，＝＝，∴CP＝CD，∴DP＝CD，＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝＋ 格致课堂＝a＋b．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题.教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.