新教材人教版高中数学必修第二册(精练)6.3.1《平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算》（解析版）

6.3.1平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算（精练）【题组一平面向量的基本定理】1．（2020·广东云浮市·高一期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（）．A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底．故选：B2．（2020·北京高一期末）在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】选项A：因为，所以、共线，不能作为基底；选项B：因为，所以、共线，不能作为基底；选项C：因为，所以、共线，不能作为基底；选项D：因为，所以、不共线，可以作为基底，故选：D.3．（多选）（2020·全国高一单元测试）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）A．λ+μ(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0【答案】BC 【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.故选:BC.4．（2020·河南商丘市·高一期末）如图，在四边形中，，为边的中点，若，则（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】连接，因为为的中点，所以，又因为，根据平面向量基本定理可得，于是．故选：C．5．（2020·山西运城市·高一月考）如图，在中，，，若 ，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图可得，所以，，则，故选：．6．（2020·太原市·山西大附中高一月考）如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为A．B．C．D．1【答案】D【解析】选取为基底，则，又，将以上两式比较系数可得．故选D． 7.（2020·全国高一单元测试）已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意所以2，①同理得2即2.②①×2＋②得4+2，即3，所以.故选：B.8．（2020·全国高一单元测试）如图在梯形ABCD中，ADBC，，且E，F分别为AB，CD的中点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接OE，OF.因为，所以.故选:C.9．（2021·江苏高一）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（） A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由题意，可得，在中，可得，过点作于点，则，且，所以，所以，，因此.故选：A.10．（2020·全国高一课时练习）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（）A．B．C．D． 【答案】B【解析】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，所以，又因为，且，所以，所以，解得，所以。故选：B.11．（2021·河南））已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且，，则①＝－－；②＝＋；③＝－＋；④＋＋＝0.其中正确的等式的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①如图可知＝＋＝＋＝－－＝－－，故①正确． ②＝＋＝＋＝＋，故②正确．③＝＋＝＋＝＋(－－)＝－＋，故③正确．④＋＋＝－＋＋＝－(＋)＋＋＝－(＋)＋＋－＋＝0，故④正确．故选D.12．（2020·全国高一单元测试）在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，，，，，，，设点为，，，，，，，，，①直线的方程为，②，联立①②，解得，此时最大，，故选：． 13．（2020·陕西商洛市·高一期末）如图，在中，为的中点，，若，则______.【答案】【解析】，所以.故答案为：.14．（2020·山东临沂市·高一期末）如图，在中，已知是延长线上一点，点为线段的中点，若，且，则___________. 【答案】【解析】，所以，，则，为线段的中点，则，因此，.故答案为：.15．（2020·北京高一期末）已知在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，，若，则点的坐标为______.【答案】【解析】设，则，；因为，故；即.故答案为：.16．（2020·全国高一）如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的动点，且，设，则的最大值是______．【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，其边长为2，， 则，所以，由，得，解得其中，所以，令，则，当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为．故答案为：．【题组二加减数乘的坐标运算】1．（2020·苍南县树人中学高一期中）已知，，则向量为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得.故选：C.2．（2021·江苏高一）已知点，，则向量的坐标是（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】点，，则向量,故选：B.3．（2021·湖南）已知中，，，对角线、交于点，则的坐标为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，根据平行四边形法则可得，则，故选：B.4．（2020·山西省古县第一中学高一期中）已知，，，若，则等于（）A．(1，4)B．C．D．【答案】C【解析】，，，若，可得：.故选：C.5．（2021·湖南）已知=（2，1），=（-3，4），则-=（）A．（5，-3）B．（-1，5）C．（-3，5）D．（-5，3）【答案】A【解析】，故选:A.6．（2020·株洲市南方中学高一期末）已知点，，向量，则向量（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】由题意，∴．故选：A．7．（2020·甘肃白银市·高一期末）设，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．故选：B.8．（2020·桂阳县第二中学高一期中）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以，故选：B.9．（2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中）已知点，，向量，则向量（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】设，因为，所以，可得，解得，可得.所以.故选：B.10．（2020·河北唐山市·开滦第一中学高一期末）若，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意.故选：A11．（多选）（2020·湖北潜江市·高一期末）已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（）A．B．C．D． 【答案】AD【解析】设，则，当点P靠近点时，，则，解得，所以，当点P靠近点时，，则，解得，所以，故选：AD【题组三共线定理的坐标运算】1．（2020·新绛县第二中学高一月考）已知，，则与向量共线的单位向量为（）A．或B．或C．或D．或【答案】B【解析】因为，，所以向量，所以与向量共线的单位向量为或.故选：B2．（2020·全国高一单元测试）设向量=(1，4)，=(2，x)，.若，则实数x的值是（）A．-4B．2C．4D．8【答案】D【解析】因为==所以=(3，4+x)，因为，所以4+x=12，得x=8.故选：D．3．（2021·湖南）已知，，且，那么（）A．10B．5C．D．-10【答案】D 【解析】由于两个向量平行，所以，解得.故答案为：D4．