知识系统整合
规律方法收藏1．本章我们学习的向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段的起点位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量．数学中的向量指的是自由向量，根据需要可以进行平移．2．共线向量条件和平面向量基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量正交分解和用坐标表示向量的基础．3．向量的数量积是一个数，当两个向量的夹角是锐角或零角时，它们的数量积为正数；当两个向量的夹角为钝角或180°角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0.通过向量的数量积，可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直．4．平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题，要注意“三部曲”；用向量解决物理问题，体现了数学建模的要求，要根据题意结合物理意义作出图形，转化为数学问题，再通过向量运算使问题解决．5．正、余弦定理将三角形边和角的关系进行量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明，求值问题．(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．(2)解三角形与其他知识交汇问题，可以运用三角形的基础知识，正、余弦定理、三角形的面积公式与三角恒等变换，通过等价转化构造方程及函数求解．6．学习本章要注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．7．向量是数形结合的载体．在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段．思想培优向量的线性运算
向量的线性运算包含向量及其坐标运算的加法、减法、数乘，向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向量满足分配律，向量的线性运算也叫向量的初等运算，它们的运算法则在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则，但在具体含义上是不同的．不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.[典例1] 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以{e1，e2}为基底表示向量，，.解 ∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2.∵＋＋＋＝0，∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.又∵＋＋＋＝0，且＝－，＝，∴＝－－－＝－＋＋＝e2.[典例2] 已知线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，且|A|＝2|B|，求x，y的值．解 由|A|＝2|B|，可得A＝±2B，又A＝(1－x,1－5)，2B＝2(1＋2,1－y)＝(6,2－2y)，①当A＝2B时，有解得②当A＝－2时，有解得由①②可知或向量的数量积运算
向量的数量积运算是本章的核心，由于向量数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、角度以及不等式等，因此它的应用也最为广泛．利用向量的数量积可以求长度、也可判断直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式等知识融合在一起．[典例3] 在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ等于( )A．B．C．D．解析 ∵＝λ，∴－＝λ(－)，＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a，又是AB边上的高，∴·＝0，即·(－)＝0，∴[(1－λ)a＋λb]·(b－a)＝0.整理可得λ(a－b)2＝(a－b)·a，即λ＝.答案 B[典例4] 平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．(1)当·取最小值时，求的坐标；(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．解 (1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，∴向量与共线，又＝(2,1)．∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，∴＝(1－2y,7－y)．同理＝－＝(5－2y,1－y)．于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)，即y＝2时，有＝(－3,5)，＝(1，－1)，||＝，||＝，·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos∠AMB＝＝＝－.向量的应用向量的应用是多方面的，但由于我们所学的知识范围较窄，因此我们目前的应用主要限于平面几何以及用来探讨函数、三角函数的性质等方面，当然还有在物理方面的应用．[典例5] 在△ABC中，·＝0，||＝12，||＝15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点．(1)求·的值；(2)判断·的值是否为一个常数，并说明理由．解 (1)∵·＝0，∴AB⊥AC．又||＝12，||＝15，∴||＝9.由已知可得＝(＋)，＝－，∴·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝×(144－81)＝.(2)·的值为一个常数．理由：∵l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，∴·＝0.故·＝(＋)·＝·＋·＝·＝.[典例6] 平面向量a＝(，－1)，b＝，若存在不同时为0的实数
k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)．解 由a＝(，－1)，b＝得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1，由x⊥y，得x·y＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，即－ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0，－4k＋t3－3t＝0，k＝(t3－3t)，即k＝f(t)＝(t3－3t)．[典例7] 已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD．(1)求证：AB⊥AC；(2)求点D和向量的坐标；(3)设∠ABC＝θ，求cosθ；(4)求证：AD2＝BD·CD．解 (1)证明：＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)．∵·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB⊥AC．(2)设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)．∵AD⊥BC，∴·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①又＝(x＋1，y＋2)，而与共线，∴5(x＋1)－5(y＋2)＝0，②联立①②解得x＝，y＝.故D点坐标为.∴＝＝.
(3)cosθ＝＝＝.(4)证明：∵＝，＝，＝，∴||2＝，||＝＝，||＝＝.∴||2＝||·||，即AD2＝BD·CD．[典例8] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(a＋c，b)与向量n＝(a－c，b－a)互相垂直．(1)求角C；(2)求sinA＋sinB的取值范围．解 (1)由已知可得，(a＋c)(a－c)＋b(b－a)＝0⇒a2＋b2－c2＝ab，cosC＝＝，所以C＝.(2)由C＝，得A＋B＝，sinA＋sinB＝sinA＋sin＝sinA＋sincosA－cossinA＝sinA＋cosA＝＝sin，由0
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