新教材人教版高中数学必修第二册6.4.3《余弦定理、正弦定理（第3课时）余弦定理、正弦定理的应用举例》同步练习（解析版）

格致课堂6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时余弦定理、正弦定理的应用举例一、选择题1．某人向正东走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走3km，结果离出发点恰好km，那么x的值是（）A．B．C．3D．或【答案】D【解析】由题作出示意图，如图所示，易知，由正弦定理得，因为，所以，又因为，所以有两解，即或.当时，；当时，.本题选择D选项.2．蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离的军事基地和，测得红军的两支精锐部队分别在处和处，且，，，，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（） 格致课堂A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以△ADC是等边三角形，所以．在△BDC中，根据正弦定理得，，所以．在△ABC中，根据余弦定理得，，所以．3．如图，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离(此障碍物阻挡了A，B之间的视线)，给定下列四组数据，测量时应当用数据A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理知，需要测量数据．故选C．4．如图所示，长为的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足处的地面上，另一端在离堤足处的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值等于（） 格致课堂A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得，在△ABC中，AB=4m，AC=2m，BC=3m，且+∠ACB=π．由余弦定理可得，，即，解得，所以，所以．5.（多选题）某人向正东走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走3km，结果离出发点恰好km，那么x的值是（）A．B．C．3D．6【答案】AB【解析】由题作出示意图，如图所示，易知，由正弦定理得，因为，所以，又因为，所以有两解，即或.当时，；当时，.本题选择AB选项. 格致课堂6．（多选题）一艘轮船从A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（）A．北偏东B．北偏东C．D．【答案】BC【解析】依题意可得在中．．由余弦定理可得．，由正弦定理可得，由题意可知在中为锐角，所以．所以如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向为北偏东，路程为海里．故BC正确．二、填空题7．某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为300，塔底B的俯角为150，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为米． 格致课堂【答案】120+40【解析】如图,用AD表示楼高,AE与水平面平行,E在线段BC上,因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,则AE===120+60,在Rt△AEC中,CE=AE·tan30°=(120+60)×=60+40,∴BC=CE+BE=60+40+60=(120+40)米,所以塔高为(120+40)米.8．在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且，再过一分钟，该物体位于R点，且，则的值是_____________.【答案】【解析】由于物体均速直线运动，根据题意，，不妨设其长度为1.在中，,.在中，由正弦定理得，在中，，两式两边同时相除，得.又在中，，所以.9．如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．若此舰不改变航行的方向继续前进，则此舰____________触礁的危险．（填“有”或“没有”） 格致课堂【答案】没有【解析】过点B作BD⊥AE交AE于D，由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°，在Rt中，AD=BD·tan∠ABD="BD·tan"75°，在Rt中，CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°，所以AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8，所以，所以该军舰没有触礁的危险．10．甲船在岛B的正南A处，AB="10"km，甲船以每小时4km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6km的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_______h，最近距离是km．【答案】【解析】根据题意画出示意图，如图，假设th后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近，则∠DBC=120°，BC=6t，BD=10－4t．在中，由余弦定理，得CD2=BD2+BC2－2BD·BCcos∠DBC=(10－4t)2+36t2－2(10－4t)6tcos120°=28t2－20t+100，所以当t=，即航行时间为h时，CD2最小，即甲、乙两船相距最近，最近距离为 格致课堂三、解答题11.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，1)，直线OB的倾斜角为45°，且|OB|＝.(1)求点B的坐标及线段AB的长度；(2)在平面直角坐标系中，取1厘米为单位长度．现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发，沿倾斜角为60°的射线BC运动，另一质点Q同时以厘米/秒的速度从点A出发作直线运动，如果要使得质点Q与P会合于点C，那么需要经过多少时间？【解析】：(1)设点B(x0，y0)，依题意x0＝cos45°＝1，y0＝sin45°＝1，从而B(1，1)，又A(－3，1)，所以AB∥x轴，则|AB|＝|1－(－3)|＝4.(2)设质点Q与P经过t秒会合于点C，则AC＝t，BC＝t.由AB∥x轴及BC的倾斜角为60°，得∠ABC＝120°.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，所以2t2＝16＋t2＋8t·，化简得t2－4t－16＝0，解得t＝2－2(舍去)或t＝2＋2.即若要使得质点Q与P会合于点C，则需要经过(2＋2)秒． 12．如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向，俯角为60°的C处． 格致课堂(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？【解析】：(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，AP＝1，所以AB＝APtan60°＝.在Rt△PAC中，∠APC＝30°，所以AC＝APtan30°＝.在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，所以BC＝＝＝.则船的航行速度为÷＝2(千米/时)．(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝＝＝，sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°＝×－ ＝.由正弦定理得＝，所以AD＝＝＝.故此时船距岛A有千米．