新教材人教版高中数学必修第二册6.4.3《余弦定理、正弦定理（第2课时）正弦定理》学案 (含详解)

【新教材】6.4.3余弦定理、正弦定理（人教A版）第2课时正弦定理1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题；2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律；3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美.1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式；2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，使学生学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律. 重点：正弦定理的内容，对正弦定理的证明及基本运用；难点：正弦定理的探索及证明.一、预习导入阅读课本45-48页，填写。1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即___________________＝2R，其中R是___________________．2．正弦定理的变形(1)a∶b∶c＝___________________；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，___________________；(3)sinA＝，sinB＝，___________________；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，___________________.(5)＝＝＝.3．正弦定理应用解三角形(1)已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；(2)已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．4、三角形的面积公式(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝bcsinA＝___________________.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理只适用于锐角三角形(  )(2)在△ABC中，等式bsinA＝asinB总能成立(  )(3)公式S＝absinC适合求任意三角形的面积(  )(4)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积(  )2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝(  ) A.  B.    C.    D．33．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则角B的大小为(  )A.    B.    C.    D.4．△ABC中，a＝，b＝，sinB＝，则符合条件的三角形有________个．题型一已知两角及一边解三角形例1 在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c，B.跟踪训练一1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝105°，C＝45°，c＝，则b＝(  )A．1   B.C.D．22．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________. 题型二已知两边及一边的对角解三角形例2 在△ABC中，A＝45°，c＝，a＝2，求b，B，C.跟踪训练二1．△ABC中，B＝45°，b＝，a＝1，则角A＝________.2．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．题型三正弦定理在边角互化中的应用例3在△ABC中，已知b＋c＝1，C＝45°，B＝30°，则b＝________.例4在△ABC中，＝＝，试判断△ABC的形状；跟踪训练三1、在△ABC中，若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B等于(  ) A．1B.C．－1D．－2．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．题型四与三角形面积有关问题例5 在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积． 跟踪训练四1．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的大小为(  )A．60°或120°    B．60°C．120°D．30°或150°2．在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝30°，c＝，则△ABC的面积为________．1．在中，角，，所对的边分别为，，，，，＝，则=（）A．B．C．D．2．在锐角中，角所对的边长分别为.若（）A．B．C．D．3．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（）A．B．C．D．4．在中，角、、的对边分别为，，，若，则的值为（）A．B．C．D．5．在中，的对边分别为，若，，，则角_____. 6．在中角所对的边分别是，，，．求的值；求的面积．答案小试牛刀1.(1)×(2)√(3)√(4)√2．B.3．B.4.2.自主探究例1 【答案】B＝45°.b＝10，c＝5＋5.【解析】因为A＝30°，C＝105°，所以B＝45°.因为＝＝，所以b＝＝＝10，c＝＝＝5＋5. 跟踪训练一 【答案】1、A.2、．【解析】1、在△ABC中，∵A＝105°，C＝45°，∴B＝180°－A－C＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理＝，得＝，解得b＝1.故选A.2、因为tanA＝，所以sinA＝.由正弦定理知AB＝·sinC＝sin150°＝.例2 【答案】  b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.【解析】 ∵＝，∴sinC＝＝＝，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1.当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.跟踪训练二【答案】1、30°.2、1或2.【解析】1、由正弦定理得，＝，解得sinA＝，所以A＝30°或A＝150°.又因b>a，所以B>A，则A＝30°.2、由＝，得sinB＝＝.∵aA＝30°，∴B为60°或120°.①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.此时，c＝＝＝2.②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1.综上知c＝1或2.例3【答案】－1.【解析】 由正弦定理知＝， 所以，＝，b＝·sinB＝＝－1.例4【答案】等边三角形.【解析】 (化边为角)根据正弦定理，得到＝＝，整理为＝＝.∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．跟踪训练三【答案】1、A.2、等腰三角形.【解析】1、由正弦定理，可得sinAcosA＝sin2B，即sinAcosA＝1－cos2B，所以sinAcosA＋cos2B＝1.2、法一：(化角为边)∵acos＝bcos，∴asinA＝bsinB．由正弦定理可得：a·＝b·.∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．法二：(化边为角)∵acos＝bcos，∴asinA＝bsinB.由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB，∴A＝B(A＋B＝π不合题意舍去)，故△ABC为等腰三角形.例5 【答案】2或.【解析】 由正弦定理，得sinC＝＝，又AB·sinB