高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 课件

2．3.3直线与平面垂直的性质 1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．3．理解并掌握“平行”与“垂直”之间的相互转化． 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根杆都与地面垂直，那么这些杆之间存在什么位置关系呢？带着这个问题，我们进入本节课的学习． 直线与平面垂直的性质定理 平行a∥b 探究：直线a∥直线b，a⊥平面α，则b与α的位置关系如何？提示：b⊥α.如图所示，已知a∩α＝A，b∩α＝B，过B作b′⊥α，则b′∥a，而过线外一点作线的平行线有且只有一条，故b与b′重合，∴b⊥α. 典例已知点A、B和平面α的距离分别是40和70，P为AB上一点，且AP：PB＝3：7，求点P到平面α的距离． 【错解】如图，作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，连接A1B1，则AA1∥BB1. 在A1B1上取点P1使A1P1:P1B1＝3∶7，则由PA:PB＝3:7，知AA1∥PP1.又AA1⊥α，∴PP1⊥α，即PP1的长就是P到平面α的距离．在平面A1ABB1内作AB2∥A1B1，交PP1于P2，交BB1于B2， 则△APP2∽△ABB2.又AA1＝40，BB1＝70，AP:PB＝3:7，∴BB2＝30，AP:AB＝PP2:BB2＝3:10.∴PP2＝9.∴PP1＝49.即P到平面α的距离为49.【错因分析】上述的错解忽略了A、B分别位于平面α两侧的情况，造成了丢解． 【正解】当A、B两点在平面α同侧时解法同错解．当A、B两点在平面α两侧时(平面图如图)， 易错补练 平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余三个顶点在α的同侧．已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2.那么剩下的一个顶点到α的距离可能是：①1；②2；③3；④4.以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的编号) 若B、C到平面α的距离为1、2，D到平面α的距离为x，则x＋1＝2或x＋2＝1，即x＝1或x＝－1(舍去)，所以D到平面α的距离为1；若C、D到平面α的距离为2、1，同理可得B到平面α的距离为1；所以选①③.答案：①③ 1．直线与平面垂直的性质：①定义：若a⊥α，b⊂α，则a⊥b；②性质定理：a⊥α，b⊥α，则a∥b；③a⊥α，a⊥β，则α∥β.2．直线与平面垂直的性质，结合其判定定理，其核心思想是转化思想，即实现了线面垂直、线线垂直的相互转化，而且沟通了平行和垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化． 1．已知直线l，平面α，β，l⊥α，l⊥β，则直线α，β的位置关系是()A．相交不垂直B．垂直C．平行D．不确定解析：垂直于同一直线的两平面平行．答案：C 2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．不确定解析：l⊥α，m⊥α，则l∥m.答案：C 3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1D1 解析：由题意可证，BD⊥平面A1ACC1，而CE⊂平面A1ACC1，∴BD⊥CE.答案：B 4．(2010年高考山东卷)在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行 解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，因此A不对．平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故B不对．垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，故C不对．由于垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确．答案：D 5．线段AB的两个端点A、B到平面α的距离分别为3cm,5cm，则线段AB的中点到平面α的距离为________．解析：分两种情况：(1)当A、B在α同侧时，AB中点到α的距离为4cm；(2)当A、B在α异侧时，AB中点到α的距离为1cm.答案：1cm或4cm