10.3频率和概率随机模拟教学设计课题10.3频率和概率单元第十单元学科数学年级高一教材分析本节内容是在古典概型的基础上，研究和总结频率和概率的关系，同时学习利用随机模拟来产生随机数，从而利用频率估计概率。教学目标与核心素养1.数学抽象：利用生活实例判断并得出频率与概率的关系，并利用随机模拟得出随机数，计算频率估计概率；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.3.数学建模：掌握频率与概率的关系以及随机模拟的步骤；4.直观想象：利用计算机或计算器进行随机模拟，得到随机数，从而能够计算频率估计概率；5.数学运算:能够正确计算事件发生的频率；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点频率与概率，随机模拟难点频率与概率，随机模拟教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课问题导入：问题一：抛掷一枚质地均匀的骰子，正面朝上是偶数的概率是多少？ 设“正面朝上是偶数”为事件A，则P（A）=3/6=0.5问题二：抛掷一枚质地不均匀的骰子，正面朝上是偶数的概率是多少？由于硬币质地不均匀，所以每个基本事件发生不是等可能的，那么这个事件的概率无法用古典概型公式进行计算。那么今天，我们来学习一种新的计算概率的方法。学生利用问题情景，引出本节新课内容——频率的稳定性。设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。讲授新课新知讲授（一）——频率的稳定性思考一：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，你能计算事件A发生的概率吗？思考二：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，你能设计一个统计次数并计算频率的试验步骤吗？学生根据上述问题，探究频率与概率的关系。利用问题情境探究得出频率与概率的关系,培养学生探索的精神。
第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率；第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果；第三步：各组统计事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，并利用表10.3-1进行统计。思考三：比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事假A发生的频率，各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这样的情况？利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A发生的频数和频率如下表（10.3-2）所示：用折线图表示频率的波动情况（10.3-1）我们发现：（1）试验次数n相同，但频率f可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性。（2）从整体来看，频率在概率0.5附近波动。当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小。但试验次数多的波动幅度并不全部比次数少的小，只是波动幅度小的可能性大。思考四：通过上述试验，你认为频率与概率有什么关系？大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性。一般地，随着试验次数n的增大频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)。我们称频率的这个性质为频率的稳定性。因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)。事件的概率一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率m/n，当n很大时，总在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为P(A).学生分组合作，探究得出频率的稳定性。通过分组合作交流，培养学生合作的精神和探索的能力。
由定义可得概率P(A)满足：注意点：1.随机事件A的概率范围必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况.因此，随机事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1例1、新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数。通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.（1）分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？例2、一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生的甲获胜，事件B发生则乙获胜。判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率相等。在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次。据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的。你更支持谁的结论？为什么？解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小。相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近。而玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别为0.3、0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的。因此，应该支持甲对游戏公平性的判断。例3 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：分组频数频率[500,900)48 [900,1100)121 学生通过例题加强理解频率的稳定性。利用例题更进一步的理解巩固本节课的内容。
[1100,1300)208 [1300,1500)223 [1500,1700)193 [1700,1900)165 [1900，＋∞)42 (1)求各组的频率；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．解：(1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1500小时的频率是＝0.6.即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.总结：估算法求概率(1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值．(2)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．思考五：气象工作者有时用概率预报天气，如果气象台预报“明天降水概率是90%，如果您明天要出门，最好携带雨具”。如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报的不准确。那么如何理解“降水概率是90%”？降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的。对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨。思考六：该如何评价预报的结果是否准确？只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性。如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有90%确实下雨，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确。小试牛刀1、（1）做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率是m/n;（2）当试验次数越来越多时，事件A发生的频率越来越稳定；（3）概率是反映事件发生的可能性大小，但事件的频率可用来近似估计概率；（4）频率与试验次数无关，概率与试验次数有关。以上说法正确的有（C）通过例题总结求概率的方法步骤。利用生活实际——天气预报来认识概率的意义。学生完成3个小试牛刀的练习题。培养学生学会总结以及反思的思维和能力。以生活实例入手，理论联系实际，加深学生对概率的的认识和理解。先学基础知识，再利用练习题巩固所学知识点，加深印象。