（2020·全国高一）已知向量，，且，则m的值为（）A．1B．C．4D．【答案】D【解析】由题知，，因为，所以，从而.故选：D5．（2021·广西高一期中）已知向量，，，且A，B，C三点共线，则k的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，.因为A，B，C三点共线，所以共线，所以，解得.故选：A6．（2020·高一期末）已知向量，，若与共线，则（）A．B．3C．D．【答案】C【解析】，，若与共线，则，即．故选：C7．（2020·高一月考）若向量，，则与共线的向量可以是（  ）A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B8．（2020·山西忻州市·高一期中）已知向量，，则与共线的单位向量为() A．B．C．或D．或【答案】D【解析】因为，，则，所以，设与共线的单位向量为，则，解得或所以与共线的单位向量为或.故选：D.9．（2020·浙江高一期末）已知，，则与平行的单位向量为()A．B．或C．或D．【答案】B【解析】∵，，，，则与平行的单位向量为，化简得，或．故选：B．10．（2020·北京高一期末）如图，在中，.若，则的值为______，P是上的一点，若，则m的值为______. 【答案】【解析】如图：在中，.所以：，故.由于点B､P､N三点共线.所以，则：，整理得：，故：.所以，解得.故.故答案为：①；②.11．（2020·浙江高一期末）已知点.若，（1）当点在第一、三象限角平分线上时，求的值； （2）当点为一平行四边形的四个顶点时，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵点在第一、三象限的角平分线上，∴可设.，.∵，，，解得；（2），，则，所以当点为一平行四边形的四个顶点时，这个四边形必为平行四边形，，.12．（2020·广东韶关市·高一期末）设非零向量，不共线.（1）若，，且，求实数的值；（2）若，，.求证：，，三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】解：（1）∵，，且，故，即实数的值为：；（2）证明：∵，，.∴， ，即且有公共点，故，，三点共线．【题组四向量与三角函数的综合运用】1．（2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中）若且//,则锐角=__________.【答案】【解析】∵//,∴，又为锐角，，∴，．故答案为：．2．（2020·江西赣州市·高一期末）已知为单位圆，A、B在圆上，向量，的夹角为60°，点C在劣弧上运动，若，其中，则的取值范围___________.【答案】【解析】由题意，以O为原点，OA为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示：由题意得：，则，，设点，则，因为， 所以，整理得，因为，得，所以，即，所以的取值范围为.故答案为：.3．（2020·云南保山市·高一其他模拟）已知平面向量，，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ），，即，；（Ⅱ），，则，，.4．（2020·定边县第四中学高一期末）已知向量，.（1）已知，求点坐标；（2）若，求的值【答案】（1），（2）【解析】（1）设点坐标为， 因为，所以，因为，所以，解得，所以点坐标为，（2）因为，，且，所以，所以，所以，所以，【题组五奔驰定理解三角形面积】1．（2020·江西）在中，D为BC的中点，P为AD上的一点且满足，则与面积之比为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设的中点为点，则有，又，所以，则点在线段上，因为D为BC的中点，所以得点为的重心，故与面积之比为.故选：B2．（2020·河北）已知所在的平面内一点（点与点，，不重合），且，则与的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据平面向量的线性运算，由，所以，设线段的中点为，线段的中点为（如图所示），所以，可得，所以点为的中位线的靠近点的三等分点， 所以，，所以，即与的面积之比为.故选：A.3．（2021·山东）若点是所在平面内的任意一点,满足,则与的面积之比为A．B．C．D．【答案】A【解析】取D,E分别为AC,BC的中点,由可得(,则,所以,所以与的面积之比为.故选A4．（2021·全国）已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】如图所示,,所以,即,所以,设和的中点分别为,则由可得,即,即点是的中位线上靠近点的三等分点,所以,故选:C5．（2021·辽宁沈阳市·高一期末）已知点在正所确定的平面上，且满足，则的面积与的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，即点在边上，且，所以点到的距离等于点到距离的，故的面积与的面积之比为.选C.6．（2021·广东潮州）如图，为内一点，且满足.则的面积与的面积之比为（）. A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，设，，则.由平行四边形法则知.过点作的平行线，分别交于点.则与边上的高之比为（或），设为，故.由相似三角形的性质得，即.从而，.所以，.解得（舍去），.选D.7．（2021·广东湛江）已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】在线段上取使，则，过作直线使，在上取点使，过作的平行线，过作的平行线，设交点为，则由平行四边形法则可得，设的高线为的高线，由三角形相似可得，∵与有公共的底边，∴与的面积的比为，故选：A．8（2021·湖北）已知是所在平面内一点，若，则与的面积的比为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在线段上取使，则，过作直线使，在上取点使，过作的平行线，过作的平行线，设交点为，则由平行四边形法则可得，设的高线为，的高线，由三角形相似可得，∵与有公共的底边，∴与的面积的比为，故选：A.9．（2021·河南）已知点为内一点，且满足，设与 的面积分别为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，∵O为△ABC内一点，且满足，∴O为△DABC重心，E为AB中点，∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，∵△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2所以故选B10．（2021·广东梅州）已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（）A．B．C．3D．【答案】C【解析】如图，延长交于，则，因为三点共线，所以即，所以，则，故且，又，故，所以，所以，所以，故选C. 11．（2021·）已知O为所在平面内的一点，且满足，则的面积与的面积的比值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，故在△内部，如图，取中点，连接并延长至，使得，则四边形为平行四边形．则，又因为，所以、、三点共线且，即为的重心．所以，故选：．12（2021·辽宁）已知为三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，故选A． 13．（2021·北京）如图，设为内一点，且，则与的面积之比为A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，作交于点，则，由题意，，，且，所以又，所以，，即，所以本题答案为A.14（2021·河南）如图，设为内一点，且，则的面积与的面积之比等于（  ）． ，A．B．C．D．【答案】A【解析】连接并延长交于，则，设，则．∵，∴，．∴，即，∴．故选A．15．（2020·全国高三专题练习）设点在的内部,且有,则的面积与的面积之比为（）A．B．C．D． 【答案】A【解析】【解析】如图，取中点，，则，∴，∵，∴，∴.故选A.16．设点在的内部,且有,则的面积与的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，取中点，，则，∴，∵，∴，∴.故选A.16．（2019·瓦房店市实验高级中学高一月考）设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（）A．2B．1C．D．【答案】B【解析】设的中点为，，即为中点， .故选：B.