A.1个B.2个C.3个D.4个解析：（1）（2）（3）正确，（4）错误。2、假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如右图所示：（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200个小时，试估计该产品是甲品牌的概率。解：（1）甲品牌产品寿命小于200小时的概率为（5+20）/100=0.25，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为0.25.（2）根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75/145=15/29，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是用甲品牌的概率为15/29.总结：此图是频数的条形统计图，每个小矩形的高是频数，则频数/总数即事件发生的频率，频率可作为概率的近似值。新知探究（二）——随机模拟思考七：通过做大量重复的试验来计算事件发生的频率,再由频率的稳定值估计概率,是十分费时费力的.有没有其他方法可以代替试验呢?我们设想通过用计算机模拟试验来解决这些矛盾.下面我们利用计算机模拟试验来完成下列试验：抛掷一枚质地均匀的硬币的试验。我们让计算机产生取之于集合{0，1}的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上。这样不断产生0，1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验。我们用下表表示试验结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，fnA为摸到红球的频率。根据上表画出下列频率折线图，设置一连串的思考题，让学生对随机模拟进行探索。在思考题中，让学生画频率分布折线图。利用思考题让学生探究随机模拟，让学生形成知识体系，培养学生整体思考的能力。利用频率分布折线图，让学生认识到抽样与概率之间的联系，体会知识的连续性。
从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4。随机模拟方法或蒙特卡罗方法对于古典概型,我们可以将随机试验中所有基本事件编号,利用计算器或计算机产生随机数,从而获得试验结果.这种用计算器或计算机模拟试验的方法,称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.思考八：你认为如何产生随机数？这样的方法是统计抽样中的什么方法？可以利用计算器或者计算机产生随机数。抽签法。思考九：要产生1～25之间的随机数，你有什么方法？（1）将25个大小形状相同的小球分别标1,2,…，24,25，（2）放入一个袋中，充分搅拌（3）从中摸出一个球，这个球上的数就是随机数。由此，可总结出随机数产生的步骤如下：(1)标号：把n个质地相同的小球分别标上1，2，3，…，n.(2)搅拌：放入一个袋中，把它们均匀搅拌.(3)摸取：从中摸出一个球.这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.思考十：你认为随机模拟试验的步骤是什么？随机模拟试验的步骤(1)设计概率模型(2)进行模拟试验(3)统计试验结果思考十一：你认为随机模拟方法或蒙特卡罗法的最大优点是什么?不需要对试验进行具体操作,就可以得到试验结果。例3、从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在，二月...,十二月是等可能的。设事件A=“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率。解：方法一：根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成是可重复试验。因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号1，2，...m,12的12个球，这些球除编号外没有什么差别。将随机模拟与抽签法有效结合。学生跟着老师一起完成例题。让学生体会到知识是一个体系，互相之间是密不可分的。例题的完成，既能加深学生对随机模拟的理解，又能让学生进一步认识随机模拟与概率之间的联系。
有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验。如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了。重复以上模拟实验20次，就可以统计出事件A发生的概率。方法二：利用电子表格软件模拟试验。在A1，B1，...,F1单元格分别输入“=RANDBETWEEN（1，12）”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟实验。选中A1，B1，...,F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第29行，相当于做20次重复试验。统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值。下表是模拟20次的结果。事件A发生了14次，事件A的概率的估计值为0.70，与事件A的概率（0.78）相差不大。例4、在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛。假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，。利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率。解：设事件A=“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”，则P(B)=0.6.用计算机产生1~5之间是的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组。例如：产生20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354相当于做了20次重复试验。其中事件A发生了13次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用频率估计事件A的概率的近似值为13/20=0.65.小试牛刀1、通过模拟试验,产生了20组随机数:6830 3013 7055 7430 7740 4422 78842604 3346 0952 6807 9706 5774 57256576 5929 9768 6071 9138 6754让学生通过不同的方法完成同一个例题。学生完成练习题，加深学生对概率的基本性质的理解。培养学生一题多解的思维和能力。理论联系实际，无论是哪部分知识点，都是来源于生活的实际问题，让学生体会数学来源于生活。
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,表示恰有三次击中目标,则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为 . 解析:表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754,共5组数,而随机数总共20组,所以所求的概率约为5/20=25%.答案:25%课堂小结1、频率和概率的关系；2、随机模拟。学生回顾本节课知识点，教师补充。让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。板书教学反思
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